高校地学 年周視差と距離—半年の位置差と視差の半角を区別して測る｜武蔵野個別指導塾

半年の位置差を半分にする理由から、固有運動や角度誤差を含む年周視差の測距まで検討します。

よくあるのは、高校生が半年の最大の位置差をそのまま年周視差にするという場面です。遠い背景の星に対して近い星の位置がずれることは読み取れていても、観測した2つの方向と、太陽から見た方向を結び付けるときに角度を取り違えます。図のどこを測ったのかを言葉にしてから距離の式へ進むと、この違いを追えます。

答案で問われる3つの見方

1つ目は計算です。半年間で得られた最大位置差から角度を半分にし、秒角にそろえたうえでパーセクを求めます。問題が最初から年周視差を与えているときには、さらに半分にしてはいけません。入力された角度の名前を確かめてから式を選びます。

2つ目は図の読解です。地球の公転によって観測地点が変わり、近い星の見かけの方向が背景に対して変わります。地球の軌道面に対する星の方向によって見かけの軌跡は変わるため、2枚の画像の任意の位置差が必ず最大値になるわけではありません。最大位置差を与えた条件があるかが分かれ目です。

3つ目は観測値をどう分けるかの説明です。星そのものの固有運動があれば、半年間の変化には視差以外の成分も入ります。観測誤差があれば逆数にした距離の誤差も一定ではありません。数式を使う前の条件を説明できることが、計算結果の意味を支えます。

観測地点を変えてできる角度

年周視差は、恒星から見た太陽と地球の方向がなす角を基準に定める角度です。測距の幾何では、地球の軌道半径に相当する1 auを基線とし、視線に垂直な基線からできる角を考えます。地球の軌道を円とみなす単純な模型で、背景の星は比較に使えるほど遠く、対象の星は測定期間中に位置を変えないとします。

図1のように、公転面に垂直な方向に対象の星がある理想配置を考えます。太陽から星への方向を真ん中に置き、半年隔てた両側の地球からの方向を比べます。左右の角はそれぞれ p ですから、見かけの最大位置差は 2p です。図は角度を見やすく広げた模式図で、距離と角度の縮尺は実際の比ではありません。

図1では、地球から星への2本の線が星の位置で交わります。各線と中心線との角が視差に対応し、2本の線の間が半年の最大位置差です。遠方の背景に投影した見かけの位置差も、背景を十分遠いものとすればこの角度に対応します。図は向きの関係を示すもので、背景の星の距離を測った図ではありません。

1 pcは、1 auを視線に垂直な基線としたときに年周視差が1秒角になる距離として定義します。秒角は角度の単位で、1度を60等分した1分角をさらに60等分したものです。小さい角度では角度の大きさが基線に比例し距離に反比例するので、視差を p 秒角、距離を d pcとすると高校で用いる関係は次のようになります。

d = 1/p

この式は p の数値を秒角で、d を pcで表したときの関係です。距離が2倍なら視差は半分になります。1 pcの定義は光年という時間のように見える名前の単位とは別です。光年は光が一定期間に進む距離であり、時間そのものではありません。ここでは換算による丸めを避け、答えを pcで表します。

近似の根拠は、直角三角形の基線を b、距離を D とすると tan p = b/D で、十分小さい角ではラジアンで表した p が tan p に近いことです。秒角を使う逆数の関係には、1 pcを定めた基線と角度の組が組み込まれています。大きい角の図を定規で測り、直接この近似の精度を確かめることはできません。

基本と標準：何を半分にするか

例題1　最大位置差から始める

自作の条件です。星の固有運動を無視でき、公転面に垂直な方向の星について、半年の最大位置差が0.40秒角と測られました。距離を有効数字2桁の pcで求め、求めた距離から位置差を再現してください。

半年の最大位置差 = 2p

p = 0.40/2 = 0.20秒角

d = 1/0.20 = 5.0 pc

図2のように、0.40秒角を2つの等しい角に分けます。中心から片側までの0.20秒角が式に入る量です。図の角度は強調した模式図で、実際の角度の縮尺ではありません。

