数検5級 ヒストグラムと相対度数—度数と割合を区別して分布を読み比べる練習｜武蔵野個別指導塾

人数の異なる2組を例に、柱から度数を読み、各組の合計を分母として相対度数を比べる手順をたどれます。

よくあるのは、受験者が2組の記録を比べ、ある範囲に入る人数が多いだけで、その組の割合も高いと決める場面です。人数が多い組は、もとの人数も多いかもしれません。何人中の何人かをそろえて見なければ、割合の大小は決まりません。

柱の高さが示すものと、割合のもとになる人数を分けて考えましょう。ここでは同じ幅の階級を使うヒストグラムと相対度数を扱います。資料にない個々の値を推測することはしません。

柱から何を読み取るか

出方の一つは、ヒストグラムの横軸と縦軸を読み、指定された範囲の度数を答える型です。横軸は値の範囲、縦軸はその範囲に入る個数や人数を表します。隣り合う柱は、連続する範囲を区切っていることを示します。柱の右端の値をその柱に含むかは、問題の「以上」「未満」の条件で判断します。

もう一つは、度数の合計をもとに相対度数を求める型です。指定された階級の度数を、資料全体の度数で割ります。柱の高さをそのまま小数に読み替えるのではなく、まず縦軸が人数なのか割合なのかを確かめます。

さらに、人数の異なる2組を比べる型があります。同じ範囲について、それぞれの組の人数をそれぞれの合計で割って比べます。自作の例を使ってこの順を練習します。どの型でも、何を求めるのかに印を付けてから数を拾うと、人数と割合の取り違えを見つけやすくなります。

階級と割合をつなぐ

資料の値を区切った各範囲を階級、その幅を階級の幅といいます。各階級に入る資料の個数が度数です。たとえば時間を0分以上10分未満、10分以上20分未満、20分以上30分未満と区切れば、どの階級も幅は10分です。10分ちょうどは後の階級に入ります。30分ちょうどはこの3階級には入りません。

図1のように、横の幅が同じ柱をすき間なく並べ、縦の高さで度数を表したものがヒストグラムです。この図の3つの度数は順に2人、5人、3人で、合計は10人です。縦軸の目盛りをたどれば、真ん中の柱は5人を示します。階級の順序は数の大小に沿って決まるため、柱の高い順に並べ替えません。

図1では、10分以上20分未満の相対度数は5 ÷ 10 = 0.5です。相対度数には「人」を付けません。10人のうちの5人という割合だからです。残る階級も同様に0.2、0.3となり、合計は1です。丸めずに計算した相対度数を全階級で足せば1になります。小数を指定の桁に丸めた場合は、表示された値の合計がちょうど1にならないこともあります。

柱からわかるのは各範囲の個数です。真ん中に5人いることから、その5人が全員15分だったとは決められません。たとえ同じ柱の高さでも、中に含まれる個々の値の組み合わせは複数あります。資料全体を確かめる際は、柱の高さの合計と対象人数が一致するかも見ます。対象外の値があるなら、どの範囲まで集計したかを先に確認します。

基本例題：同じ範囲の割合を比べる

ある日の読書時間を、A組20人とB組30人について調べました。各組の全員が0分以上30分未満でした。次の表は、それぞれの人数を同じ幅の階級に分けたものです。10分以上20分未満の相対度数を各組について小数で求め、どちらが大きいか答えましょう。

図2のように、柱の高さは人数です。真ん中の柱はB組の方が1人高いのですが、比べるものは割合です。まず各組の合計を確かめると、A組は4 + 8 + 8 = 20人、B組は9 + 9 + 12 = 30人で、条件に合います。

図2の真ん中の階級に注目し、A組では、その階級の8人をA組全体の20人で割ります。

8 ÷ 20 = 0.4

B組でも同じ範囲の9人を取り出します。ただし、割る数はB組全体の30人です。

9 ÷ 30 = 0.3

0.4は0.3より大きいので、答えはA組0.4、B組0.3で、A組の方が大きいとなります。求めた割合を人数に戻すと、20 × 0.4 = 8人、30 × 0.3 = 9人です。指定範囲の人数に戻るので、各組の合計をもとにできていることを確かめられます。

