数検5級 平均値と中央値と最頻値—資料に戻って代表値の意味を説明する練習｜武蔵野個別指導塾

並べ替える前に中央値を選ぶ誤りを直し、記録の一つを変えたときの平均値・中央値・最頻値の変化を調べます。

よくあるのは、受験者が記録された順番のまま中央の数を選び、中央値と答える場面です。たとえば、読書にかかった時間を測った順に書くと、真ん中の記録が時間の大小でも真ん中とは限りません。まず数を小さい順に並べ、そのうえで個数と中央の位置を確かめます。平均値や最頻値も、同じ資料から求められますが、それぞれ見ているものが違います。

代表値を使う場面を見分ける

資料の特徴を1つの数で表すとき、その数を代表値といいます。平均値は合計を個数で等分した大きさ、中央値は小さい順に並べたときの中央、最頻値は最も多く現れる値です。どれも資料を眺める手掛かりですが、1つの数だけでは散らばり方まで伝わりません。

練習では、まず記録の一覧から3種類の代表値を求める型を考えます。次に、記録の1つを大きく変えたとき、各代表値がどう変わるかを調べます。さらに、同じ代表値を持つ2組を比べ、元の値に違いがあることを説明する型もあります。いずれも自作の場面です。答えの数だけでなく、どの値を足したか、どの位置を見たか、何回現れたかを残すと、考え方を読み返せます。

平均が大きいからといって、すべての記録が大きいとはいえません。反対に、中央の値が同じでも、合計や最も多い値は異なることがあります。求める代表値の名前に線を引き、計算か、位置か、回数かを決めてから手を動かしましょう。

合計、位置、回数を分けて考える

平均値は、資料の値の合計を資料の個数で割ります。たとえば5人の記録なら、同じ値が2回現れていても2人分として足し、5で割ります。平均値は元の資料に実際に含まれていない数になる場合もあります。単位は元の値と同じです。

中央値は、資料を小さい順または大きい順に並べ、中央の位置で決めます。個数が奇数なら中央の1個、偶数なら中央に並ぶ2個の平均です。図1のように、5個なら3番目、6個なら3番目と4番目を見ます。同じ値もそれぞれ1個として数えます。大きい順に並べても中央の値は同じですが、途中で順序を混ぜないようにします。

図1の枠は値そのものではなく、並べ替えた後の位置を示しています。偶数個のとき、中央の2個を足しただけでは2個分の合計です。2で割って、その間の値を求めます。2個が同じ値なら、中央値もその値です。

最頻値は、同じ値が現れる回数を数えて決めます。回数の最大が複数の値で並べば、最頻値は複数あります。すべての値が1回ずつ現れる場合は、特に多く現れる値がなく、最頻値はないと扱います。問題によって扱いが示される場合はその指示に従います。回数と値は別物です。3回現れた値が7なら、最頻値は3ではなく7です。

基本例題：5回の記録を整理する

ある人が植物に水をやるまでにかかった時間を5回記録しました。測った順に、4分、7分、3分、4分、2分でした。平均値、中央値、最頻値をそれぞれ分単位で求めてください。答えは整数または小数で表します。

最初に個数を数えると5個です。図2のように記録を小さい順に並べると、2、3、4、4、7となります。4が2回あるので、並べ替えるときも2個書きます。元の順序の3番目は3ですが、並べ替えた後の3番目は4です。

平均値は合計から求めます。並べ替えても値の個数や合計は変わりません。

2 + 3 + 4 + 4 + 7 = 20

20 ÷ 5 = 4

したがって平均値は4分です。確かめとして、4分を5回分集めると20分になり、元の合計に戻ります。この等分した値は、5回とも実際に4分だったという意味ではありません。

中央値は5個の中央、すなわち3番目です。左に2個、右に2個ある位置を指で確かめると、中央値は4分です。最頻値は、2、3、7が各1回、4が2回なので4分です。3種類が同じ数になりましたが、求め方が同じになったわけではありません。平均値は合計、中央値は位置、最頻値は回数を根拠にしています。

