高校地学 恒星の等級差—対数の向きと明るさの倍率を式から確かめる｜武蔵野個別指導塾

5等級で100倍という約束から端数の等級差までたどり、符号と倍率をつなぐのが恒星の等級差です。

よくあるのは、高校生が観測表の等級を見て、数字が大きい星を明るい側に置く場面です。身近な点数の感覚では大きい数字が多さを表しますが、恒星の等級では向きが逆です。数字の差をそのまま明るさの差と考えると、倍率も取り違えます。ここでは同じ波長帯で測った見かけの明るさを比べ、等級差から倍率を求める道筋を追います。実在の星の等級表や、距離から絶対等級を求める計算は扱いません。

どんな問いで向きを確かめるか

計算の問いでは、2つの等級から、どちらがどちらの何倍明るいかを求めます。答えには比の順番が必要です。「100倍」とだけ書くと、明るい星と暗い星のどちらを分子にしたのかが残ります。先に小さい等級の星に印を付け、その星の明るさを分子に置けば、答えが1より大きいかで点検できます。

資料を読む問いでは、等級を横に並べた目盛りや、明るさの比を示す表を使います。等級が同じ幅だけ変わるたびに、明るさは同じ数を足すのではなく、同じ倍率を掛けます。目盛りの等間隔が表すものを先に確かめると、等級の軸と明るさの軸を混同せずに読めます。

説明の問いでは、5等級で100倍という約束から、端数の等級差に対する倍率を考えます。1等級分の倍率を5回掛けると100倍になるので、1回分は100の5乗根です。約2.5倍という近似は便利ですが、それを5回掛けても厳密に100にはなりません。途中の丸めが何に影響するかも答えの一部です。

等級と明るさを結ぶ約束

見かけの等級は、地球で受け取る光の明るさを数値で表す尺度です。ここで明るさをfと書き、同じ測光帯で単位面積あたりに受ける光の量を比べます。星が全方向へ放つエネルギーの総量である光度とは別の量です。見かけが明るいことから光度が大きいと決めるには、距離や途中で光が弱まる影響なども調べる必要があります。

等級が小さいほど明るく、等級が5小さくなると明るさは100倍です。図1のように、等級を右へ大きくしていくと明るさは減ります。図は等級の順序を示す模式図で、円の面積は明るさの実寸比ではありません。両端の倍率は約束どおり100対1です。

図1の2点をA、Bとし、それぞれの等級をmA、mB、明るさをfA、fBとします。等級が同じなら明るさの比は1です。明るさが正である場合に、常用対数を用いたポグソンの式は次のようになります。

mA − mB = -2.5・log₁₀(fA/fB)

比を逆にすると対数の符号も逆になるため、mA − mB = 2.5・log₁₀(fB/fA) と書いても同じです。引き算の順番と分子の星をセットで覚えます。対数は、正の数を10の何乗で表せるかを示します。例えばlog₁₀100 = 2ですから、fA/fB = 100ならmA − mB = -5となり、AはBより5等級小さくなります。負の等級であっても、小さい方が明るいという順序は変わりません。

式の係数は、5等級差と100倍の約束から確かめられます。明るさの比を100にすると、その常用対数は2です。等級差を-5にする係数は-5/2、すなわち-2.5です。明るさの比を10の指数で表すと、同じ関係は次の式にもなります。

fA/fB = 10の((mB − mA)/2.5)乗

指数が正なら比は1より大きく、負なら1より小さくなります。等級差が5のとき指数は2、2.5のとき指数は1です。1等級差では指数が0.4なので、倍率は10の0.4乗、すなわち100の5乗根です。これは約2.512で、約2.5という値は概算に使えます。連続する段階で近似値を何度も掛けるより、最後に一度丸める方が誤差を抑えられます。

別の測光帯で得た等級は、星の色や測定器の感度の違いの影響を受けます。異なる帯の数値をそのまま引き、全波長の光度比とすることはできません。同じ帯で比較しても、それはその帯の見かけの明るさの比です。どの量を比べているかを式の横に書く習慣が、計算の前提を守ります。

