高校数学A 接弦定理—接線と弦が作る角を対応する円周角に置き換えて解く｜武蔵野個別指導塾

接線の両向きで角が変わる図から弧との対応をたどり、接線長が等しくなる理由まで確かめられます。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が接線との小さい角にいつも円周角を置き換える場面です。接線は接点から両向きに延びています。弦を境にして、片方の向きでできる角ともう片方の向きでできる角の和は180°です。どちらが円周角と等しいかは、円周角の頂点が円のどこにあるかで決まります。図の空いたところに小さな角を書き込む前に、接点と弦のもう一方の端を見つけましょう。

問われる形を見分ける

接弦定理を使う問題には、まず接線と弦の角から円周角を求める形があります。逆に、円周角が与えられ、接線と弦の角を求める形もあります。どちらも、等しい角の頂点は異なりますが、対象となる弦の端は共通です。弦の端に印を付けてから、円周角の頂点と接線の向きを確かめます。

次に、接点へ引いた半径が接線に垂直であることを使い、三角形の内角とつなぐ形があります。中心が図にあるときは、半径どうしが等しいことも手掛かりです。直角を使う場所と接弦定理を使う場所は別なので、根拠を区別して書きます。

さらに、円の外の1点から引いた2本の接線の長さや、その間の角を求める形もあります。接点までの2つの線分は等しく、二等辺三角形ができます。ここでは接線長と角の関係を扱い、円を横切る直線の線分の積を使う方べきの定理には進みません。

接点、弦、弧を対応させる

円に直線が1点だけで接するとき、その点を接点と呼びます。円の中心をO、接点をAとすると、半径OAは接線に垂直です。円周上の別の点BとAを結ぶ線分ABは弦です。AとBは円周を2つの弧に分けます。円周角は頂点を含まない方の弧に対する角です。

図1のように、Aでの接線の右向きの半直線をATとし、Bを円の右側、Cを下側の円周上に取ります。接線と弦の角∠TABが見込む弧は、Cを含まない側の弧ABです。円周角∠ACBも、その同じ弧を見込みます。接弦定理により、∠TAB = ∠ACBです。図では接線の左向きをASとします。

図1のように、Cから弦ABの両端へ線を結ぶと、円周角の頂点が接点AではなくCにあることが見えます。接線の右向きATを左向きASに替えると、∠SABは∠TABと合わせて180°です。したがって、∠SABをそのまま∠ACBと等しいとすることはできません。接線上に点の名前を置かない図でも、どちらの半直線を使うかを必ず指でたどります。

この関係は半径からも確認できます。∠OABをxとすると、OA = OBなので∠ABOもxです。三角形OABの中心角∠AOBは180° − 2xです。Cが大きい方の弧ABにある場合、同じ小さい弧ABに対する円周角は中心角の半分で90° − xです。一方、OAとATは垂直なので、∠TABも90° − xです。図の配置で接線と弦の角と円周角が一致する理由が追えます。

Cを反対側の弧に移すと、円周角が見込む弧も反対に変わります。その角は元の円周角と和が180°になり、接線の反対向きの角に対応します。弧の名前を単に「AB」と書くと2つの弧が区別できないので、頂点を含むか含まないかまで説明すると安全です。接点と弦の端が同じでも、頂点の位置を確かめずに鋭角を選ぶ方法は使えません。

接線長が等しくなる理由

円の外部の点Pから接点A、Bへ接線を引くと、PA = PBです。これは円の外にあるどの2点からでも長さが等しいという意味ではありません。2本の接線が同じ点Pから出て、同じ円に接するという条件が必要です。接点と中心を結んでできる2つの直角三角形を考えると、その条件が見えてきます。

三角形OAPとOBPでは、斜辺OPが共通で、半径OAとOBが等しくなります。直角三角形の合同条件から2つの三角形は合同です。したがって対応する辺PAとPBが等しく、さらに∠APOと∠OPBも等しくなります。つまりOPは接線の間の角を二等分します。長さを使う問題では、等しいと書く前に、どの点から引いた接線かを確認します。

