【中学受験理科】力のつり合いとばねを図解で総まとめ—重さと力 ばねののび 合成と分解 浮力｜武蔵野個別指導塾

ばねの長さとのびの違いから、直列・並列の力の分担、水中の物体にはたらく浮力まで、図と例題で順にたどれます。答えの単位とつり合いの確かめ方も家庭学習に役立ててください。

よくあるのは、塾の自習室の白板の前で、ばねにつるすおもりを2倍にした図を見て、「ばねの長さも2倍」と書いたところで手が止まるという場面です。表ではおもりが50 gから100 gになると、ばねの長さは12 cmから14 cmになっています。2倍にならないのは、表が間違っているからではありません。もともとの長さと、引かれて増えた長さを一緒に数えているからです。

力の問題では、数字を計算する前に「何にはたらく力か」「何が増えたのか」を分ける必要があります。ばねが2本になった問題も、水中に物体を入れた問題も、この分け方を使うと見通しが立ちます。お子さまが式を覚えていても答えが合わないときは、図の中の物体を1つ選び、上向きと下向きの力を書き出すところから確かめてみてください。ばねの表、力の矢印、水に入った体積を結びつけることが、この単元の中心です。

この単元で身につけること

• 重さと支える力を区別します。静止している物体にも力ははたらき、上向きと下向きの力がつり合っています。
• ばねの長さから自然長を引き、のびを求めます。比例するのは、決められた範囲での「引く力とのび」です。
• 表やグラフから、一定の力でどれだけのびるかを読み取ります。途中の値だけでなく、実験結果の確かめにも使えます。
• 直列と並列で、各ばねにかかる力を調べます。2本という本数だけで、力を半分にするかどうかを決めません。
• 浮力とばねばかりの示す値を分けます。物体の重さ、水が支える分、ばねが支える分を1つのつり合いとして考えます。

算数で学ぶ比例や差の考え方、理科で学ぶ物の重さと体積が土台になります。式に使う数の意味を言葉で説明できれば、ばねと浮力が組み合わさった問題にも同じ手順で取り組めます。

基本の考え方

静止した物体にも力ははたらいています

机に置いた本は動いていませんが、地球から下向きに引かれています。この力が重力です。一方で、机は本を上向きに支えています。本にはたらくこの2つの力がつり合っているため、本は机を通り抜けて落ちたり、上に飛び上がったりしません。「動いていないので力がない」と考えると、ばねにおもりをつるした場面も説明できなくなります。

力を図にするときは、矢印で向きを表し、同じ尺度で矢印を長くするほど大きい力を表します。まず注目する物体を丸で囲むつもりで選んでください。おもりを選んだなら、地球がおもりを下へ引く力と、ばねがおもりを上へ引く力を書きます。おもりがばねを下へ引く力は、ばねにはたらく力なので、おもりの図には混ぜません。

この文章では力の大きさを「100 gのおもりにはたらく重力と同じ大きさの力」のように表し、短く「100 g重」と書きます。gは物の質量を表す単位で、g重は力の大きさを表す単位です。中学受験の問題では、ばねばかりの目盛りをgで示すこともあります。その場合の「100 g」は、100 gのおもりをつるしたときに相当する力を読んでいます。答えでは問題で指定された単位を使い、物そのものの重さと、ばねばかりの読みを区別します。

同じ物体にはたらく、同じ向きの力は足して1つにまとめられます。上向きの30 g重と20 g重なら、合わせて上向き50 g重です。反対向きなら差を取り、下向き80 g重と上向き30 g重なら、合わせた力は下向き50 g重になります。いくつかの力を1つにまとめることが力の合成です。反対に、1つの力を同じはたらきをするいくつかの力に分けて考えることが力の分解です。

ただし、数だけを足せるのは向きがそろっている場合です。斜めの2本のひもで支える場合は、左右のはたらきが打ち消し合い、上向きのはたらきが重さを支えます。斜めのひもの力を、そのまま鉛直方向の力として足すことはできません。ここで扱う計算は、力の向きが鉛直にそろう場合に絞ります。2つの力だけで物体がつり合うには、大きさが等しく、向きが反対で、同じ一直線上にはたらく必要があります。

