【中学受験理科】理科の計算問題の型を図解で総まとめ—濃度 熱量 てこ 浮力 地震 天体の計算を一度に｜武蔵野個別指導塾

濃度の分母、熱量のつり合い、てこの距離、地震の時間差を、表と3枚の図で整理します。例題と練習問題を通して、単位から計算の意味を確かめる手順を身につけられます。

よくあるのは、駅のホームのベンチで帰りの電車を待ちながら問題集を開き、「濃度はできたのに、次の熱量になると何をかけるのかわからない」と手が止まる場面です。問題に出てくる数を順番に使っても、理科の計算はつながりません。まず、その数が何の量なのか、何が変わらず、何が増減するのかを決める必要があります。

濃度、熱量、てこ、浮力、地震、天体は、見た目の違う問題です。それでも「基準になる量を決める」「同じ条件で比べる」「全体や差を求める」という手順は共通しています。公式を見つける前に、言葉と単位をそろえるだけで、使う計算を絞れることがあります。

お子さまが途中で止まったときには、すぐに式を教えるのではなく、「今求めたいのは、重さ、温度、時間のどれですか」とたずねてみてください。答えの種類が決まれば、表に入れる量も見えてきます。ここでは6分野を同じ見方で整理し、計算を始める前と終えた後の確かめ方までたどります。

この単元で身につけること

• 数に量の名前と単位を付けます。同じ100でも、水100 gと水溶液100 gでは、濃度の計算での役割が異なります。
• 1あたりの量を見つけます。水1 gの温度を1 ℃上げる熱量や、星が1時間に動く角度が、比例の基準になります。
• 変わらない量を言葉にします。水でうすめるときの食塩の重さ、てこがつり合うときの左右の積などを探します。
• 全体、部分、差を区別します。水溶液の全体の重さ、ばねばかりの値の差、2種類の波の到着時刻の差を混同しません。
• 答えを問題の条件に戻して確かめます。混ぜた水の温度がもとの2つの温度の間に入るか、時間が長いほど星の動く角度が大きくなるかを見ます。

算数で学ぶ割合、比、単位量あたりの大きさが土台です。ただし、同じ計算の形が使えるかどうかは、理科の現象と条件で判断します。数字だけを抜き出す練習と、条件を読んで数に意味を付ける練習は、分けて確かめると直す場所がはっきりします。

基本の考え方

計算の型は「何をそろえるか」で選びます

理科の計算には、量を同じ倍率にする型、全体のうちの割合を見る型、2つの量の差を取る型、左右の量を等しくする型があります。1つの問題で複数の型を組み合わせることもあります。濃度なら全体の重さを足してから割合を求め、地震なら時刻の差を取ってから比例を使う、といった順番です。

表の関係は、条件がそろって初めて使えます。たとえば、熱量の行は、水1 gの温度を1 ℃上げるのに1 cal必要とする計算です。金属にも水と同じ数をそのまま使える、という意味ではありません。てこの行では、同じ場所でのおもりの重さをgで比べています。力そのものを表すときはg重と書き、100 gのおもりにはたらく重力を100 g重として扱います。

図1のように、食塩水は水と食塩を合わせた全体で考えます。横の長さはそれぞれの重さに比例させてあり、全体200 gのうち食塩が20 g、水が180 gです。色のついた部分だけを見ず、その外側の全体も一緒に確かめます。

図1の食塩の割合は20÷200×100＝10%です。20÷180×100では、「水の重さに対する食塩の割合」を求めてしまいます。食塩が水にとけても、重さが消えるわけではありません。こぼしたり蒸発したりしなければ、全体の重さは足し算で求められます。

比例を使う前に、一定のものを決めます

同じ濃さの食塩水を2倍の重さだけ用意すれば、ふくまれる食塩の重さも2倍です。一方、同じ食塩水に水だけを加える場合は、食塩の重さが一定で、全体の重さが増えます。このとき濃度は下がります。「水溶液の重さが2倍」という同じ言葉でも、何をしたかによって答えが変わります。

熱量では、水の重さが一定なら、温度を上げる幅を2倍にすると必要な熱量も2倍です。温度を上げる幅が一定なら、水の重さを2倍にすると必要な熱量も2倍になります。水の重さも温度変化も2倍にすれば、熱量は4倍です。比例を考えるときは、表の見出しに「水の重さは一定」などと書いておくと、どの量同士を比べたかが残ります。

てこでは、同じ側の「おもりの重さ×支点からの距離」が回そうとするはたらきの目安です。もう一方の側を変えずにつり合わせるなら、距離を2倍にした側のおもりは半分の重さにします。ここでは重さと距離を同じ倍率で増やしません。何でも比例に当てはめず、積を同じにする関係だととらえます。

