高校地学 弧長による地球測定—観測する角度と距離の条件から半径を求める｜武蔵野個別指導塾

影から得た角度を中心角に置き換える条件を確かめ、弧長からの半径計算と測定誤差の影響をたどります。

よくあるのは、2地点で測った影の角の差を地球の中心角として計算できても、なぜ同じ角度になるのかを説明できない場面です。図に線を引けば答えが出るように見えますが、地点の並び方や光の向きが変わると、その置き換えは成り立たなくなります。角度と距離が何を表しているかから順に確かめましょう。

何を比べれば半径に届くか

出方には大きく3つの型があります。2地点の角度差と地表の距離から半径を求める型、逆に半径と角度から距離を求める型、観測条件や誤差によって答えがどう変わるかを説明する型です。どれも、円の一部の長さと中心角が比例することを使います。まず、距離が地表に沿った弧の長さなのか、2地点を結ぶ直線の長さなのかを読み取ります。

円全体の中心角は360°、円周は2πRです。半径Rの円で、中心角θ°に対応する弧長をLとすると、弧の割合と角度の割合が等しいので、L/(2πR) = θ/360となります。ここでπは円周率です。問題で与えられた値を使う前に、角度が円の中心角に対応しているかを判断する必要があります。

以下の数値は計算のために置いた条件であり、実際の地球や観測の値ではありません。球面を使ったモデルは仕組みをつかむ道具です。得られた値が現実の地球の厳密な半径を表すとは限りません。

影の角から中心角へ

地球を球とみなし、中心をO、同一子午線上の2地点をA、Bとします。子午線は両極を通る大円で、地球を南北に切った断面を考えられます。AとBの間に選んだ弧に対する中心角を∠AOBとし、弧に沿う距離をLとします。地表の鉛直方向はこの球のモデルではそれぞれOA、OBの外向きの延長です。

図1では、2地点へ届く光は平行で、両地点の鉛直線を含む子午線断面内にあるとします。以下の例題もこの配置を前提とし、太陽光を使う観測では同じ日の子午線通過時に両地点で測ります。各地点で、鉛直線と同じ向きの光線との角度を測れば、平行な線を基準にして鉛直線どうしの開きを比べられます。同じ側に光がある配置では、その角度の差が中心角です。片方の地点で鉛直と光が一致するときは、他方の角がそのまま中心角になります。影の長さから角度を求める場合も、影そのものの方向と鉛直線の角を混同せず、棒と光線がつくる角を取り出します。

図1ではAで光が鉛直と一致し、Bではずれがあります。平行な光線を中心まで延長して考えると、Aの半径方向と平行な線とBの半径方向の角が対応します。図は関係を示す模式図であり、距離や角度を測り取る縮尺図ではありません。

両地点で光が鉛直の同じ側にあるなら角度差を使います。一方、光の方向をはさんで鉛直方向が両側にある配置では、符号を無視した角度の和が中心角に対応する場合があります。角の大きさだけを引くという暗記では配置を見落とします。向きを含めた図を描き、どの角がどの角に対応するかを確認しましょう。

同一子午線という条件は、南北に並ぶ2地点と中心を含む同じ断面で角度を扱うために必要です。別の子午線にある地点の鉛直線も中心から放射状に伸びますが、南北方向の角度差だけで2地点間の中心角を決めることはできません。さらに、光線が平行でなければ、鉛直線の向きの差と観測した角度差には光線自体の方向差が混ざります。角度の値が与えられても、測定の配置を示さなければ根拠は不足します。

距離についても同じです。円の内部を通る弦の長さと、地表に沿った弧の長さは異なります。曲がった道を歩いた長さがそのまま子午線に沿う弧長とも限りません。水平な地面に立てた棒が本当に鉛直か、地点の位置、観測時刻、影の端の読み取りをそろえることも必要です。複数回の観測や別の方法で求めた距離との照合は誤差を見つける助けになりますが、共通するずれまで必ず消せるわけではありません。