比例するのは長さではなく、のびです

おもりをつけていないばねの長さを自然長といいます。自然長が10 cmのばねが、おもりをつるすと14 cmになったなら、のびは14 − 10 = 4 cmです。自然長は引かれる前からある部分なので、力を増やすときに同じ割合で増える部分には含めません。問題の図で「14 cm」の線がばね全体を指すか、増えた部分だけを指すかも確認します。

ふつうのばねは、無理に引きのばさない一定の範囲なら、引く力とのびが比例します。50 g重で2 cmのびるばねなら、100 g重で4 cm、150 g重で6 cmのびます。自然長が10 cmの場合、全体の長さはそれぞれ12 cm、14 cm、16 cmです。のびを比べると2倍、3倍ですが、全体の長さはそうなりません。

図1のように、横軸におもりの重さ、縦軸にのびを取ると、比例のグラフは原点を通る直線になります。点の高さを読む前に、縦軸が「長さ」か「のび」かを見てください。同じ実験でも、縦軸が全体の長さなら、おもり0 gで自然長10 cmを示すグラフになります。

図1では横の1目盛りが50 g、縦の1目盛りが2 cmです。150 gに対応する点は、のび6 cmの高さにあります。100 gと150 gの中間の125 gなら、のびも4 cmと6 cmの中間の5 cmです。グラフの線の見た目だけで読むのではなく、目盛りの間隔を確かめてから比例の計算と照らし合わせると読み違いを防げます。

同じ50 g重でも、別のばねならのびが違うことがあります。ばねの性質は、問題の表や条件から決めます。また、強く引きすぎて元に戻らなくなったばねには、同じ比例関係を使えません。以下の問題では、ばねの重さや空気による浮力を考えず、比例する範囲で使い、静止した状態を調べます。

水の中では、水が重さの一部を支えます

水に入れた物体には、水から上向きの力がはたらきます。これが浮力です。水圧は深いところほど大きく、物体の上側を押す力より下側から押し上げる力が大きくなるため、全体として上向きの力が生じます。浮力は浮いている物体だけでなく、沈んでいる物体にもはたらきます。

浮力の大きさは、物体が押しのけた水の重さに等しくなります。水1 cm3の重さを1 gとする問題なら、水中にある物体の体積が80 cm3のとき、浮力は80 g重です。物体全体の体積が120 cm3でも、水中の部分が80 cm3なら使うのは80 cm3です。水面より上の部分は水を押しのけていません。

300 gの物体をばねばかりにつるし、水中で120 g重の浮力を受けたとします。下向き300 g重を、浮力とばねの上向きの力で支えるので、ばねの力は300 − 120 = 180 g重です。ばねばかりは180 g相当を示しますが、物体そのものの重さが180 gに変わったわけではありません。水が支えた分だけ、ばねの受け持ちが減っています。

全体が水中に入り、体積が変わらない物体なら、さらに深く沈めても押しのけた水の体積は同じです。同じ水の中では浮力も変わりません。ただし、底に着いたり壁にもたれたりすると、そこから支える力も加わります。ばねの力と浮力だけで計算できるのは、それらに触れずに静止している場合です。

例題で解き方を確かめる

例題1　同じ物体にはたらく力を選ぶ

80 gのおもりが、鉛直な1本のばねにつるされて静止しています。おもりにはたらく力を、向きと大きさを含めて説明してください。ばねの重さは考えません。

1. 注目するものを「おもり」と決めます。ばねとおもりを一緒に考えると、どの力を書くかがあいまいになるためです。
2. おもりを下へ引く重力を、下向き80 g重と書きます。物体の重さに対応する力が基準になります。
3. 上へ引くばねの力を、上向き80 g重とします。静止しており、鉛直方向の2つの力がつり合うので、同じ大きさになるためです。

