数検5級 度数分布表—階級の境界と度数の合計を確かめて資料を整理する練習｜武蔵野個別指導塾

境界値の分け方と度数の合計を手掛かりに、資料を整理するのが度数分布表です。

よくあるのは、測定値を表に整理するとき、階級の境目の値を上下の2行に数えてしまう場面です。たとえば「10以上15未満」と「15以上20未満」の両方に15を入れると、元の資料より表の合計が大きくなります。境目がどちらに入るかを言葉で決め、一つずつ印を付けて数えれば、表と元の資料を行き来できます。ここでは長さや時間の自作の記録を使い、階級と度数の意味から確かめます。

記録を表にするときに問われること

度数分布表は、数値をいくつかの区間に分け、各区間に入る資料の個数を示す表です。ばらばらに並んだ測定値から、どの範囲に多く集まっているかを読み取りやすくします。1個ずつの元の値を残す表ではないため、表だけから個々の測定値を必ず復元できるわけではありません。

自作の問題には、測定値を指定された階級に振り分けて空欄を埋める型があります。ほかにも、できあがった表から指定範囲の度数や合計を読む型、階級値を求める型があります。これらは練習のための分類であり、出題を予告するものではありません。どの型でも、単位、端の含め方、何を数えるかを先に読み取ると作業が安定します。

数値が同じ記録は、同じ人や物を重ねて数えたとは限りません。別々の測定で同じ値が出たなら、それぞれ1個として数えます。逆に、1つの測定値を2つの階級に入れてはいけません。数え終わったら、表の度数を足した個数が元の資料の個数と一致するか調べます。ただし、合計が合っても別の行に入れ間違えている場合があるので、各行も見直します。

階級の端と真ん中を読む

区切った一つ一つの範囲を階級、その階級に入る資料の個数を度数といいます。階級の幅は両端の値の差です。「10 cm以上15 cm未満」の幅は15 − 10 = 5 cmで、10を含み15を含みません。隣を「15 cm以上20 cm未満」にすると15は後の階級に入り、境目で重複しません。

図1のように、塗られた区間の左端を含み、右端を含まないと考えます。白い丸はその区間には入らない端、塗りつぶした丸は入る端です。15は左の区間の白い丸であると同時に、右の区間の塗りつぶした丸です。実際に分類するときは右の階級へ1回だけ入れます。

図1では20も右の階級には入りません。さらに右に「20以上」の階級があれば、20はそこへ入ります。最後の端の値を含むかどうかは問題の指定によります。指定された範囲の外の値があれば、勝手に端の階級に押し込まず、表の条件を確認します。

階級値は階級の両端の値の真ん中です。10以上15未満なら (10 + 15) ÷ 2 = 12.5 cmです。これは階級を代表させるための値で、実際に12.5 cmという記録があったことを意味しません。度数は個数、階級値は測定した量と同じ単位の値です。両者を混ぜないよう、表の見出しと単位を確認します。

測定値を一つずつ分ける基本例題

ある植物の葉の長さを12枚分測ると、次のようになりました。単位はcmです。

4、7、8、9、10、10、11、13、14、15、16、19

階級を「4以上8未満」「8以上12未満」「12以上16未満」「16以上20未満」とします。各階級の度数を整数で求め、合計を枚数で答えます。また、12以上16未満の階級値をcmで答えます。

まず元の資料は12個です。図2のように、左から順に各値を対応する行へ移し、数えた値に印を付けるつもりで整理します。等しい10が2回あるので、2枚として扱います。

4以上8未満には4、7が入ります。8は未満の端なので入りません。度数は2枚です。

8以上12未満には8、9、10、10、11が入り、度数は5枚です。8はこの行の「以上」の端なので含みます。10が2枚あることも確認します。

12以上16未満には13、14、15が入り、度数は3枚です。12という記録がなくても、階級の端は変わりません。16は次の行へ移します。

16以上20未満には16、19が入り、度数は2枚です。最後に各行を足すと、2 + 5 + 3 + 2 = 12枚です。元の12枚に戻り、各値もそれぞれ1回ずつ数えています。

階級値は両端の平均なので、(12 + 16) ÷ 2 = 14 cmです。答えは、度数が順に2枚、5枚、3枚、2枚、合計12枚、階級値が14 cmです。14という値がこの資料にはありますが、階級値の計算に実際の測定値は使いません。たとえばこの行の値が別の数に変わっても、階級の端が同じなら階級値は14 cmのままです。

合計が12枚にならないときは、表だけを足し直して終わりにしません。元の値に付けた印を戻りながら、境目の8、16や、繰り返しの10を調べます。合計が合ったときも、各値が条件を満たす行にあるかを確認します。1個の抜けと別の1個の重複が同時に起これば、合計だけでは誤りが隠れるからです。

空欄と範囲を考える例題

工作に使うひもの長さを18本分測り、次の表に整理しました。階級の単位はcm、度数の単位は本です。空欄の度数を整数で求め、さらに30 cm以上40 cm未満のひもは何本か答えます。

空欄以外は3 + 5 + 4 = 12本です。18本から引くと空欄は18 − 12 = 6本です。戻して3 + 5 + 6 + 4 = 18本となり、合計に一致します。度数が負になるような結果なら個数として不適切なので、与えられた合計や足し算を確認します。

30以上40未満は、30以上35未満と35以上40未満の2行にちょうど分かれます。したがって6 + 4 = 10本です。35は後の行に入り、2回数えません。40はどちらにも含まれません。求める範囲が階級の途中で切れる場合には、表だけではその一部分の本数を特定できないことがあります。たとえば30以上33未満の本数は、30以上35未満の6本の内訳が示されていないので決まりません。

