高校数学A 方べきの定理—交点から測る長さをそろえて線分の積を立てる｜武蔵野個別指導塾

円外の短い部分と割線全体を区別し、円内や接線の場合も同じ交点から測る長さで方べきの式を作ります。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が、円の外にある点から2本の直線を引いた図を見て、外側の短い部分どうしを掛ける場面です。どちらも目に入りやすい長さですが、それらの積がそのまま等しくなるとは限りません。まず共通の点を探し、そこから円との交点まで測る2つの長さを1組にします。円の内側で交わる場合や、片方が接線になる場合も、同じ点から測るという見方で整理できます。

どの形で積を作るか

出方の1つは、円の内部で2本の弦が交わり、4つに分かれた線分のうち1つを求める形です。交点をはさんで同じ直線上にある2つを掛け、その積をもう一方の直線上の積と等しくします。図が傾いていても、左右や上下ではなく同一直線上かどうかを見ます。

次は、円の外部の点から2本の割線を引き、外側の部分や円の中の部分から長さを求める形です。割線は円と2点で交わる直線です。外側の部分と、外部の点から遠い交点までの全体を掛けます。円内の部分しか示されていないときは、外側の部分を足して全体を作ります。

もう1つは、外部の点から接線と割線を引く形です。接点までの長さを2回掛けたものが、割線側の2つの長さの積に等しくなります。接線と書かれているか、半径に垂直で接点を通るなどの条件があるかを確認します。図の見た目だけで接すると判断しません。

共通の点から2つの交点へ

円内の点 P を通る2本の異なる直線が、円とそれぞれ A、B および C、D で交わるとします。P が各弦の端点の間にあるとき、方べきの定理は PA × PB = PC × PD です。PA と PB はどちらも P から測りますが、互いに反対向きです。点の並びを A、P、B と C、P、D と読んでから式に入れます。

円外の点 P では、同じ半直線上に P、A、B の順で交点があるとします。別の半直線でも P、C、D の順に交わるなら、PA × PB = PC × PD です。ここで PB は近い交点までの PA と円内の AB を合わせた長さです。外側と円内を掛けるのではなく、外側と全体を掛けます。図1のように、どちらの形でも積の各因子の出発点は P です。

図1の左では A、P、B と C、P、D がそれぞれ一直線上です。右では近い交点と遠い交点を区別します。接点 T を通る接線の場合、割線側を P、A、B の順とすると PT × PT = PA × PB です。PT² と書くこともできます。長さは正なので、PT を求める際には平方根の正の値を選びます。

これらの関係は相似から説明できます。円内では AC と BD を結ぶと、角 PAC と角 PDB は同じ弧 BC に対する円周角です。また角 APC と角 DPB は対頂角です。よって三角形 PAC と三角形 PDB は相似で、PA : PD = PC : PB から PA × PB = PC × PD となります。交点と円周上の点が重ならない配置で考えています。

円外では AD と BC を結びます。角 APD と角 CPB は同じ角です。P、C、D と P、A、B がそれぞれこの順に一直線上にあるため、角 PDA = 角 CDA、角 PBC = 角 ABC です。角 CDA と角 ABC は同じ弧 AC に対する円周角なので等しくなります。したがって三角形 PAD と三角形 PCB は相似であり、PA : PC = PD : PB から PA × PB = PC × PD を得ます。接線の場合も接弦定理によって同様の相似を作れます。

基本例題：全体の長さを先に書く

円の外に点 P があり、2本の割線が円とそれぞれ P に近い順に A、B、C、D で交わっています。PA = 4 cm、AB = 5 cm、PC = 3 cm とします。PD の長さを既約分数または整数で、単位を付けて求めてください。

図2のように、数値の付いた AB は P から始まる線分ではありません。積に使う PB は PA と AB の和なので、初めに次のように計算します。

PB = PA + AB

PB = 4 + 5 = 9 cm

点の並びは P、A、B と P、C、D です。したがって方べきの定理を適用すると、

PA × PB = PC × PD

4 × 9 = 3 × PD

3 × PD = 36

PD = 12 cm

答えは 12 cm です。求めたのが PD 全体か、円内の CD かにも注意します。もし CD を尋ねられたら、PD から PC を引いて 12 − 3 = 9 cm です。問いの線分を図で指し、最後に答えの名前と単位を添えます。

