高校地学 地球楕円体と扁平率—赤道半径と極半径の違いを比で説明する｜武蔵野個別指導塾

赤道半径を分母にする理由から資料の逆算、球近似の限界まで、数と図で読み解く地球の扁平率です。

よくあるのは、赤道半径と極半径の差を求めた後、その差を極半径で割ってしまう場面です。長さの差を比に直すという発想は合っていますが、何を基準にした比かを取り違えています。分母を確認せずに計算を進めると、数値は出ても別の量になります。地球の形を単純な模型に置き換え、長さと比の意味を図に戻して考えましょう。

問いの形と、最初にそろえる言葉

この単元では、赤道半径と極半径から扁平率を求める計算、扁平率と片方の半径からもう一方を戻す計算、球に近似したときに失う情報を述べる問題が扱われます。数値が表に並んでいても、まず各列が長さなのか、単位のない比なのかを確かめます。半径の差が大きい模型ほど扁平率が大きいとは、基準となる半径が同じ場合に限っていえます。

半径は中心から表面までの長さです。直径は中心を通って表面から反対側の表面までを結ぶ長さなので、同じ方向の半径の2倍です。直径を示した資料では、方向をそろえて半径に直すか、両方とも直径のまま比を作ります。一方を半径、他方を直径として引くことはできません。以下の数値は計算の仕組みを調べるための条件であり、地球の実測値ではありません。

基準を決めて形を比べる

地球の大まかな形を、赤道方向に長く、両極を結ぶ方向に短い回転楕円体で表します。赤道半径を a、極半径を b とし、ここでは a が b 以上である模型を考えます。中心を通り自転軸を含む断面は楕円で、その横の半径が a、縦の半径が b です。赤道面での断面は半径 a の円です。

図1のように、同じ中心から測った2本を比べると、赤道方向から見て極方向が短い分は a − b です。この差自体は長さであり、模型を同じ形のまま拡大すれば大きくなります。形のつぶれ具合を大きさに左右されずに比べるには、差を基準となる長さで割ります。

扁平率 f は、赤道半径を基準として半径の差がどれほどあるかを表し、f = (a − b)/(a) と定義します。これは「極半径が赤道半径からどれだけ短いか」を、赤道半径の何倍かで表したものです。定義の分母は a です。差を b で割る比も数学的には作れますが、その比を扁平率と呼ぶことはできません。a と b の単位をそろえれば、割り算で単位が消えます。

式を変形すると f = 1 − (b)/(a) です。したがって b = a・(1 − f) とも書けます。差がゼロなら f はゼロで、a と b は等しく球になります。a と b が正で b が a 以下の模型では、f はゼロ以上1未満です。負の値や1以上の値が出たときは、引き算の順序、単位、模型の条件を調べ直します。逆に、範囲内の値が出ても、入力した半径を取り違えていないかの確認は必要です。

例えば相似な2つの模型を考えます。すべての長さを同じ倍率にすれば a − b と a が同じ倍率で変わるので、その商 f は変わりません。差が同じ2つの模型でも、赤道半径が違えば f は違います。長さの差と割合は、別の問いに答える量です。

楕円体は地球の形を扱いやすくしたモデルです。実際の地表には起伏があり、その表面のどこも一つの滑らかな楕円体に厳密に一致するわけではありません。図は形の違いを見せるために縦横の差を強調しています。図の見かけだけから実際の扁平率を測ってはいけません。

基本例題：半径から差と比をつなぐ

ある回転楕円体の模型について、赤道半径 a を 40 cm、極半径 b を 36 cm と仮定します。半径の差を cm の整数で、扁平率を既約分数で求めてください。また、求めた比を使って極半径が元の条件に戻ることを示してください。長さは条件どおり正確な値として扱います。

図2のように、まず差がどの部分を表すかを考えます。断面にある横の半径と縦の半径を直接引くので、差は 40 − 36 = 4 cm です。この 4 cm が基準の 40 cm に占める割合を求めます。

f = (a - b)/(a)
f = (40 - 36)/(40)
f = 4/40
f = 1/10

答えは差が 4 cm、扁平率が 1/10 です。分数 1/10 は長さではなく割合なので cm を付けません。赤道半径の 1/10 だけ極半径が短い、という意味です。差を極半径で割った 4/36 は別の基準の比であり、ここで定義した f とは異なります。