基本例題：弧から円周へ

球を仮定します。同一子午線上のA、Bで同時に平行な光を受け、Aでは光と鉛直が一致し、Bでは両者の角が12°でした。AからBまで子午線に沿う弧長は600 kmとします。円周率はπとし、半径をπを含む式で、単位を付けて求めてください。図2は条件の模式図です。

図2の中心角は12°です。まず弧が円全体のどれだけを占めるかを求めます。360°を12°で割ると30ですから、この弧を30個つなぐと円周に相当します。したがって円周は600 kmの30倍です。

円周 = 600 × (360)/(12)
円周 = 18000 km
2πR = 18000 km
R = (9000)/(π) km

式で一度に解く場合も、同じ比例を使います。600/(2πR) = 12/360に代入してRを解けば同じ値です。答えを条件に戻すと、円周は18000 kmで、その12/360は600 kmです。角度と弧長を両方再現できるため、円周と半径を取り違えていないことも確かめられます。

この結果を小数にする必要はありません。πを含む形で求めるという指定があるので、途中で円周率を丸めずに答えます。もし小数を指定された場合は、問題に与えられた円周率と桁の指定に従い、最後に丸めます。半径の単位は長さなのでkmであり、角度の単位を付けたままにはしません。

標準と発展：逆向きに考える

標準例題では、同じ球面モデルでA、Bが同一子午線上にあり、平行光線と鉛直との角度が同じ側でそれぞれ4°、10°とします。2地点間の弧長は450 kmです。半径をπを含む式で求め、得られた値から元の弧長を再現してください。数値は条件として置いたものです。

同じ側なので中心角は10° − 4° = 6°です。円全体はその60倍であり、円周は27000 km、半径は13500/π kmです。逆に円周27000 kmの6/360は450 kmです。差を取る順序で負にならないようにするのは、ここで使っているθが選んだ弧に対する正の角度だからです。符号付きの方向を使う場合も、最後に求める弧に合う角度の大きさを決めます。

別解では1°あたりの弧長を先に求めます。450/6 = 75 kmですから、360°では75 × 360 = 27000 kmです。この方法は表やグラフの読み取りにも使えます。横軸を中心角、縦軸を弧長とすれば、同一の球では原点を通る直線になり、その傾きは1°あたりの弧長です。単位はkm/°です。傾きから円周を求めて半径へ戻せます。

発展例題では、同じモデルで円周が24000 kmの球を考えます。同一子午線上の2地点の角度差は8°、光線と鉛直の関係は中心角がこの差になる配置です。弧長をkmで求め、小数第1位を四捨五入して整数で答えてください。円周の8/360なので、弧長は1600/3 kmです。整数にするには四捨五入して533 kmとなります。丸める前の値を使って1600/3を24000で割ると8/360に戻ります。丸めた533 kmから逆算した角度は8°にぴったり戻らないため、その差を計算の誤りと決めつけないことも大切です。

実際の観測を考えると、地点が子午線からずれたり、地表面が球面から外れたりします。影の端がぼやけて角度を一定の精度で読めない場合や、距離に経路の曲がりが混ざる場合もあります。測定値を式に入れることと、その値がモデルの量に対応することは別の確認です。条件を満たさない資料では、数式が解けても半径を正しく推定したとは言えません。

誤差を比として読む

式R = 180L/(πθ)から、θが一定ならLが大きく測られるほどRも同じ割合で大きくなります。一方、Lが一定ならθを大きく測るほどRは小さくなります。たとえば弧長が正しく、角度だけが真のモデル値の2倍とされたら、推定半径は半分です。両方の測定がずれる場合は、どちらか一方だけを見て結果の向きを断定できません。

同一球の複数の弧について、中心角と弧長を対応させた資料があれば、原点を通る直線からのずれを調べます。角度が横軸、弧長が縦軸なら傾きが大きいほど推定半径は大きくなります。点が直線に乗らないときは、読み取り誤差、距離の定義、地点の配置、球の仮定などを点検します。グラフのずれだけで原因を1つに特定することはできません。