比べる階級が同じでも、分母にする人数は共通ではありません。両組を合わせた50人で割ると、各組の中での割合ではなく、2組を合わせた人数に対する割合になります。問題が何をもとにしているかを日本語で添えてから計算しましょう。

少し難しい例題：残りの度数を使う

工作にかかった時間を40人分調べ、0分以上10分未満が6人、10分以上20分未満が14人、20分以上30分未満が12人、30分以上40分未満が残りでした。全員が0分以上40分未満です。20分以上の相対度数を小数で求めましょう。

求める範囲は最後の2階級にまたがります。まず、最後の階級の人数を合計から求めます。

40 − (6 + 14 + 12) = 8人

次に、20分以上の人数は12 + 8 = 20人です。40人をもとにするので、20 ÷ 40 = 0.5となります。答えは0.5です。20 × 0.5のように対象人数を掛けるのではなく、全体の40 × 0.5 = 20人と戻して確かめます。残りの8人も含め、6 + 14 + 12 + 8 = 40人で元の条件に合います。

別の道として、20分未満の6 + 14 = 20人を全体から引くこともできます。このとき境界の20分は「20分以上」に入ります。範囲の外を引くときも、境界をどちらに入れたかを確かめてから引きましょう。相対度数を各階級で先に出して足す方法もありますが、丸めの指示がある場合は途中で丸めずに最後に指定された形にします。

誤答から分母を直す

基本例題で「B組は9人、A組は8人だから、B組の相対度数が大きい」と答える誤りを考えます。9人が8人より多いという人数の判断は正しいものの、それぞれの組全体に対する割合をまだ計算していません。図3のように、人数の比較と割合の比較では結論が逆になります。

図3の各帯を1組全体と見てください。A組は20人中8人、B組は30人中9人です。各帯の色の付いた部分はそれぞれ0.4と0.3を表します。人数の9と8を比較した後、分母の30と20を付けて割り直せば、割合はA組の方が大きいと修正できます。

もう一つの誤りは、A組の8人をB組の30人で割ることです。計算自体はできますが、A組の人数をB組の合計と組み合わせても、A組の中の割合にはなりません。分子と分母の横に組名を書き、同じ組になっているか確かめましょう。柱の読み間違いが疑わしいときは、先に軸の単位と目盛りの間隔に戻ります。割合を計算し直すだけでは、最初に拾った人数の誤りは直せません。

読み取りが途中で止まったら

図の問題に取りかかるときは、いきなり一番高い柱を探す前に、横軸と縦軸の言葉を読みます。横軸の値が時間なら単位が分か秒か、縦軸が人数なら目盛り1つが何人かを確認します。目盛りが2人刻みの図で、高さが3目盛りの柱を3人と読むと、その後の割り算が正しくても答えは合いません。読んだ数を表の対応する欄に書き、最後に足して対象人数と照合すると、読み違いを探せます。

階級が空の場合は、柱の高さが0です。柱が見えないことを理由にその範囲自体を表から消すと、隣の範囲を誤って広く読んでしまうことがあります。度数0の階級も範囲として残し、相対度数は全体の度数が0でなければ0 ÷ 全体の度数 = 0とします。一方、対象者が1人もいない資料では、全体の度数が0なので割り算はできず、相対度数を求められません。

問題に示された人数と柱の合計が一致しないときも、都合のよい数を勝手に補わず、まず対象の範囲と読み取った目盛りを点検します。示された範囲の外にいる人を含む合計なのか、全員が図の階級に含まれるのかで扱いは変わります。条件が足りなければ、確定できるところまでを答え、決められない部分を区別する姿勢が大切です。