戻して確認します。赤道半径の 1/10 は 40・(1/10) = 4 cm です。40 cm から 4 cm を引くと 36 cm となり、与えられた極半径を再現します。計算式を再び解くだけでなく、模型の横の長さから縦の長さへ戻すことが点検になります。図2の線の長さも 40 対 36 の比で描かれています。

資料から半径を戻す

次の2つの模型は、どちらも扁平率を 1/12 と仮定します。模型Pの赤道半径は 48 cm、模型Qの赤道半径は 84 cm です。それぞれの半径の差と極半径を cm の整数で求め、差の違いを説明してください。

扁平率は差を赤道半径で割ったものですから、差は赤道半径に扁平率を掛けて求められます。模型Pの差は 48・(1/12) = 4 cm、極半径は 48 − 4 = 44 cm です。模型Qの差は 84・(1/12) = 7 cm、極半径は 84 − 7 = 77 cm です。比が同じでも、基準となる赤道半径が異なるため、差は同じにはなりません。

条件へ戻すと、Pは (48 − 44)/(48) = 1/12、Qは (84 − 77)/(84) = 1/12 です。逆に「差が 4 cm か 7 cm か」だけを見ても、どちらがよりつぶれているかは決められません。各模型の赤道半径を分母にして初めて形の比を比べられます。

別解では b = a・(1 − f) を使います。1 − 1/12 = 11/12 なので、Pの極半径は 48・(11/12) = 44 cm、Qは 84・(11/12) = 77 cm です。こちらは極半径が赤道半径の何倍かを先に求める方法です。差を経由する方法と同じ定義から出発しているため、結果が一致します。

さらに、極半径から赤道半径を求める場合を考えます。別の模型で b = 63 cm、f = 1/10 と仮定し、a を cm の整数で求めます。b は a の 9/10 なので、a・(9/10) = 63 cm です。両辺を 9/10 で割ると a = 70 cm となります。差は 7 cm で、7/70 = 1/10、70 − 7 = 63 cm と条件を再現します。極半径に扁平率を掛けて差とする方法は使えません。扁平率の基準は未知の赤道半径だからです。

扁平率だけを渡されても、模型の寸法は決まりません。同じ比を保ったまま模型を拡大できるためです。逆算には少なくとも長さに関する追加の条件が要ります。半径の差だけが与えられた場合も、f が正なら a = (差)/(f) から求められますが、差と f がともにゼロの場合はその割り算ができず、球の大きさは決まりません。

誤答から基準を取り戻す

基本例題に対して「扁平率は (40 − 36)/(36) = 1/9」とする答案を考えます。差の 4 cm は正しく求めていますが、極半径を分母にしたため、求めたのは極半径に対する差の比です。図3のように、同じ差でも比較対象の長さが違えば、割合も変わります。

修正するときは、分母だけを機械的に置き換える前に「赤道半径を基準とする」と文章にします。それから 4/40 = 1/10 と書けば、式と意味がつながります。元の答案の 1/9 も 36 cm の 1/9 が 4 cm という点では合っていますが、求められた量ではありません。

別の誤りは、差 4 cm をそのまま扁平率と答えることです。長さを聞かれたのか比を聞かれたのかを単位で見分けます。差の単位が cm なら、扁平率は cm/cm で単位が消えます。百分率を求める条件なら 1/10 を 10% と表しますが、分数の答えと 10 を混同しないようにします。

また、図を見て極半径が短いから「極側の表面が中心に近い」と述べることと、地表の任意の地点の高さを結論することは別です。滑らかな楕円体の半径について述べているのか、起伏のある実際の地表について述べているのかを答案で明確にします。図3の比の比較も、実際の地形の高さを表してはいません。

模型と測定のずれをどう扱うか

模型の半径を調べるなら、同じ中心と方向を基準に、赤道方向と極方向の長さをそれぞれ測ります。中心がずれていると両方向で比較する長さが変わります。直径を測る方法なら、中心を通る向きで反対側までの長さを測り、各方向で半分にします。測る位置や向きを変えて繰り返し、値のばらつきを記録すれば、1回の読み取りに依存していないかを検討できます。

扁平率が小さい模型では、近い2つの長さを引いて小さな差を求めます。そのため、半径の読み取り誤差がそれぞれ小さく見えても、差に対しては大きな割合になることがあります。測定の分解能より差が小さいなら、表示された差をそのまま精密な形の証拠とは扱えません。異なる測定方法や方向での繰り返しを比べ、誤差の範囲を添えて判断します。