逆に5.0 pcから p = 1/5.0 = 0.20秒角です。理想配置の最大位置差は2・0.20 = 0.40秒角となり、与えられた値に戻ります。逆算では距離の正しさだけでなく、最初の角が半角か全角かも点検します。

例題2　最初から視差が与えられる場合

別の自作条件で、年周視差が0.125秒角の星を考えます。距離を整数の pcで求め、視差に戻してください。固有運動は処理済みとします。

p = 0.125秒角

d = 1/0.125 = 8 pc

p = 1/8 = 0.125秒角

問題の値には既に年周視差という名前が付いています。そのため、0.125を2で割らずに使います。もし半年の最大位置差を尋ねられれば、この理想配置では2・0.125 = 0.250秒角です。観測した量の名前を先に書く習慣が、半角を二度取る誤りを防ぎます。

発展：時間とともに動く星を分ける

例題3　固有運動を差し引く

自作の1次元資料を使います。背景に対する位置を右向き正、単位を秒角とし、時刻0、半年後、1年後の測定値を順に0.30、0.10、0.50とします。年周視差による変位は3時刻で順に +p、-p、+p、固有運動は1年間に右へ0.20秒角の一定の変化とします。測定誤差は無視します。pと距離をそれぞれ有効数字2桁で求め、3値を再現してください。

まず1年間では視差の変位が同じ +p に戻ります。位置の差0.50 − 0.30 = 0.20秒角は、この条件では固有運動による1年間の変化です。半年分はその半分の0.10秒角です。

時刻0から半年後への実測変化 = 0.10 − 0.30 = -0.20秒角

実測変化 = 固有運動の変化 − 2p

-0.20 = 0.10 − 2p

2p = 0.30秒角

p = 0.15秒角

d = 1/0.15 = 6.666… pc

距離は有効数字2桁で6.7 pcです。丸め前の距離を使うと視差は0.15秒角に戻ります。視差以外の基準位置は時刻0で0.30 − 0.15 = 0.15秒角です。固有運動を加えた基準位置は半年後0.25、1年後0.35秒角となります。そこへ視差の変位を加えると順に0.30、0.10、0.50秒角となり、資料の各値を再現します。

別の見方では、時刻0と1年後の平均は0.40秒角です。一定の固有運動ならその中間の基準位置に +p が加わった値に対応します。半年後は同じ基準位置に -p が加わった値なので、差0.40 − 0.10 = 0.30秒角が2pです。片方だけの位置差を見る方法と比べると、同じ位相の両端を使う意義が見えます。

ただし、この資料は視差の位相と固有運動の一定性を問題で与えています。現実の観測では、複数年の複数時点を用い、背景の基準、測定誤差、他の運動の影響を含めてモデルを検討します。2点しかなければ、視差と固有運動の寄与を一意に分けられるとは限りません。授業で資料を扱う場合は学校の指導の下で測定条件と不確かさを確認します。

誤差は距離にどう伝わるか

例えば自作の測定で p = 0.20秒角に対し、真の値が0.18から0.22秒角の範囲にあるとします。これは誤差の影響を考えるための条件で、測定の精度を一般化するものではありません。視差が小さい端では距離が大きく、1/0.18 = 5.555… pcです。視差が大きい端では距離が小さく、1/0.22 = 4.545… pcです。中心値5.0 pcに対する上下の幅は対称になりません。

角度の誤差が同じでも、小さい視差ほど視差に対する割合が大きくなります。視差が誤差と同程度になったり、測定値が0以下になったりした場合、その値を単純に逆数にして確かな正の距離と解釈することはできません。0以下の測定値は測定誤差を含む結果として生じ得ますが、負の距離を意味しません。測定の不確かさや推定方法を検討する必要があります。

誤答から図に戻る

誤答例は、半年の最大位置差0.60秒角に対し、d = 1/0.60として距離を求めることです。原因は、2つの観測方向の開きを、その半分である年周視差と同じ量にしたことです。図3のように全体を2p、片側をpと記してから、p = 0.30秒角へ直します。図は模式図であり、角度は実際の縮尺ではありません。

図3で見る全体の角度は0.60秒角、片側は0.30秒角です。正しい距離は1/0.30 = 3.333… pcで、有効数字2桁なら3.3 pcです。丸め前の距離から0.30秒角を取り戻し、2倍して0.60秒角に戻ることを確かめます。