途中で合計を19とした場合は、割り算だけを繰り返す前に、並べた5個を1つずつ元の記録と照合します。4を1個落とすと資料が4個になり、中央値を調べる位置も変わってしまいます。個数を先に書いておけば、足し忘れや重複に気づきやすくなります。

少し難しい例題：離れた値を入れ替える

6日間の歩数を千歩単位で記録すると、2、3、3、4、5、7でした。最後の7を19に訂正したとき、訂正前後の平均値、中央値、最頻値をそれぞれ求めてください。平均値は小数第2位まで、中央値と最頻値は整数または小数で、単位は千歩とします。

訂正前の合計は2 + 3 + 3 + 4 + 5 + 7 = 24です。平均値は24 ÷ 6 = 4.00千歩です。6個なので中央の3番目と4番目は3と4です。中央値は (3 + 4) ÷ 2 = 3.5千歩、最頻値は2回現れる3千歩です。

訂正後は2、3、3、4、5、19の順になります。合計は24から7を引き19を加えた36です。平均値は36 ÷ 6 = 6.00千歩です。中央の2個は変わらず3と4なので中央値は3.5千歩、最頻値も3千歩のままです。平均値に6を掛けると36となり、訂正後の記録の合計に戻ります。

ここでの分かれ目は、7から19への変更が、合計と中央の位置と出現回数にそれぞれどう作用するかです。合計は12増え、6個で等分するので平均値は2増えます。一方、訂正後も中央の2個と最も多い値は変わりません。これはこの資料についての結果です。別の値を変更すれば中央値や最頻値も変わることがあるため、いつも変化しないと決めつけず、並べ直して数えます。

誤答を資料に戻して直す

6回の記録が、8、2、5、3、9、4の順に書かれているとします。偶数個の中央値を求める際、記録順の中央の2個、5と3を平均して4とするのは誤りです。中央の位置を選ぶ前に、値の順に並べる操作が抜けています。

図3のように小さい順に並べると、2、3、4、5、8、9です。中央の3番目と4番目は4と5なので、中央値は (4 + 5) ÷ 2 = 4.5です。左右に2個ずつ残ることも確認できます。記録順で中央に見えた2個と、値の順で中央になる2個を別々に示すと、どこで選び違えたかが見えます。

もう1つの間違いは、最頻値の回数を答えることです。値ごとに数えた表に「値」と「回数」の見出しを付け、最大の回数の行から値を読みます。平均値なら、最大の値を除いて計算する前に、問題が除外を求めているか確認します。離れた値でも、訂正や除外の条件がなければ元の資料の1個です。

計算結果が小数になったときも、整数に直してから位置を探してはいけません。偶数個の中央値は、中央の2個の間にあり、資料にない値になることがあります。値をそのまま並べてから計算することが修正の第一歩です。

代表値を選ぶときに戻る場所

たとえば荷物を同じ重さに分ける見通しを立てたいなら、合計を等分する平均値が役立ちます。記録を小さい順に見たときの中央付近を知りたいなら、中央値が手掛かりです。最もよく現れた値を知りたいときは最頻値を調べます。どの問いにも同じ代表値を当てはめるのではなく、求めたいことと定義を結びつけます。

ただし、代表値がわかっても、元の資料を復元できるとは限りません。たとえば3個の資料が1、3、5でも、2、3、4でも、平均値と中央値はどちらも3です。それでも最小値や最大値は異なります。平均値が一致したことを根拠に、記録の内容まで同じと結論してはいけません。両方の合計は9で、各組の中央も3です。このように、代表値と元の値の両方に目を向けます。

測定の誤りが疑われる記録があっても、見た目だけで勝手に捨てることはできません。訂正の根拠が与えられた例題では、訂正前と訂正後を分けて計算しました。問題文に訂正や除外の指示がなければ、与えられた値を使います。値が変わったときは、合計の変化だけでなく、並べた位置と同じ値の回数も調べます。

計算を始める前の点検

資料の中に同じ値があるときは、書き直す途中で1個にまとめないようにします。回数を調べる段階ではまとめて数えますが、平均値の合計や中央値の位置には、記録された個数が必要です。並べた後の個数が元と一致するかを確認すれば、同じ値の落とし忘れも見つけやすくなります。