おもりがばねを下へ引く力も存在しますが、それはばねにはたらく力です。説明の主語を「おもりには」に固定すると、別の物体にはたらく力の混入を見つけられます。

答え：おもりには、下向き80 g重の重力と、上向き80 g重のばねの力がはたらき、つり合っています。

例題2　表から自然長と、未知のおもりを求める

あるばねについて、次の結果が得られました。比例する範囲で使っているとき、自然長と、長さが17 cmになるおもりの重さを求めてください。

1. おもりの増加と長さの増加を比べます。50 g増えるごとに2 cm長くなるため、50 g重によるのびは2 cmとわかります。表に自然長がなくても、差なら元の長さの影響を除けます。
2. 50 gのおもりを外したときを考え、12 − 2 = 10 cmとします。これが自然長です。100 gの列から14 − 4 = 10 cmとしても同じになり、読み方を確かめられます。
3. 求める状態ののびを17 − 10 = 7 cmとします。17 cm全体を比例に使わず、力によって増えた分を取り出すためです。
4. のび2 cmに50 gが対応するので、50 × 7 ÷ 2 = 175 gと求めます。重さとのびの比をそろえる計算です。

175 gは150 gより25 g重く、のびは6 cmより1 cm大きくなります。表の「50 gで2 cm」とも一致します。答えを表の近い値と比べる作業は、計算の桁を間違えたときにも役立ちます。

答え：自然長は10 cm、長さが17 cmになるおもりは175 gです。

例題3　同じばね2本を直列・並列につなぐ

自然長10 cm、50 g重で2 cmのびる同じばねを2本用意します。直列では上下につなぎ、下端に100 gのおもりをつるします。並列では同じ高さの支点から鉛直に並べ、重さを考えない水平な棒の両端につなぎ、棒の中央に100 gのおもりをつるします。各ばねののびと、直列のばね2本分の長さを求めてください。つなぎ目の長さは考えません。

1. 直列の下のばねに注目します。100 gのおもりを支えるので、下のばねを引く力は100 g重です。のびは2 × 100 ÷ 50 = 4 cmになります。
2. 直列の上のばねに注目します。下のばねを通して同じ100 g重の力が伝わるため、上のばねものびは4 cmです。2本で半分ずつの重さを受け持つ配置ではありません。
3. 直列の全長を求めます。各ばねは10 + 4 = 14 cmなので、2本分は14 × 2 = 28 cmです。自然長も2本分ある点に注意します。
4. 並列では左右の条件が同じなので、100 g重を等しく分担します。1本あたり100 ÷ 2 = 50 g重で、各ばねののびは2 cmです。2本とも同じだけ下がるので、おもりの下がる距離も2 cmです。

図2のように、直列では各ばねが14 cm、並列では各ばねが12 cmになります。図の鉛直方向は両方とも同じ尺度にしてあり、直列の2本分と並列の1本分を比べられます。色の違いはばねを見分けるためで、性質は同じです。

図2の並列では、左右2本の長さを足して24 cmとしても、おもりの下がり方は表せません。下がる距離を知りたいなら、1本ののびを読みます。また、異なるばねを並べた場合は、同じだけのびていても力を等しく分けるとは限りません。「同じばね」「同じ高さ」「左右対称」という条件を読んでから半分にします。

答え：直列は各ばねののび4 cm、2本分の長さ28 cmです。並列は各ばねののび2 cmです。

例題4　水中のばねばかりの読みと体積を結ぶ

重さ300 gの、水を吸わず体積が変わらない物体をばねばかりにつるします。物体を全部水に入れ、底や壁に触れず静止させると、目盛りは180 gを示しました。物体の体積と、この物体をさらに深く沈めたときの目盛りを、理由とともに答えてください。水1 cm3の重さは1 gです。