境界を二重に数えたときの直し方

図3のように、6個の記録が6、8、10、10、12、14で、階級が6以上10未満、10以上14未満、14以上18未満だとします。誤って最初の行に6、8、10、10を入れ、次の行にも10、10、12を入れると、度数は4、3、1になります。合計は8個で、元の6個より2個多くなります。

原因は10を「10未満」にも入れたことです。未満はその数を含みません。図3の修正後は、最初の行が6、8の2個、次の行が10、10、12の3個、最後が14の1個です。2 + 3 + 1 = 6個となり、各記録も1回ずつあります。同じ値の10が2個あることと、各10を2行に重ねることは違います。

別の失敗は、合計が合うように度数だけを適当に減らすことです。それでは、どの値をどこに入れ直したかが残りません。資料へ戻り、端を含むか判定してから各行を作り直します。また、階級値をその行で最も多い測定値と勘違いすると、資料の中身によって答えを変えてしまいます。階級値は端と端の真ん中から求める、と言葉にして区別しましょう。

度数の合計が正しい表でも、安心せずに各行を照合する例を考えます。上の6個の記録について、誤って8を2番目の行に移すと、度数は1、4、1で合計6のままです。しかし8は6以上10未満なので最初の行に入ります。合計の点検は必要ですが、それだけで分類の正しさを保証するものではありません。値を1個ずつ指して条件を読み、対応する行に確かにあるか確認します。

また、元の資料の一部が読めない場合には、見えない値を推測で補わないことが大切です。度数の合計と他の行から不足する個数が決まる場合でも、その階級内の具体的な値までは決まりません。たとえば10以上14未満の値が1個不足するとわかっても、10か11か、それ以外かは元の記録なしには選べません。何が決まり、何が決まらないかを分けて答えます。

表が途中まで埋まっている問題では、空欄を出した後に他の行が問題の条件に合うかも調べます。合計が小さすぎて空欄が負になれば、個数として成立しません。計算をやり直し、それでも負なら条件や転記を確認します。無理に0へ直すと元の合計と一致しないため、与えられた表の答えにはなりません。

別の資料で練習する

次の問題はそれぞれ独立しています。度数は整数で答え、指定された単位を付けてください。先に4問を解いてから、後の解答と比べます。

1. 石を9個拾い、重さをgで測ると、21、24、25、27、29、30、31、34、35でした。「20以上25未満」「25以上30未満」「30以上35未満」「35以上40未満」の度数を順に個数で答えてください。
2. 読書にかかった時間をまとめた表で、5分以上10分未満が4人、10分以上15分未満が7人、15分以上20分未満が3人です。合計人数と、10分以上20分未満の人数をそれぞれ人で答えてください。
3. 水の量を「100 mL以上120 mL未満」「120 mL以上140 mL未満」「140 mL以上160 mL未満」に分けました。真ん中の階級の階級値をmLで答え、140 mLが入る階級を示してください。
4. 24回の記録を整理した表では、0点以上5点未満が6回、5点以上10点未満が空欄、10点以上15点未満が8回、15点以上20点未満が5回です。空欄を回数で答え、5点以上15点未満の回数を求めてください。

解答と確かめ

1. 順に2個、3個、3個、1個です。各行は21、24／25、27、29／30、31、34／35です。25、30、35はそれぞれ「以上」の行に入ります。2 + 3 + 3 + 1 = 9個で、元の9個に戻ります。各数が1回ずつ現れることも確かめられます。

2. 合計は4 + 7 + 3 = 14人です。10分以上20分未満は後の2行を合わせて7 + 3 = 10人です。これに残る最初の行の4人を加えると14人になり、表の合計に戻ります。10分は後の範囲に含み、20分は含みません。

3. 階級値は (120 + 140) ÷ 2 = 130 mLです。140 mLは140 mL以上160 mL未満に入ります。130は端からそれぞれ10 mL離れ、真ん中に戻っていることを確認できます。140は真ん中の階級の上端ですが、未満なのでその行には入りません。

4. 既知の回数は6 + 8 + 5 = 19回なので、空欄は24 − 19 = 5回です。求める範囲は空欄の行と次の行を合わせ、5 + 8 = 13回です。表に戻すと6 + 5 + 8 + 5 = 24回です。また範囲外の6回と5回を13回に加えても24回になります。5点は求める範囲に入り、15点は入りません。

表から読み取るときは、求める範囲の端と表の階級の端がそろっているかにも注目します。複数の行を足すとき、隣り合う階級の境目は片方に含まれるので、重複しません。範囲が行の途中で終わるときは、その行の度数を丸ごと足すと範囲外の値まで入る可能性があります。元の記録が手元にあれば、該当する値を直接数えて確かめます。表しかない場合は、読み取れる情報の範囲を答えに反映します。

覚えておくこと

階級の「以上」は端を含み、「未満」は含みません。
度数はその階級に入る資料の個数です。
階級値は両端の値を足して2で割ります。
度数の合計と元の個数を比べ、各値の行も確かめます。

どこで迷ったかを見分ける

お子さまが度数の合計を合わせられても、境界の値を指してどちらの行に入るか説明できるかを見ます。合計だけが違うなら、数え漏れや重複を元の記録から探します。合計が合っているのに行が違うなら、端の言葉と各値の対応を一つずつたどります。

個別指導では、同じ値が複数ある場合と境界にある場合を分け、どの判断で印を付けたか本人に話してもらいます。階級値で迷う場合は、実際の測定値と階級の両端を別々に示し、どちらを使うかを尋ねます。元の資料へ戻る習慣が、表の読み違いを見つける手掛かりになります。