偶数個の資料では、中央にある2個が隣り合っていることだけでは足りません。その2個の左側と右側に同じ数の記録が残っているかを数えます。中央に近い別の2個を選んだ場合、左右に残る個数がそろいません。この確認は、中央値が元の資料に含まれていないときにも使えます。

また、平均値を使って合計に戻せるのは、割る前と同じ個数を掛けたときです。記録の数を取り違えると合計も合わなくなります。単位を付ければ、値と個数を混ぜた答えにも気づきやすくなります。

練習問題

次の記録は互いに別の場面です。各問で求められた値を、指定された形と単位で答えてください。まず問題を解き、後の解答で資料に戻る確認まで行いましょう。

1. 5回の作業時間は、順に6分、1分、5分、1分、2分でした。平均値、中央値、最頻値を分単位の整数で求めてください。
2. 6枚のカードに書かれた数は、順に12、4、8、6、10、2です。中央値を整数で求めてください。最頻値があるかも答えてください。
3. 6回の記録は、順に1点、2点、2点、3点、4点、6点でした。6点を12点に訂正した前後の平均値、中央値、最頻値を点単位で求めてください。平均値は小数第2位まで、ほかは整数または小数で答えてください。
4. 6個の値は、順に4、7、4、7、9、11です。最頻値を整数で答え、そう判断した回数を示してください。

練習問題の答えと確かめ方

1. 答えは平均値3分、中央値2分、最頻値1分です。並べると1、1、2、5、6で、合計は15分です。15 ÷ 5 = 3、中央の3番目は2です。1は2回、ほかは各1回なので最頻値は1です。3分を5回分にすると15分となり、元の合計に戻ります。並べる前の3番目は5ですが、中央値は並べた後で選びます。

2. 答えは中央値7、最頻値はありません。小さい順に2、4、6、8、10、12と並べ、3番目の6と4番目の8を平均します。(6 + 8) ÷ 2 = 7です。7は2つの中央の値から同じ距離にあります。各値は1回ずつなので、特に多く現れる値はありません。資料の個数は6個で、中央の2個の左右には2個ずつ残ります。

3. 訂正前は平均値3.00点、中央値2.5点、最頻値2点です。合計は18点なので18 ÷ 6 = 3.00です。中央の2個は2と3で、その平均は2.5です。2は2回現れます。訂正後の合計は18 − 6 + 12 = 24点、平均値は24 ÷ 6 = 4.00点です。並びは1、2、2、3、4、12となり、中央値と最頻値はそれぞれ2.5点、2点のままです。各平均に6を掛けると18点と24点に戻り、訂正による合計の増加6点も一致します。

4. 答えは4と7です。4と7がそれぞれ2回、9と11がそれぞれ1回現れます。最大の回数は2回で、そこに対応する値が2つあるため、両方を書きます。並べ直すと4、4、7、7、9、11となり、6個の記録が保たれています。回数の2を最頻値として書かないようにします。

覚えておくこと

平均値は合計を個数で割った値です。 中央値は並べた資料の中央で、偶数個なら中央の2個の平均です。 最頻値は最も多く現れる値で、複数ある場合もあります。 離れた値を変えたら、各代表値を資料から確かめ直します。

つまずきの見分け方

個別指導では、答えを聞く前に、本人に資料の個数と並べ替えた順序を指さして説明してもらいます。中央値が違う場合は、並べ替えの漏れなのか、中央の位置の選び違いなのか、2個の平均の計算なのかを分けて見ます。正しい答えでも、記録順の中央が偶然一致した可能性があるので、左右に残る個数を説明できるか確かめます。

最頻値では、値と回数のどちらを答えるのかを本人に言葉にしてもらいます。保護者が家庭で確認するときも、答えの数を先に告げず、「どの値が何回あるか」と尋ねると、数え方を見守れます。平均値については、求めた値に個数を掛けて合計へ戻す確認を促します。代表値の意味は、元の資料へ戻ることで具体的に見えてきます。