1. 空気中の読みから水中の読みを引き、300 − 180 = 120 g重とします。この差が水によって支えられた力、つまり浮力にあたるためです。
2. 浮力120 g重に対応する水の体積を、120 ÷ 1 = 120 cm3と求めます。水1 cm3あたり1 gという条件を使います。
3. 全部水に入っていることを確認します。押しのけた水の体積が物体全体の体積と等しいので、物体の体積も120 cm3です。一部だけ水中なら、この段階では全体積は決まりません。
4. 深くした後の水中の体積を比べます。120 cm3のままで浮力も120 g重のままなので、ばねばかりの読みは180 gから変わりません。

「深いほど水圧が大きい」だけで「浮力も大きい」と結論を出さないことがポイントです。深くすると上側を押す力も下側を押す力も増えますが、体積が変わらない物体では、その差としての浮力は同じです。

答え：物体の体積は120 cm3です。さらに深くしても水中の体積と浮力が変わらないため、目盛りは180 gです。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　ばねの全長を、そのまま倍にする

誤った書き方は「50 gで12 cmだから、100 gで24 cm」です。どこが違うかというと、12 cmの中に、引く力で増えていない自然長10 cmが含まれています。自然長を含めて2倍にすると、もともとの部分まで増やしてしまいます。

正しい書き方は「のびは12 − 10 = 2 cm。重さが2倍なのでのびは4 cm。全長は10 + 4 = 14 cm」です。ノートでは「全長」「自然長」「のび」を別の行に置くと、引き算を省いた場所が見えます。表しかないときは、一定の重さを増やしたときの長さの差を先に調べます。

誤り2　ばねが2本なら、いつでも半分にする

誤った書き方は「直列でも2本あるので、100 gを50 gずつ支える」です。どこが違うかというと、直列には、おもりを左右から別々に支える2つの道がありません。上のばねと下のばねを順番に通って、100 g重の力が支点へ伝わります。

正しい書き方は「直列は各ばねに100 g重。左右対称に並べた同じばねの並列は、各ばねに50 g重」です。ばねの途中で図を区切り、その下にあるものを支える力を考えると、直列の上のばねにも100 g重が必要だと確かめられます。ばねの重さを考える条件では上のばねが下のばねの重さも支えるので、条件の読み落としにも注意します。

誤り3　水に入れると物体そのものが軽くなる

誤った書き方は「300 gの物体は、水中で180 gになった」です。どこが違うかというと、180 gは物体そのものを量った値ではなく、ばねばかりが受け持つ力を示しています。物体には下向き300 g重の重力がはたらき続け、水とばねが一緒に支えています。

正しい書き方は「ばねの力180 g重 + 浮力120 g重 = 重力300 g重」です。図3のように、注目する物体にはたらく力だけを矢印で取り出します。矢印は同じ尺度で描き、上向き2本の長さを足すと下向き1本の長さになります。見やすく横にずらしてあり、力の作用する位置を表す図ではありません。

図3から、浮力が増えればばねの受け持ちは減ると読めます。ただし、引くばねにつるしているだけなのに計算結果が負になったら、その状態のまま静止できるかを見直します。物体が水に浮いて静止する場合、ほかに支える力がなければ、浮力と重力がつり合います。全部を沈めたときの浮力が重力より大きい物体を水中に保つには、下向きに押さえるなど、別の力が必要です。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。学年別個別指導コース／お問い合わせ

練習問題

練習1

ばねの自然長は8 cmです。30 gのおもりで全長11 cmになりました。比例する範囲で、75 gのおもりをつるしたときの全長を求めてください。全長を求める前に、のびを書いてみましょう。

練習2

自然長9 cm、40 g重で2 cmのびる同じばねを2本使い、120 gのおもりを支えます。直列につないだ場合の各ばねののびと2本分の全長を求めてください。次に、例題3と同じように左右対称の並列にした場合の各ばねののびを求めてください。ばねと棒の重さ、つなぎ目の長さは考えません。

練習3

重さ250 g、体積90 cm3の物体をばねばかりにつるします。物体は水を吸わず、体積が変わりません。水1 cm3の重さを1 gとして、全体を水に入れたときと、体積の3分の1だけを水に入れたときの目盛りを求めてください。どちらも底や壁に触れず静止しています。