逆に、年周視差0.60秒角という条件を見て0.30秒角とするのも誤りです。違うのは数値ではなく、その数値が指す角です。また、固有運動を含む観測値の差を、条件を調べずに2pとすることもできません。視差以外の変化が無視できるか、すでに除かれているかを問題文で確認します。

練習：5つの資料を読む

以下はすべて自作の条件です。数値は実在の観測記録ではありません。各計算で丸め前の値を保ち、答えを元の条件に戻してください。

1. 固有運動を無視できる理想配置で半年の最大位置差が0.080秒角でした。距離を有効数字2桁の pcで求めてください。
2. 年周視差が0.025秒角の星の距離を有効数字2桁の pcで求め、理想配置の最大位置差を同じ桁数で求めてください。
3. 星Aと星Bの年周視差はそれぞれ0.12秒角と0.04秒角です。距離の比 dA/dB を分数で求め、視差の比に戻してください。
4. 1次元の位置が時刻0、半年後、1年後に順に0.44、0.06、0.56秒角でした。視差の変位は順に +p、-p、+p、固有運動は右向きに一定で1年間に0.12秒角です。誤差を無視し、pを有効数字2桁、距離を整数の pcで求めて3値を再現してください。
5. 年周視差の測定値が0.050秒角で、真の視差が0.040から0.060秒角の範囲だとします。距離の範囲を小数第1位までの pcで示し、両端がそれぞれどの視差に対応するか述べてください。

練習の答えと道筋

1. p = 0.080/2 = 0.040秒角です。d = 1/0.040 = 25 pcです。逆に1/25 = 0.040秒角、その2倍は0.080秒角となります。最大位置差から始めたので、最初に半分にするのが要点です。

2. d = 1/0.025 = 40 pcです。有効数字2桁で 4.0 × 10¹ pcとも書けます。最大位置差は2・0.025 = 0.050秒角です。40 pcから1/40 = 0.025秒角となり、元の視差に戻ります。視差と最大位置差は単位が同じでも意味が違います。

3. 距離はそれぞれ1/0.12、1/0.04 pcです。したがってdA/dB = 0.04/0.12 = 1/3です。距離の比が1/3なら視差の比はその逆の3で、0.12/0.04 = 3を再現します。個々の距離を丸めてから比を作る必要はありません。

4. 最初の半年の実測変化は0.06 − 0.44 = -0.38秒角です。固有運動の半年分は0.06秒角ですから、-0.38 = 0.06 − 2pとなります。よって2p = 0.44秒角、p = 0.22秒角、d = 1/0.22 = 4.545… pcで、整数に丸めて5 pcです。基準位置は最初0.44 − 0.22 = 0.22秒角、半年後0.28秒角、1年後0.34秒角です。視差変位を加えると0.44、0.06、0.56秒角となります。逆算には丸め前の距離を使います。

5. 逆数を取ると、小さい距離は1/0.060 = 16.666… pc、大きい距離は1/0.040 = 25 pcです。指定の形では16.7から25.0 pcです。丸め前の両端の逆数はそれぞれ0.060、0.040秒角に戻ります。視差が大きい端に距離の小さい端が対応することを取り違えないでください。

覚えておくこと

• 年周視差は1 auの基線に対応する角です。
• 理想配置の半年の最大位置差は視差の2倍です。
• pを秒角で表すと距離はd = 1/p pcです。
• 固有運動と測定誤差を観測値から区別します。
• 距離から視差と元の位置差へ戻して点検します。

つまずきを答案から見分ける

図に角度の印がない答案では、2方向の間を使ったのか、中心から片側を使ったのかを確かめます。式が合っていても単位が分角のままなら、秒角への換算で答えが変わります。測定値の差が視差によるものと限らない資料では、時間による固有運動の寄与を別に書けるかを見ます。

個別指導では、まず観測の2時点と基準方向を自分の図に描き、どの角が与えられたかを言葉で説明してもらいます。次に逆数を取る前後で単位を書き、答えを元の観測条件に戻します。角度の名前と測定条件がそろえば、距離の数字にも根拠が生まれます。