浮力は、物体が押しのけた液体の重さに対応します。水1 cm3の重さを1 gとしてよい問題では、水中に入った体積が30 cm3なら浮力は30 g重です。物体全体の体積が50 cm3でも、30 cm3しか水に入っていなければ50 g重にはなりません。また、完全に水に沈んだかたい物体は、体積が変わらず水の密度も一定なら、さらに深くしても浮力は変わりません。

単位をそろえて、答えの大きさを予想します

計算前に単位をそろえます。1 kgは1000 g、1時間は60分、1分は60秒、1 Lは1000 cm3です。時間を小数で表すときは特に注意が必要です。1時間30分は1.5時間であって、1.30時間ではありません。分を60で割って時間に直すため、30分は0.5時間になります。

水の重さと体積も無条件には同じ数ではありません。問題で水1 cm3の重さを1 gとしてよいときには換算できますが、別の液体や金属については、その物質の1 cm3あたりの重さが必要です。「100 cm3だから100 g」と数だけを移す前に、何の物質かを確認します。

地震では、時計の示す時刻と、かかった時間を分けます。P波が先に届き、S波が後に届くと、その間が初期微動継続時間です。同じ地震で、波が一定の速さで伝わるものとして考えると、この時間は震源からの距離に比例します。観測地点同士の地図上の距離を、そのまま震源距離として使わないことも大切です。

天体では、星の日周運動と、日付による見える位置の変化を分けます。星は地球の自転により、北極星の近くを中心とする回転として1時間に約15度動いて見えます。これは空のどこでも地平線に沿って15度進むという意味ではありません。同じ時刻に見比べる年周運動は、1か月に約30度が目安です。月の満ち欠けや南中時刻のずれに、この15度をそのまま当てはめることはできません。

計算前に「濃度は薄くなる」「温度は2つの間に入る」「距離が遠いほど時間差が長い」と見通しを書いておくと、計算後の点検に使えます。これは答えを勘で決める作業ではなく、現象に合わない答えを見つけるための準備です。

例題で解き方を確かめる

例題1　水でうすめた食塩水の濃度

10%の食塩水200 gに、水50 gを加えてよく混ぜます。食塩水をこぼさず、水の蒸発もないとすると、できた食塩水の濃度は何%ですか。

1. もとの食塩の重さを求めます。200×10÷100＝20 gです。水を加えても食塩の重さは変わらないので、先にこの量を押さえます。
2. 新しい全体の重さを求めます。200＋50＝250 gです。濃度の分母にするのは、加えた水だけでも、もとの水だけでもなく、できた食塩水全体です。
3. 食塩の割合を計算します。20÷250×100＝8%です。分子を食塩、分母を水溶液と書いてから計算すると、量の取り違えを防げます。
4. 変化の向きを確かめます。水だけを加えたので、もとの10%より低い8%は条件に合います。逆に10%より高くなったら、式を戻って確かめます。

図1の食塩20 gの帯は、水を足しても重さが変わりません。増えるのは水と全体です。「200 gの10%」を先に求める理由は、濃度という割合を、変わらない食塩の重さに置き直すためです。濃度の数10から加えた水の数50を引いても、単位が違うので意味のある計算にはなりません。

答え：8%です。

例題2　温度の違う水を混ぜる

20 ℃の水100 gと、80 ℃の水200 gを混ぜます。容器や周囲との熱のやり取りはなく、水の蒸発もないものとします。混ぜた後の温度を求め、その温度が50 ℃にならない理由も説明してください。

1. 2つの水の温度差を求めます。80−20＝60 ℃です。冷たい水が上がる幅と、温かい水が下がる幅を合わせると、この60 ℃になるからです。
2. 温度変化の比を決めます。熱量は水の重さ×温度変化で、受け取る熱量と失う熱量が等しくなります。重さが100：200＝1：2なので、冷たい水の上がる幅と温かい水の下がる幅は2：1です。
3. 60 ℃を2：1に分けます。冷たい水は60×2÷3＝40 ℃上がり、温かい水は60×1÷3＝20 ℃下がります。よって20＋40＝60 ℃です。
4. 両方の熱量を確かめます。100×40＝4000 cal、200×20＝4000 calで等しくなります。80−20＝60 ℃と、温かい側から求めても同じ温度です。

単純に20 ℃と80 ℃の平均を取って50 ℃にできるのは、同じ重さの水を同じ条件で混ぜる場合です。この問題で50 ℃とすると、冷たい水が受け取る熱量は100×30＝3000 cal、温かい水が失う熱量は200×30＝6000 calとなり、つり合いません。温かい水が多いため、混ぜた後の温度は80 ℃寄りになります。

