高校地学 放射年代と半減期—親核種の残存割合から年代を求めて閉鎖条件まで確かめる｜武蔵野個別指導塾

親核種の残存率を半減期に換算し、砕屑粒子と地層の年代の違いから見極める放射年代です。

よくあるのは、砂岩に含まれる砕屑粒子の年代を測り、その数字を砂岩が堆積した年代としてそのまま書く場面です。粒子は堆積する前に別の岩石で生まれ、運ばれてきたかもしれません。測定値が示す出来事を先に確かめると、数値と地層の歴史を結ぶ道筋が見えてきます。

時計が示す出来事を問う

放射年代の問題では、親核種がどれだけ残ったかから経過時間を求める計算と、その時間が何の年代にあたるかという判断が組み合わされます。親核種は放射壊変するもとの核種、娘核種はその結果生じる核種です。原子の種類が変化する割合を利用しますが、得られた値には測定した鉱物の履歴が反映されます。

問いの型を分けましょう。残存割合から半減期の回数を数える問題では、半分になる前の量を基準にします。親と娘の量から割合を求める問題では、初めからあった娘核種や外部との出入りについての条件が必要です。年代の解釈では、粒子がいつ結晶化し、いつ運搬・堆積され、その後に変成を受けたかを区別します。

計算が合っていても、時計が動き始めた出来事を取り違えると答えは変わります。逆に年代の意味を理解していても、残った量を減った量と取り違えると時間を誤ります。数字と出来事を別々に確認してから結びつけるのが安全です。

半分になる量と閉鎖の条件

半減期とは、ある親核種の数が壊変によって半分になるまでの時間です。残った親核種は、次の半減期にもその時点の半分になります。最初の量をP₀、経過後をPとすると、整数n回の半減期の後の残存割合は P/P₀ = (1/2)ⁿ です。半分をn回掛けるので、毎回もとの量の半分ずつ減るわけではありません。

図1のように、初めの量を基準にすると、1回後は1/2、2回後は1/4、3回後は1/8です。経過時間は半減期の長さに回数を掛けます。図は割合のモデルであり、特定の核種や実際の地質年代を表していません。

この式は、外から親核種が加わらず、親核種が壊変以外で失われないモデルから得られます。娘核種を利用する計算では、娘核種も外部と出入りしないことが必要です。こうした出入りを無視できる状態を閉鎖系と呼びます。閉鎖の成立時から今までの時間を時計が記録するという考え方です。

実際には、鉱物ができた瞬間から必ず完全な閉鎖系だったとは限りません。高温や変質などで親核種や娘核種が移動すれば、単純なモデルの前提が崩れます。冷却に伴って時計が実質的に閉じた時期を示す場合や、後の変成によって時計が影響を受ける場合もあります。どの出来事に対応するかは、鉱物や岩石の組織、地質関係、別の測定などと照合します。

娘核種を使うときは初期量にも注意します。娘核種が最初はなく、親1個から娘1個が生じ、両者の出入りがないという自作モデルなら、現在の親の数と娘の数の和が初めの親の数に等しくなります。最初から娘が含まれていたら、その和をそのまま初めの親とみなせません。実際の測定では初期成分の見積もりなどが必要で、ここでの単純な引き算だけで処理できるとは限りません。

砕屑粒子は、もとの岩石から分離され、運搬されて堆積物の一部になります。時計が運搬中も閉鎖されたままなら、その粒子の年代は堆積以前の結晶化や冷却などを記録し得ます。したがって粒子の年代は、条件が成り立つとき堆積年代の古い側の限界を与えますが、堆積した瞬間を直接示すとは限りません。変成年代も、鉱物が変成の際に形成されたのか、以前の時計が影響を受けたのかを区別して読みます。

基本例題: 残りから時間を数える

自作のモデルで、親核種の半減期を4百万年とします。ある鉱物は時計の開始後、親核種の出入りがなく、親の残存割合は開始時の1/8でした。経過時間を百万年単位の整数で求め、時計の開始後に堆積した粒子の場合にその値が堆積年代と同じかも答えてください。数字はこの問題の条件で、実測値ではありません。