元の条件へ戻して確かめます。PB は 9 cm なので AB = 9 − 4 = 5 cm となり、与えられた長さに戻ります。もう一方も PD = 12 cm なら CD = 9 cm で、P、C、D の順に並ぶ正の長さです。積は 4 × 9 = 36、3 × 12 = 36 と一致します。等式が合うだけでなく、近い点より遠い点までの長さが大きいことも確認します。

応用例題：接線の長さから外側を求める

円の外の点 Q から円に接線 QT と割線を引き、割線は Q に近い順に E、F で円と交わります。QT = 6 cm、EF = 5 cm のとき、QE を整数で、単位を付けて求めてください。

QE = x cm と置くと、長さなので x > 0 です。遠い交点までの長さは QF = x + 5 cm です。接線の場合の方べきの定理から、

QT² = QE × QF

6² = x(x + 5)

36 = x² + 5x

x² + 5x − 36 = 0

(x + 9)(x − 4) = 0

x = -9 または x = 4

x は長さなので -9 は条件に合いません。答えは QE = 4 cm です。QF = 4 + 5 = 9 cm と戻せば EF = 9 − 4 = 5 cm です。また QE × QF = 4 × 9 = 36 = QT² となり、接線の条件と与えられた長さに合います。

ここで EF が 5 cm ではなく QF が既知なら、x + 5 と置く必要はありません。問題に書かれた長さが円内の部分か、外部の点からの全体かで式の作り方が変わります。負の解を捨てる理由も、計算の都合ではなく線分の長さという条件です。

誤答をほどく

基本例題で「4 × 5 = 3 × PD」とする誤答を考えます。左辺には外側の PA と円内の AB を使っていますが、AB の出発点は P ではありません。図3のように、同じ割線上でも積の相手は AB ではなく PB です。PA + AB = PB と直してから 4 × 9 = 3 × PD を立てます。

この誤式からは PD = 20/3 cm が出ます。数値が正でも正解とは限りません。元の図で PB = 9 cm なので、正しい積は 36 です。一方、3 × 20/3 = 20 となり一致しません。計算をやり直す前に、各因子がどの点からどの点までかを確かめれば、式を直せます。

円内でも混同は起こります。たとえば A、P、B が一直線、C、P、D が別の一直線なら、PA × PC = PB × PD と隣り合う方向を掛けるとは限りません。同じ弦の両側を組にするのが修正点です。また接線では PT² を 2 × PT と書き換えないようにします。2乗は同じ長さどうしの積であり、2倍とは別の操作です。

手を動かす問題

次の3問は、それぞれ線分の長さを整数または既約分数で、単位を付けて答えてください。各直線は指定された順に円と交わり、図形はその条件を満たすものとします。

1. 円の内部で弦 AB と弦 CD が点 P で交わります。PA = 2 cm、PB = 12 cm、PC = 3 cm です。PD を求めてください。
2. 円の外の点 R から2本の割線を引き、円との交点を近い順にそれぞれ G、H と J、K とします。RG = 2 cm、GH = 7 cm、RJ = 3 cm です。JK を求めてください。
3. 円の外の点 S から接線 SU と割線を引きます。割線と円との交点は近い順に M、N です。SM = 1 cm、MN = 15 cm のとき、SU を求めてください。

解答と確かめ

1. 同じ弦上の線分を組にすると PA × PB = PC × PD です。2 × 12 = 3 × PD より PD = 8 cm です。戻すと 2 × 12 = 3 × 8 = 24 で、どちらの弦も交点の両側の長さが正です。たとえば P を原点とし A、B を横軸上の -2、12、C、D を縦軸上の -3、8 に取れば、4点は同じ円上にあり、与えられた配置も作れます。