答え：60 ℃です。温かい水のほうが重く、等しい温度幅では出入りする熱量がそろわないため、単純な平均の50 ℃にはなりません。

例題3　てこのつり合いと支点からの距離

棒の重さを考えないてこがあります。支点の左20 cmの位置に120 gのおもりをつるし、右30 cmの位置に別のおもりをつるして水平につり合わせます。右のおもりは何gですか。

図2のように、左20 cm、右30 cmは、どちらも支点からおもりをつるす位置までの距離です。棒全体の長さや、左右のおもり同士の間隔を式に入れないようにします。図の左右の長さも2：3で描いてあります。

1. 左側の積を求めます。120×20＝2400です。棒を回そうとするはたらきを比べるには、おもりの重さだけでなく距離も必要だからです。
2. 右側の積を左側にそろえます。右のおもりの重さ×30＝2400なので、2400÷30＝80 gです。左右がつり合うという条件を、等しい積に置き換えています。
3. 両側を比べて検算します。120×20＝80×30＝2400です。また、右側は支点から遠いので、左側より軽いおもりでつり合うことも確かめられます。

図2では、右の腕の長さは左の1.5倍です。その分、おもりの重さは左の3分の2になります。距離が長いほど重いおもりが必要だと思って120×1.5とすると、右側の回そうとするはたらきが大きくなりすぎます。なお、棒の重さを考える問題では、棒にはたらく重力の位置も調べます。今回の計算が簡単なのは、「棒の重さを考えない」という条件があるためです。

答え：80 gです。

例題4　地震の記録から震源距離を求める

同じ地震を2地点で観測しました。波はそれぞれ一定の速さで伝わるものとします。地点Aの震源距離は48 kmです。次の表から地点Bの震源距離を求めてください。

1. 地点Aの初期微動継続時間を求めます。14−8＝6秒です。地震の発生時刻が示されていなくても、同じ地点の2つの到着時刻の差は求められます。
2. 時間差1秒あたりの震源距離を求めます。48÷6＝8 kmです。同じ地震で波の速さを一定とするので、時間差と震源距離の比例を使えます。
3. 地点Bの時間差を求めます。26.25−15＝11.25秒です。15秒だけを使うと、P波の到着時刻と時間差を取り違えます。
4. 比例で距離に直します。8×11.25＝90 kmです。Aより時間差が長く、求めた距離もAより大きいので、増減の向きが一致します。

ここでの8 kmは「時間差が1秒長くなることに対応する距離」であり、P波そのものの速さではありません。この区別をせず、P波が1秒に8 km進むと説明すると、別の問いでつまずきます。表から何を割ったのかを、「震源距離÷初期微動継続時間」と言葉で残すと、数の意味まで点検できます。

答え：90 kmです。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　浮力を、減った後のばねばかりの値にする

誤った書き方は、「空気中で150 g重、水中で110 g重を示すので、浮力は110 g重」です。物体を糸でつり、水に完全に沈め、容器には触れさせていないとします。空気の浮力や糸の重さは考えません。水中の110 g重は、ばねばかりが支えている力であって、水が支えている力ではありません。

どこが違うかというと、物体を上向きに支えるものが2つある点を見落としています。ばねばかりの力と浮力を合わせて、下向きの重力150 g重とつり合います。正しい書き方は、「浮力＝150−110＝40 g重」です。水1 cm3の重さを1 gとすれば、押しのけた水の体積は40 cm3になります。

「水中の重さ」という言い方をしたときにも、物体そのものの重さが減ったのか、ばねばかりの示す値が減ったのかを区別します。物体が水を吸ったりとけたりしない今回の条件では、物体にはたらく重力は同じです。図を描くなら、上向きの2つの力と下向きの1つの力を書き込むと、引き算の意味を説明できます。

誤り2　地震の時間差と、到着した時刻を混ぜる

誤った書き方は、例題4で「地点Bは15秒だから、8×15＝120 km」です。15という数は10時00分15秒という到着時刻の一部です。震源距離と比例させたい初期微動継続時間は、同じ地点のS波とP波の時刻の差なので、そのまま使えません。

図3のように、横軸を初期微動継続時間、縦軸を震源距離とすると、例題4のAとBは原点を通る同じ直線上に並びます。図では時間差3秒ごとに距離24 kmずつ増えます。正しい書き方は、「26.25−15＝11.25秒、11.25×8＝90 km」です。

図3の直線は、この問題の条件での関係です。どの地震でも必ず1秒あたり8 kmになる、と覚えるものではありません。問題ごとに基準となる記録を取り、単位時間あたりの値を求め直します。また、分をまたぐ時刻の引き算では、たとえば10時00分58秒から10時01分04秒までを6秒と数えます。末尾の数だけを引くと負の値になってしまいます。