図2のように、開始時から半分を繰り返すと、1/2、1/4、1/8と進みます。1/8は3回の半減期に対応します。1回が4百万年なので、経過時間は4・3 = 12百万年です。答えを戻すと、12百万年は4百万年の3回分であり、残存割合は(1/2)³ = 1/8となって条件と一致します。

別解は、1/8の逆数8を2・2・2と分解する方法です。2が3個あるので半減期は3回です。どちらの方法でも、1/8を残存割合として使い、壊変した割合の7/8とは区別します。

粒子が時計の開始後に堆積したなら、12百万年前という値はその開始に対応し、堆積はそれより後です。堆積までの時間が問題に与えられていないので、堆積年代は決まりません。粒子が堆積後に時計を完全にリセットされたという条件なら解釈は変わるため、閉鎖の履歴を確認します。

標準例題: 娘核種を含む資料を読む

自作モデルでは半減期を6百万年とし、時計の開始時には娘核種がなく、親1個から娘1個が生じ、親と娘は出入りしないものとします。現在の親が30個、壊変で生じた娘が90個です。経過時間を百万年単位の整数で求め、答えを現在の個数に戻して確かめてください。個数は計算用の条件です。

初めの親の数は30 + 90 = 120個です。現在の残存割合は30/120 = 1/4で、半減期2回にあたります。経過時間は6・2 = 12百万年です。逆に120個から2回半減させると60個、30個となり、壊変した90個が娘として残るので、問題の両方の数に戻ります。

娘が最初からあった場合はどうでしょうか。たとえば娘の一部が初期成分なら、90個のすべてを親の壊変でできたものとは置けません。初期娘の量が不明なままでは初めの親の数を定められず、上の12百万年を結論にできません。観測値が同じでも仮定が違えば答えが変わる例です。

発展例題: 粒子と地層の順序を組む

粒子Aが20百万年前に形成され、その時点で閉鎖したという自作条件を使います。Aは形成後に堆積し、時計は堆積の前後を通して閉鎖を保ったものとします。堆積岩を切る岩脈Bは8百万年前に結晶化しています。Bは結晶化以来閉鎖し、切断関係は明瞭です。堆積年代の範囲を百万年前で表し、端を含むかどうかも示してください。

粒子Aの形成は堆積より前なので、堆積は20百万年前より新しい出来事です。岩脈は堆積岩を切るので堆積より後で、堆積は8百万年前より古い出来事です。よって堆積年代は20百万年前と8百万年前の間で、どちらの端も含みません。この範囲内の15百万年前を試すと、20、15、8の順に古く、条件に合います。たとえば25百万年前なら粒子より堆積が古くなり、5百万年前なら岩脈より堆積が新しくなるため、どちらも条件に反します。

ただし、この幅の中から1つの年代を選ぶ根拠はありません。粒子の時計が後の変成で影響を受けていれば、粒子形成の年代と20百万年前を同一視する前提も再検討します。岩脈の切断が見えない場合には、岩脈が堆積より後という関係も確定できません。観察されていない接触部に切断を描き足さないことが大切です。

測定計画では、まず粒子の産状と周囲の組織を記録し、変質した部分と新鮮な部分を区別します。複数の粒子を調べ、同じ地層の異なる位置の試料や、前後関係が見える火成岩の試料と照合します。粒子はそれぞれ異なる母岩から来た可能性があるため、数値が違うこと自体を直ちに失敗とはせず、誤差と地質学的な理由の両方を考えます。試料の採取や処理は学校の指導の下で行います。

測定値には装置の読み取りや試料の混入などによる不確かさがあります。小さな量の測定では、わずかな混入が比に大きく響くこともあります。誤差の範囲が重なる値を、表示された中心値の大小だけで前後に並べることはできません。再測定でばらつきを調べ、別の証拠と合わせても順序を決められなければ、判定を保留します。

間違いを直す: 減った量と残った量

誤答は「親が1/8残ったので、半減期は1/8回」というものです。原因は、残存割合を経過時間に比例する量として扱うことです。親は半減期ごとに、その時点の残りの半分になるので、減少の幅も小さくなります。図3のように、割合の軸と時間の軸を混同せず、1/8に達するまで半減を3回たどります。