間違いの出どころを直す

図3の左のように、弧長を円周そのものと見なすと、基本例題の600 kmを2πRとしてしまいます。しかし600 kmは12°に対応する一部分です。まず円周を求めてから2πで割るか、弧長と円周の比を式に書きます。図3の右では、同じ弧を円全体の一部として示しています。

もう一つの誤答は、2地点の光線が平行かどうかを確かめず、角度の差を中心角とすることです。光線自体の方向が異なる場合、角度差にはその違いが含まれます。修正には、光の方向を各地点から延ばして平行であることを図に記し、鉛直線の開きとの対応を説明します。同一子午線上でない場合は、観測した角度がどの平面内の角度かも示します。

さらに、距離を過大に測れば半径も過大になるのに、角度を過大に測っても半径が大きくなると考える誤りがあります。式では距離が分子、角度が分母です。まず片方を固定して増減を考え、その後で両方が変化する場合を扱えば、向きを逆に覚えにくくなります。弧の端点を結ぶ直線距離を与えられた場合は、弧長として代入せず、問題のモデルと必要な関係を確認してください。

自分で確かめる5問

各問は球面と平行光線のモデルで、数値は練習用の条件です。半径にπが残る場合はそのまま答えます。各地点は同一子午線上にあり、記された角度差は対応する弧の中心角とします。

1. 中心角15°に対応する弧長が750 kmです。円周と半径をkmで求めてください。
2. 円周が30000 km、中心角が18°です。弧長を整数のkmで求めてください。
3. 同じ側で測った鉛直と光の角が3°と9°で、弧長が480 kmです。半径をkmで求め、弧長を再現してください。
4. 同じ球の資料として、中心角2°で弧長140 km、5°で350 kmが得られました。横軸を中心角、縦軸を弧長とするグラフの傾きと円周を求め、資料の比例関係を説明してください。
5. 弧長は正確とし、角度を本来のモデル値より大きく読んだ場合、推定半径はどう変わりますか。また、2地点の光線が平行でないとき、角度差を中心角に使えない理由を述べてください。

答えと解き方

1. 円周は750 × 360/15 = 18000 km、半径は9000/π kmです。18000 × 15/360 = 750 kmとなり、元の弧長に戻ります。
2. 30000 × 18/360 = 1500 kmです。1500/30000 = 18/360であり、求めた弧が指定された割合に戻ります。
3. 中心角は9° − 3° = 6°です。円周は480 × 360/6 = 28800 km、半径は14400/π kmです。円周の6/360は480 kmなので、条件を再現します。
4. 140/2 = 70、350/5 = 70なので、傾きは70 km/°です。円周は70 × 360 = 25200 kmです。2組とも同じ傾きを示し、原点を通る直線上にあります。円周の2/360と5/360はそれぞれ140 kmと350 kmに戻ります。ただし2点が一致することだけで、実際の地球が完全な球だと証明できません。
5. 弧長が一定なら半径は角度に反比例するため、角度を大きく読むと推定半径は小さくなります。平行でない光線では観測角の差に光線の向きの差が含まれ、鉛直線どうしの開きと一致するとは限りません。どちらも、式を適用する前に固定した条件を述べることが根拠です。

要点を短く

同一子午線上の地点と平行光線を、球の中心を通る断面で結びます。
鉛直と光の角から、配置に応じて中心角を求めます。
弧長/(2πR) = 中心角/360を使い、単位をそろえます。
距離と角度の誤差が半径に与える向きを分けて考えます。

答案を見直すとき

式に入れた距離に「地表の弧」と書けるか、中心角の図に平行光線と鉛直線を描けるかを確かめます。角度差を使った答案では、光が鉛直の同じ側にある配置を説明できるかが分かれ目です。個別に確認するときは、まず図を言葉に直し、次に円周と半径の単位を追います。最後に得た半径から弧長を戻して、与えられた条件と一致するかを見ます。角度と距離を結ぶ条件が見えると、地球の大きさを求める式にも意味が生まれます。