基本と標準の例題

次の例題の星と数値は計算のために作った条件です。明るさは同じ測光帯で測り、各値は正とします。比には単位がありません。

例題1　5等級の差

星Aは2等級、星Bは7等級です。Aの明るさはBの何倍ですか。整数で答えてください。

図2のように、Aの等級はBより小さいのでAが明るいと判断します。図は明るさの面積比を表さない模式図です。

mB - mA = 7 - 2 = 5
fA/fB = 10の(5/2.5)乗
fA/fB = 10² = 100

答えはAがBの100倍です。図2の矢印は、等級が5小さくなる向きと、明るさが100倍になる向きを対応させています。逆にBを分子にすれば1/100です。答えを戻すと、A/B = 100からmA − mB = -2.5・2 = -5となり、与えられた2 − 7 = -5に一致します。

例題2　明るさから等級を求める

星Cは4.0等級で、星DはCの10倍の明るさです。Dの等級を小数第1位まで求めてください。等級値は問題の条件として扱います。

Dの方が明るいので、求める等級は4.0より小さいはずです。Cを基準にして式へ代入します。

fD/fC = 10
mD - mC = -2.5・log₁₀10
mD - 4.0 = -2.5
mD = 1.5

答えは1.5等級です。逆に、CからDへの等級差は1.5 − 4.0 = -2.5です。5等級の半分だけ小さいため、明るさの倍率を2回掛けると100になるはずです。正の倍率は10なので、与えられた10倍に戻ります。差が半分だから100の半分という考えではなく、倍率の積が100になる点に注意します。

別解では、10² = 100を使います。100倍に対応する5等級を2等分すると、10倍に対応する差は2.5等級です。Dは明るいので4.0から2.5を引きます。対数表を使わなくても、乗法と等級差の加法を対応させられます。

端数と測定の揺れを扱う

例題3　段階を分ける

星Eは1.2等級、星Fは8.7等級です。Eの明るさはFの何倍ですか。整数で答えてください。同じ測光帯の値で、等級は条件として正確に与えられています。

mF - mE = 8.7 - 1.2 = 7.5
7.5/2.5 = 3
fE/fF = 10³ = 1000

答えは1000倍です。Eの方が小さい等級なので、比が1より大きいことも合っています。1000の常用対数は3ですから、逆に等級差を求めると-2.5・3 = -7.5です。EからFを引いた1.2 − 8.7に戻ります。

別解として、7.5を5と2.5に分けます。5等級分で100倍、2.5等級分で10倍なので、続けた倍率は100・10 = 1000倍です。等級差は足し、倍率は掛けます。100と10を足すと110になり、2段階の変化を表せません。反対方向へたどる場合は、それぞれの逆数を掛けます。

実際の測定値には揺れがあります。例えば暗い星が背景の光に埋もれると、背景をどの程度差し引くかで得られる明るさが変わります。明るい星でも検出器の値が上限に達すれば、増えた光を正しく記録できません。測光帯や観測条件をそろえ、背景の見積もりと検出器が適切に応答する範囲を確認する設計が必要です。学校の指導の下で測定する場合も、比較する星の条件と記録方法を先に決めます。

得られた値の不確かさが大きいと、近い等級の星の明るさの順序が入れ替わる可能性があります。単に表示された小数の桁を増やしても、測定が精密になったことにはなりません。等級差が小さいときは、計算した倍率が1に近いか、測定の揺れと比べて差を区別できるかを別々に考えます。負の明るさやゼロを背景差し引き後に得た場合は、その値の対数を取らず、測定や背景の推定を見直します。

誤答から式の向きを直す

図3のように、等級が小さい方を明るい側に置いてから、比の分子を選びます。矢印は数字の順序を示し、距離や円の面積を表しません。

誤答の例は「2等級の星より7等級の星の方が100倍明るい」です。数字が大きいことと光が強いことを直結させたため、順序が逆になっています。直すには2と7を並べ、小さい2等級を明るい側に置きます。図3のように、その星を分子にした比が100になると確認します。逆の比は1/100であり、両方とも正しい表現ですが、主語が変わります。

もう1つの誤答は「5等級差は100倍だから、1等級差は20倍」です。差を5分割するときに、倍率まで5で割ってしまっています。1等級ごとに同じ倍率を5回掛けて100になるという関係に直します。さらに、1等級差を約2.5倍とする場合は、それが概算であることを明記します。正確な計算の途中で約2.5を繰り返し掛けると、5等級で定義される100倍からずれてしまいます。