接線と弦の角が与えられたときにも、この等しい長さが役立つことがあります。たとえば三角形PABではPA = PBなので、底角∠PABと∠ABPが等しくなります。ただし接点で使う半直線APやBPが、円周角と対応する接線の向きかどうかは別に調べます。二等辺三角形の底角と接弦定理を一行にまとめず、どちらの性質を使ったかを分けると、補角を取り忘れにくくなります。

基本例題：円周角から接線の角へ

円の中心をOとし、円周上に異なる3点A、B、Cがあります。Aにおける接線上に点Tを取り、半直線ATと半直線ACが直線ABの反対側にあるものとします。∠ACB = 40°、∠ABC = 65°です。∠TABと∠TACをそれぞれ度数で求めてください。∠TACは0°より大きく180°より小さい角とします。

図2のように接点Aと弦ABに注目します。Cは∠TABの側とは直線ABを挟んで反対側にあります。弧ABに対する円周角∠ACBを使えば、求めたい接線の角に直接移れます。

まず接弦定理により、次のように書けます。

∠TAB = ∠ACB = 40°

ここで、∠BACも必要です。三角形ABCの内角の和から、途中を省かずに求めます。

∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°

∠BAC + 65° + 40° = 180°

∠BAC = 75°

図2のように、半直線ABは∠TACの内部にあります。したがって、接線からABまでの角とABからACまでの角を足します。

∠TAC = ∠TAB + ∠BAC

∠TAC = 40° + 75° = 115°

答えは∠TAB = 40°、∠TAC = 115°です。最後の角が鈍角になっても、小さい角へ勝手に直す必要はありません。問題が指定したのは半直線ATとACが作る角であり、この配置では115°です。

別の見方でも対応を確かめられます。接線の反対向きの半直線をASとすると、∠SAC = 180° − 115° = 65°です。これは弦ACについて、対応する円周角∠ABCと等しくなります。求めた2つの角から元の40°と65°へ戻れるため、角の向きの取り違えがないと確認できます。

半径と2本の接線を組み合わせる

円の外部の点Pから円に引いた2本の接線の接点をA、Bとします。中心をOとし、∠APB = 50°、PA = 6 cmです。∠AOBを度数で、PBをcmの整数で求めてください。AとBは異なる点です。

半径はそれぞれの接線に垂直ですから、∠OAP = 90°、∠OBP = 90°です。四角形OAPBの内角の和を使うと、

∠AOB + 90° + 50° + 90° = 360°

∠AOB = 130°

また、OA = OB、OPは共通で、三角形OAPとOBPは直角三角形です。斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので合同です。対応する接線の長さが等しいことから、PB = PA = 6 cmです。

答えを元の図へ戻すと、中心角130°と接線の間の角50°の和は180°で、残る接点の2角はともに90°です。4つの角の和は360°に戻ります。長さもPAとPBがともに6 cmとなり、同じ外部の点からの接線長の条件と合います。

この問題では、円周上の頂点から弦を見る角が与えられていないため、最初に接弦定理へ飛ぶ必要はありません。まず接点の直角を入れると中心角まで届きます。円周角が追加された場合には、接弦定理で接線の角へ移し、三角形の角や接線長と組み合わせる道が開きます。図のどの点に角が与えられたかで、最初に使う性質を選びます。

小さい角を選ぶ誤答を直す

図3では、接線上のS、A、Tがこの順に並び、BとCは円周上にあります。∠ACB = 40°のとき、∠SABを求める場面を考えます。誤答は「接弦定理より∠SAB = 40°」です。40°という数自体は円周角に対応していますが、その接線の向きが違います。