練習4

50 g重で1 cmのびるばねに、重さ200 g、体積80 cm3の物体をつるします。この物体を全部水に入れて静止させたとき、ばねののびは何cmですか。また、全体を水に入れる直前まで、入れる部分を少しずつ増やすと、のびはどう変わりますか。水1 cm3の重さは1 gで、物体は水を吸わず、底や壁には触れません。ばねの重さは考えません。

答えと解説

練習1の答えは、のび7.5 cm、全長15.5 cmです。30 gでののびは11 − 8 = 3 cmなので、75 gでは3 × 75 ÷ 30 = 7.5 cmです。最後に自然長を足して8 + 7.5 = 15.5 cmとします。途中の7.5 cmをそのまま答えると、求める量が違ってしまいます。

練習2の答えは、直列が各6 cmのび、2本分の全長30 cm、並列が各3 cmのびます。直列の各ばねには120 g重がかかるので、のびは2 × 120 ÷ 40 = 6 cm、全長は（9 + 6）× 2 = 30 cmです。並列は各60 g重なので、のびは2 × 60 ÷ 40 = 3 cmです。直列の全体ののび12 cmと、1本ののび6 cmも区別してください。

練習3の答えは、全部水中なら160 g、3分の1だけ水中なら220 gです。全部水中の浮力は90 g重で、250 − 90 = 160 g相当をばねが支えます。3分の1の場合は90 ÷ 3 = 30 cm3が水中にあり、浮力は30 g重です。したがって、250 − 30 = 220 gを示します。どちらの計算も、使う体積は水中の部分だけです。

練習4の答えは、のび2.4 cmです。水中に入る部分を増やすと、のびは小さくなります。全部水中での浮力は80 g重、ばねの力は200 − 80 = 120 g重なので、のびは1 × 120 ÷ 50 = 2.4 cmです。入れる部分が増える間は浮力が増し、ばねが支える力が減ります。全部が入った後は、体積が変わらなければ、さらに深くしてものびは同じです。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

ばねの問題で身につけた「誰がどれだけ支えるか」という見方は、てこや滑車でも使います。てこでは、力の大きさに加えて支点からの距離も調べます。滑車では、1本のひもに伝わる力と、おもりを支えるひもの本数を区別します。ばねが2本だから半分と決めなかった経験が、図を読み分ける土台になります。

家庭で5分ほど確かめるなら、1つ目は紙の帯と定規を使う方法です。保護者が一緒に、10 cmの帯を自然長に見立て、その先に2 cm、4 cm、6 cmの線を足して描きます。それぞれに50 g、100 g、150 gと書き、増えた部分と全長を別々に読んでみてください。実際のばねを強く引く必要はなく、「どこからどこまでがのびか」を目で確かめられます。

2つ目は、浅い容器の水に大きめのプラスチック製のふたを浮かべ、保護者と一緒に指でゆっくり押す方法です。水中に入る部分が増えるほど押し返される感じを比べます。水をこぼして滑らないよう容器をタオルの上に置き、電気製品から離して行います。この観察は浮力の存在を感じるためのもので、指の感覚だけで数値や比例を決めることはしません。

個別指導で答えが合わないときは、比例の計算を繰り返す前に、自然長を引けているか、同じ物体の力だけを選べているかまで戻って確かめます。浮力なら「水に入った部分」を図で塗り分け、その体積を式に使えているかを見ると、直す場所が具体的になります。

まとめ

ばねの全長が14 cmという答えだけでは、自然長とのびを分けて考えたかは見えません。水中でばねばかりが180 gを示すという答えにも、水が受け持つ120 g重を説明できるかどうかという違いがあります。途中の引き算や力の矢印は、答えを出すためだけでなく、条件が変わったときに考え直すための手がかりになります。

お子さまのノートで確認したいのは、計算の速さに加えて、式の数が図のどこを表すかです。水中で小さくなった目盛りの差には、消えた重さではなく、水が支えた力が表れています。