符号を間違えた場合は、完成した指数を見て点検できます。明るい星を分子に置いたのに指数が負なら、比が1未満となり、文章の判断と矛盾します。対数の式の右辺だけを変えるのではなく、どちらの等級を先に引いたかまで戻って直します。

練習問題

以下の星と数値は自作の条件で、各星の明るさは正、同じ測光帯で測ったものです。各問は独立しています。倍率は指定した順番で表し、近似の指定がない場合は正確な値で答えてください。

1. 星Pは-1等級、星Qは4等級です。Pの明るさはQの何倍か、整数で答えてください。
2. 星Rは6.0等級、星Sは3.5等級です。Rの明るさはSの何倍か、分数で答えてください。
3. 星Tは5.4等級です。Tの100倍の明るさを持つ星Uの等級を、小数第1位まで求めてください。
4. 星Vは星Wの10000倍の明るさです。Vの等級はWよりいくつ小さいか、整数で答えてください。
5. 星XとYの等級差は1です。Xの方が明るいとき、X/Yの明るさの比を100の5乗根で表し、概算も小数第2位まで求めてください。計算には100の5乗根を約2.51189として使います。

解答と解き方

1の解答

Pの等級はQより小さいので、P/Qは1より大きい比です。

mQ - mP = 4 - (-1) = 5
fP/fQ = 10の(5/2.5)乗
fP/fQ = 100

PはQの100倍です。100倍から等級差に戻すと-2.5・log₁₀100 = -5となり、P − Qの-5を再現します。負の等級があっても数直線上の順序を使います。

2の解答

Rの等級が大きいため、求めるR/Sは1より小さいと見通せます。

mS - mR = 3.5 - 6.0 = -2.5
fR/fS = 10の(-2.5/2.5)乗
fR/fS = 10⁻¹ = 1/10

RはSの1/10倍です。逆にR/S = 1/10を式に戻すとmR − mS = -2.5・(-1) = 2.5となり、6.0 − 3.5と一致します。S/Rの10倍を答えないよう、分子を確認します。

3の解答

UはTより明るいので、等級は5.4より小さくなります。

mU - mT = -2.5・log₁₀100
mU - 5.4 = -5.0
mU = 0.4

Uは0.4等級です。TとUの差は5.4 − 0.4 = 5.0で、Uの方が小さいため、U/Tの明るさは100倍と条件に戻ります。計算結果の正負だけで明るさの大小を判定せず、両方の等級を比較します。

4の解答

10000を10の累乗として扱います。

10000 = 10⁴
mV - mW = -2.5・4
mV - mW = -10

VはWより10等級小さいと答えます。5等級差を2回重ねた別解では、100・100 = 10000倍です。10等級小さいという答えをこの倍率へ戻すと条件に一致します。差の値であり、VやWの等級そのものは決まりません。

5の解答

XはYより1等級小さいので、正の倍率をrと置くと次の関係です。

r・r・r・r・r = 100
r = 100の5乗根
r ≒ 2.51

答えは100の5乗根倍、概算で2.51倍です。丸め前の条件値2.51189を使えば5乗は約100となり、5等級分の倍率に戻ります。2.51は最終表示の近似なので、その5乗がちょうど100にならないことは矛盾ではありません。

手元に残す要点

• 小さい等級ほど、同じ測光帯では明るく見えます。
• 5等級小さければ100倍、2.5等級小さければ10倍です。
• 等級差は足し、対応する明るさの倍率は掛けます。
• 比の順番と等級差の符号を対応させ、最後に丸めます。
• 見かけの明るさの比と、星の光度の比は区別します。

答案のどこを見るか

等級の順序で止まる場合は、まず2つの数字を紙に並べ、明るい方を指さしてから比を作ります。順序は正しいのに式が逆になる場合は、分子と引き算の順番を星の記号で書き、数値を入れる前に指数の符号を予想します。倍率が1を超えるかという見通しが、式を作った後の照合に役立ちます。

個別指導では、答えだけでなく、同じ測光帯という条件、図の矢印、比の分子、丸める前の値を順に確かめます。明るさから等級へ戻す説明を本人の言葉で書ければ、一方向の暗記かどうかも見分けられます。等級の数字が増える向きと光の減る向きは、常に対になっています。