横軸に赤道半径 a、縦軸に差 d = a − b を取り、扁平率が同じ模型を点にすると、d = f・a に従って原点を通る直線上に並びます。傾きは縦の増加量を横の増加量で割った f です。軸の単位をそろえずに目盛りの長さだけで傾きを読んではいけません。測定点が直線から少し外れた場合には、読み取りのばらつきと模型自体の形の違いの両方を検討します。図上の直線だけから、原因を一意に決めることはできません。

球近似は、方向による半径の違いが問題の精度に比べて無視できるときに便利です。ただし、球に置き換えると赤道方向と極方向の差はゼロになり、扁平率そのものを表せません。近似が妥当かどうかは、必要な精度と求める量を照らして決めます。半径の差を問う場面で球近似を先に適用すると、調べたい差まで消してしまいます。

練習：条件から図と式を選ぶ

次の模型の数値はすべて計算用の仮定です。長さは正確な値とし、指定された形で答えてください。理由を問う問題では、比較の基準も書きます。

1. 赤道半径 75 cm、極半径 60 cm の模型の半径差を cm の整数で、扁平率を既約分数で求めてください。
2. 赤道半径 96 cm、扁平率 1/16 の模型の極半径を cm の整数で求め、元の比に戻して確かめてください。
3. 極半径 55 cm、扁平率 1/12 の模型の赤道半径を cm の整数で求め、差から扁平率を再現してください。
4. 模型Rは赤道半径 30 cm、極半径 27 cm、模型Sは赤道半径 80 cm、極半径 72 cm です。差を cm の整数で、扁平率を既約分数でそれぞれ求め、差と形の比を比較してください。
5. ある模型の赤道方向の直径は 140 cm、極方向の直径は 126 cm と仮定します。扁平率を既約分数で求めてください。さらに、これを球として扱った場合に失われる情報を、半径の差に触れて説明してください。

練習の答えと確かめ

1. 差は 75 − 60 = 15 cm、扁平率は 15/75 = 1/5 です。75 cm の 1/5 は 15 cm で、75 − 15 = 60 cm と極半径に戻ります。分母に 60 を選ぶと違う基準の比になるため、定義に戻って点検します。
2. 差は 96・(1/16) = 6 cm なので、極半径は 96 − 6 = 90 cm です。逆に (96 − 90)/(96) = 6/96 = 1/16 で、与えられた比を再現します。6 cm は 96 cm を基準に求めた差です。
3. 極半径は赤道半径の 11/12 です。したがって赤道半径は 55 ÷ (11/12) = 60 cm です。差は 60 − 55 = 5 cm、5/60 = 1/12 となり、条件に戻ります。55 に 1/12 を掛けるのではなく、55 が赤道半径のどの割合かを先に求めます。
4. Rの差は 3 cm、扁平率は 3/30 = 1/10 です。Sの差は 8 cm、扁平率は 8/80 = 1/10 です。Sの方が差は大きいものの、赤道半径を基準にした形の比は等しくなります。30 − 3 = 27、80 − 8 = 72 と両方の極半径も再現できます。
5. 半径はそれぞれ 70 cm と 63 cm、差は 7 cm です。扁平率は 7/70 = 1/10 です。70・(1 − 1/10) = 63 cm で元の極半径に戻り、直径にすると 126 cm です。球では方向による半径差がゼロになり、この模型の 7 cm の差を表せません。

手元に残す要点

• 扁平率は f = (a − b)/(a)、基準は赤道半径 a です。
• 差は長さ、扁平率は単位のない比です。
• 同じ扁平率でも、大きさが違えば半径の差は変わります。
• 球近似は方向による半径差を消すため、目的と精度に応じて使います。

答案のどこを見るか

個別に答案を確かめるときは、まず a と b がそれぞれどの方向の半径かを図に書いてもらいます。次に分子の差と分母の基準を言葉で読み、単位が消えるところを追います。計算結果が合っていても、極半径を基準とした式を書いていれば、別の数値では誤りが表れます。

逆算で止まる場合は、極半径が赤道半径の 1 − f 倍であることを図に戻して確かめます。最後に求めた長さから差と比を作り直し、与えられた条件を再現できるかを見ます。基準を明示した比は、模型の大きさと形を区別する手掛かりです。