比較の言葉を整える

「人数が多い」と「割合が大きい」は別の説明です。たとえば2つの組の人数が同じなら、同じ範囲に入る人数が多い組の割合も大きくなります。割る数が同じだからです。しかし、全体の人数が異なると、この関係は必ずしも成り立ちません。基本例題では、B組の対象人数は多くても、A組の方がその組の中で占める割合は大きくなりました。

同じ組の中で階級を比べるときは、各階級の度数を同じ合計で割ります。したがって度数が大きい階級ほど相対度数も大きくなります。ただし、別の組に移った時点で分母も変わることを忘れないようにしましょう。比較の文章には「どの組の」「どの範囲の」「何に対する割合」を含めると、答えが何を意味するか相手に伝わります。

同じ相対度数になったとしても、人数が同じとは限りません。全体が異なれば、同じ割合を掛けても得られる人数が異なるためです。逆に同じ人数でも、全体が異なれば割合は異なります。どちらか一方の数だけを見てもう一方まで決めず、資料にある2つの数を組にして考えます。

練習問題

次の資料はそれぞれ別の調査です。相対度数は小数で答え、人数を求める場合は人を付けましょう。各調査の対象者は示された範囲のいずれかに入ります。

1. 散歩の時間を25人について調べました。0分以上10分未満が5人、10分以上20分未満が10人、20分以上30分未満が10人です。10分以上20分未満の相対度数を求めましょう。
2. 通学時間が15分以上30分未満の人は、C組では24人中6人、D組では40人中12人でした。各組のその範囲の相対度数と、割合が大きい組を答えましょう。
3. 水やりにかかった時間を20人分調べたところ、0分以上5分未満が3人、5分以上10分未満が7人、10分以上15分未満が6人、15分以上20分未満が残りでした。10分以上の人数と相対度数を求めましょう。
4. ある調査の対象は50人で、ある階級の相対度数は0.18でした。この階級の度数を求めましょう。

練習問題の答えと道筋

1. 10 ÷ 25 = 0.4です。25 × 0.4 = 10人と戻ります。5 + 10 + 10 = 25人なので、分母も対象者の合計に合っています。答えは0.4です。

2. C組は6 ÷ 24 = 0.25、D組は12 ÷ 40 = 0.3です。0.25 < 0.3なので、D組の割合が大きいです。24 × 0.25 = 6人、40 × 0.3 = 12人と戻して、同じ範囲の人数と各組の合計を組み合わせたことを確かめられます。

3. 最後の階級は20 − (3 + 7 + 6) = 4人です。10分以上は6 + 4 = 10人で、10 ÷ 20 = 0.5です。20 × 0.5 = 10人、さらに3 + 7 + 6 + 4 = 20人と戻るので、人数と合計の両方が条件に合います。10分ちょうどは10分以上の側に数えます。

4. 度数は50 × 0.18 = 9人です。逆に9 ÷ 50 = 0.18となり、与えられた相対度数に戻ります。相対度数から人数を求めるときは、割合のもととなる対象人数を掛けます。

覚えておくこと

階級の端は「以上」「未満」で判定します。
同じ幅の柱では高さから度数を読みます。
相対度数は階級の度数 ÷ 全体の度数です。
組を比べるときはそれぞれの組をもとにします。
割合を全体に掛け、もとの度数へ戻して確かめます。

つまずいた場所を見つける

お子さまが割合を間違えたときは、答えの小数だけでなく、最初に選んだ柱と分母を見ます。柱を読み違えた場合は縦軸の単位と目盛りを指してもらい、分母を取り違えた場合は「何人中の割合か」を言葉で説明してもらいます。境界の値を迷った場合は、数直線に境目を書き、どちらの階級に含めるかを条件に戻して判断します。

個別指導では、2組を比べる前に、それぞれの合計と対象の人数に別々の印を付けてもらいます。そのうえで、人数の大小と割合の大小が一致しない例を自分の言葉で説明できるか確かめます。柱の人数を全体に対する割合へ直すと、分布の比較に使う基準が見えてきます。