図3のように、Cと反対側にある接線の半直線ATを使う角は∠TAB = 40°です。ASとATは反対向きなので、∠SABと∠TABを足すと180°です。よって、

∠SAB = 180° − 40° = 140°

と修正します。40°を記入した後、問題で尋ねられたのがS側かT側かをもう一度読みます。∠SABはSからAを経てBへ向かう角で、真ん中の文字Aが頂点です。角の名前の最初と最後の文字を入れ替えても角は同じですが、SをTに替えると別の角になります。

図が正確に描かれていない場合も、見た目の小ささで判断しません。直線上の点の順序、円周角の頂点がある側、接線の半直線を条件から整理します。円周角の頂点が弦の端や接点と重なる場合には円周角そのものが定義できず、この形の接弦定理は使えません。接線らしく見える線も、接するという条件がなければ定理の根拠にならないことに注意します。

練習：角の向きと接線長を確かめる

次の問題では、図を自分で描き、各円周上の点は指定がない限り互いに異なるものとします。角は度数で、長さは指定された単位の整数で答えてください。

1. 円周上にA、B、Cがあり、Aの接線上の点Tは、Cと直線ABの反対側にあります。∠ACB = 32°のとき、∠TABを求めてください。
2. 円周上にD、E、Fがあり、Dの接線上の点Uは、Fと直線DEの反対側にあります。接線上でUとDを挟んで反対側に点Vがあります。∠DFE = 58°のとき、∠VDEを求めてください。
3. 円の外部の点Qから円に引いた接線の接点をM、Nとします。QM = 9 cm、∠MQN = 36°です。QNをcmで、中心をOとした∠MONを度数で求めてください。
4. 円の中心をO、円周上の点をX、Y、Zとします。∠XOY = 100°で、Zは大きい方の弧XY上にあります。Xの接線上の点WはZと直線XYの反対側にあります。∠XZYと∠WXYをそれぞれ求めてください。

練習の答えとたどり方

1. 答えは32°です。弦ABに対する円周角∠ACBと、反対側の接線の角∠TABを対応させます。接弦定理より∠TAB = ∠ACB = 32°です。逆にこの接線の角から同じ弧の円周角に戻ると32°で、与えられた条件に一致します。

2. 答えは122°です。まず弦DEについて、∠UDE = ∠DFE = 58°です。DVはDUの反対向きなので、∠VDE = 180° − 58° = 122°です。122°の補角は58°であり、元の円周角に戻ります。接線上の点をUからVに替えたところが、1との違いです。

3. 答えはQN = 9 cm、∠MON = 144°です。同じ点Qからの接線長は等しいので、QN = QM = 9 cmです。OMとONは各接線に垂直ですから、四角形OMQNの内角の和より、∠MON = 360° − 90° − 90° − 36° = 144°です。逆に360°から中心角と2つの直角を引くと36°となり、接線の間の角に戻ります。

4. 答えは∠XZY = 50°、∠WXY = 50°です。Zを含まない弧XYに対する中心角が100°なので、円周角はその半分の50°です。接弦定理で∠WXYも50°です。円周角の2倍は100°で元の中心角に戻り、接線の角も円周角と一致します。Zが別の弧にある場合は見込む弧が変わるため、この計算をそのまま使えません。

手元に残す要点

接弦定理では、接点と弦の端を共有する弧に注目します。円周角の頂点と接線の半直線が弦の反対側にある組を対応させます。接線の向きを反転すると角は補角になります。接点の半径は接線に垂直で、同じ外部の点からの接線長は等しくなります。

途中で止まったときの見分け方

角の値が出ても根拠を言えないときは、まず円周角の両辺が円と交わる2点を指してもらいます。次に、接線と組にする弦を選び、円周角の頂点がその弦のどちら側にあるかを説明します。ここで接線の向きが反対なら、補角を取る行が必要です。

個別指導で確かめるなら、図を隠して答えだけを聞くのではなく、接点に直角を書き込む理由や、2本の接線長を等しいとした根拠を本人の言葉でたどります。角度を計算し終えた後も、元の円周角や中心角に戻して条件が再現されるかを見ます。弧と半直線の対応が定まれば、鈍角も迷わず式に置けます。