グラフでは横軸が経過した半減期の回数、縦軸が初めを1とする残存割合です。曲線は右へ行くほど下がり、傾きの絶対値が小さくなります。1回と2回の間で減る量と、2回と3回の間で減る量は同じではありません。軸の単位が百万年なら、読み取った時間を問題の半減期で割って回数を求めます。

別の誤答は「娘が全体の3/4だから親も3/4残った」です。初期娘がなく出入りもない単純モデルでは、親の残りは1 − 3/4 = 1/4です。割合の分母は初めの親の数であり、現在の親だけではありません。初期娘が不明な場合には、この補数の計算そのものが使えないことにも注意します。

練習: 条件を分けて考える

以下の数値はすべて自作問題の条件で、実在の核種の値ではありません。経過時間は指定された単位の整数で答え、計算は丸めずに行ってください。

1. 半減期が3百万年の親核種が、閉鎖された試料で初めの1/16残っています。経過時間を百万年単位で求めてください。
2. 半減期が5百万年の親核種が、閉鎖された試料で15百万年経過しました。初めを1とした残存割合を分数で求めてください。
3. 初期娘がなく、親1個から娘1個が生じ、両者に出入りがないモデルで、現在の親は14個、娘は98個です。半減期を2百万年として経過時間を百万年単位で求めてください。
4. 閉鎖した粒子Cの時計の開始は36百万年前で、粒子はその後に地層に堆積しました。地層を切る岩脈Dは10百万年前に結晶化し、それ以後閉鎖していました。堆積年代の範囲を百万年前で示し、端を含むか答えてください。
5. ある鉱物に現在の親と娘の量が測定されましたが、初期娘の量も外部との出入りも不明です。初期娘がなく閉鎖していたと仮定して求めた値を、確定した結晶化年代とできるか、理由を2点挙げて答えてください。

練習の答えと解き方

1. 1/16 = (1/2)⁴なので4回です。3・4 = 12百万年です。12百万年を3百万年で割ると4回で、残りは1/16に戻ります。

2. 15/5 = 3回です。残存割合は(1/2)³ = 1/8です。逆に3回分の時間は5・3 = 15百万年で、条件の経過時間と一致します。

3. 初めの親は14 + 98 = 112個です。残存割合は14/112 = 1/8なので3回、経過時間は2・3 = 6百万年です。112個を3回半減すると14個になり、減った98個が娘として残るので両方の観測値に戻ります。

4. 粒子Cの時計の開始後に堆積し、岩脈Dの結晶化前に堆積したので、36百万年前より新しく、10百万年前より古い範囲です。端は含みません。例えば22百万年前ならC、堆積、Dの順になり、条件に合います。範囲内のどの時点かはこの資料だけでは決まりません。

5. 確定できません。初期娘があれば現在の娘をすべて壊変の産物とみなせず、親や娘の出入りがあれば閉鎖系の計算が崩れるためです。さらに、たとえ閉鎖からの時間を推定できても、その開始が結晶化に対応するかを組織や地質関係で別に確かめる必要があります。

覚えておくこと

• 残存割合は半減期ごとに、その時点の半分です。
• 娘から初めの親を求めるには初期娘と出入りの条件が必要です。
• 放射年代は時計が閉じた出来事と結びつけて読みます。
• 砕屑粒子の年代と、それを含む地層の堆積年代は区別します。

答えが合わないときの見直し

残存割合が出せないときは、初めの親を1とした表を作り、半減のたびに残りを記入します。時間が合わないときは、回数と1回の長さの単位を別々に書きます。計算後には求めた時間から残存割合を再現し、親と娘の両方が条件に戻るかを確かめます。

個別指導で確認するなら、最初にどの量を観測し、どの量を条件から推定したかを説明してもらいます。次に、粒子の形成、堆積、変成のうち、測定した時計がどこから動いていたかを図に書き込みます。閉鎖の根拠が足りない箇所は空欄に残し、追加したい観察を考えます。放射年代の数値は、出来事と条件を結んで初めて地層の歴史を語ります。