2. RH = 2 + 7 = 9 cm です。RG × RH = RJ × RK より、2 × 9 = 3 × RK なので RK = 6 cm です。問われた JK は全体から外側を引いて 6 − 3 = 3 cm です。戻して RH − RG = 9 − 2 = 7 cm、RK − RJ = 6 − 3 = 3 cm であり、積も 2 × 9 = 3 × 6 = 18 です。RK をそのまま答えると、求める部分がずれます。

3. SN = 1 + 15 = 16 cm です。SU² = SM × SN = 1 × 16 = 16 なので、長さが正であることから SU = 4 cm です。戻すと SN − SM = 16 − 1 = 15 cm、SU² = 16 と SM × SN が一致します。平方根には正負がありますが、線分の長さとして負の値は選びません。

円外の問題では、求めた値が近い交点までの長さより小さければ、遠い交点までの長さとしては不適切です。円内の問題では、積にした2本が同一直線にあるかを確認します。答えの数値がきれいでも、点の並びが条件と合わなければ式から見直します。

覚えておくこと

• 円内では、交点をはさむ同じ弦の2部分を掛けます。
• 円外では、外側の部分と遠い交点までの全体を掛けます。
• 接線の長さの2乗は、割線側の2つの長さの積です。
• どの因子も共通の点から測り、長さの正負と問われた線分を確かめます。

式のどこで迷ったかを見つける

積が作れないときは、先に共通の点に印を付け、そこから各交点へ指を動かして線分名を読みます。円外の図で円内の部分をそのまま因子にした場合は、外側を足す前後で終点がどこに変わるかを説明してみてください。式は立つのに答えが合わない場合は、全体を答えたのか、求める部分を引き出したのかを問題文と照らします。

個別指導で確かめるなら、まず本人に点の順番と2つの積を声に出してもらい、次に接線の2乗が何と何の積かを説明してもらいます。平方根や方程式に進んだ後は、正の値を選ぶ理由と、答えを元の線分に戻す手順を確認します。交点を起点にそろえると、図の向きが変わっても積の対応を追えます。

条件が足りないときの立ち止まり方

図に2本の直線が描かれていても、交点が円の内側か外側か、直線が本当に円と2点で交わるかは条件から判断します。たとえば円の外の点から引いた直線が円と交わらなければ、その直線上には積に使う2つの交点がありません。見た目の延長線で円を横切っているように描き足す前に、問題文にある条件を読み直します。接線についても、円に近い直線というだけでは接点を定められません。

長さの一部が与えられていない場合、文字を置くことはできますが、方程式が1本できたことと、文字の値が1つに決まることは別です。未知数が複数残るなら、別の条件を使えるかを探します。条件が不足している図を見て、長さを目測で決めてはいけません。反対に、求めた長さが負になったり点の順番に反したりしたときは、立式や条件の読み取りを確認します。

計算の途中で時間が足りなくなったら、少なくとも点の並び、全体を作る足し算、方べきの式の順に残します。その3つがあれば、どこから先を計算するかを見直せます。途中で計算機などの道具が使えなくなった場合も、積を小さな数に分けて筆算し、答えを元の積に代入すれば確かめられます。道具の表示が式や単位に合わないときは、その値をそのまま写さず、入力した線分と演算を確かめます。

例えば、円内の弦の一方で2つの部分が 3 cm と 8 cm なら、その積は 24 cm² です。もう一方の一部が 4 cm のとき、残りは 24 ÷ 4 = 6 cm と求められます。この積の単位は面積と同じ cm² ですが、ここでは2つの長さを掛けた結果として扱っています。求める線分の単位は cm に戻します。3 × 8 と 4 × 6 が一致し、4と6の両方が正であることまで確認できます。

図に線分全体の長さが示される場合もあります。円内で AB 全体と PA が与えられたなら、PB = AB − PA としてから積を作ります。引き算で0以下になれば、P が弦の内部という条件に合いません。文字式で置いたときも、0より大きく全体より小さいという範囲が必要です。式を解いた後でその範囲へ戻し、図の点が指定の位置にあることを確かめます。

定理の式が合っていても、最後に別の線分を答えれば問いには対応しません。求める線分名に印を付け、計算した値をその線分に書き込んでから答えを記します。