誤り3　1時間30分を1.30時間にする

誤った書き方は、「星が1時間に15度動くので、1時間30分では15×1.30＝19.5度」です。小数の位は10ずつ変わりますが、時間と分は60でつながっています。この違いが計算結果に入り込んでいます。

正しい書き方は、「30÷60＝0.5時間、1＋0.5＝1.5時間、15×1.5＝22.5度」です。あるいは、1時間の15度に30分の7.5度を足しても同じです。角度を求める途中で、時間を分にそろえて90分としてから、15÷60×90と計算することもできます。

星の動く方向まで問われたら、計算とは別に方位を確認します。日本で北の空を見上げると、星は北極星付近を中心に反時計回りに動いて見えます。数の22.5度が合っていても、回転の向きを逆に描けば位置は違います。「何度」と「どちら向き」を別々に点検することが必要です。

練習問題

解く前に、使う型を一言添えてください。「食塩は変わらない」「同じ熱量」「力の差」「1時間あたり」のような短い言葉で十分です。計算の後は、単位と増減の向きまで確かめます。

練習1　水を足す量を逆に求める

12%の食塩水150 gを、水を加えて9%にします。食塩水をこぼさず、水の蒸発もないとすると、加える水は何gですか。

練習2　熱量の表から比例を使う

水を同じ条件で温めたときの表です。水1 gの温度を1 ℃上げる熱量を1 calとし、容器や周囲に熱は逃げないものとします。空欄の熱量を求めてください。

練習3　浮力と体積を求める

物体をばねばかりにつるすと、空気中で180 g重を示しました。物体を水中に完全に沈め、容器に触れないようにすると、130 g重を示しました。浮力は何g重で、物体の体積は何cm3ですか。水1 cm3の重さを1 gとし、空気の浮力や糸の重さは考えません。物体は水を吸わず、形も変わらないものとします。

練習4　星の動きから時間を求める

日本で北の空を観察すると、ある星が北極星付近を中心に30度、日周運動の向きに動きました。1時間に15度動くとして、観察の間隔は何時間ですか。また、北の空に向かって見た回転の向きも答えてください。観察の間隔は1日以内とします。

答えと解説

練習1の答えは50 gです。食塩は150×12÷100＝18 gで変わりません。18 gが全体の9%になるので、できる食塩水は18÷9×100＝200 gです。最後に200−150＝50 gとします。200 gは完成した全体の重さなので、そのまま「加える水」として答えないようにします。確認すると18÷200×100＝9%になります。

練習2の答えは1200 calです。温度変化が同じ8 ℃で、水の重さが150÷50＝3倍なので、熱量も400×3＝1200 calです。直接150×8と計算しても求められます。どちらの解き方でも、20 ℃や30 ℃といった温め始めの温度ではなく、「何℃上がったか」を使う点は同じです。

練習3の答えは、浮力50 g重、体積50 cm3です。180−130＝50 g重だけ水に支えられています。その浮力は50 gの水の重さに対応し、水の体積は50 cm3です。完全に沈めているので、この押しのけた水の体積と物体全体の体積が等しくなります。一部しか沈んでいなければ、同じ引き算から求まるのは水中部分の体積までです。

練習4の答えは2時間、反時計回りです。30÷15＝2時間となります。1時間の2倍の角度なので時間も2倍、と比例の表を思い浮かべても解けます。数が合うことと方位に対する動きが合うことを分けて確かめ、角度の計算だけで終えないようにします。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

計算の型を見分けられるようになると、溶解度や気体の発生量でも、まず表の基準となる量を探せます。ただし、反応する相手が不足したり、とける限界に達したりすると、増やした量と結果が比例し続けるとは限りません。今後は「どこまで同じ型を使えるか」を、表やグラフの折れ曲がりと結びつけて読みます。

家庭で5分ほど確かめる方法の1つは、例題1の数を紙に写し、それぞれに「食塩」「水溶液全体」「加える水」と名前を添えることです。計算をし直す前に、加えた後も変わらない数を丸で囲みます。もう1つは、1時間30分を90分と1.5時間の両方で書き、星の動く角度を2通りで計算して一致させることです。実物を加熱したり薬品を使ったりする必要はありません。

個別指導では、式が作れない場合は量の名前と単位まで、割合で止まる場合は「全体の100分のいくつか」まで戻って確かめます。正解した問題でも、分母を選んだ理由や引き算で出た量を説明できるかを見て、次に扱う問題を決めます。

まとめ

答えの横に単位を書くと、計算で求めたものの正体が見えます。さらに「この20 gは加えた後も変わらない食塩」「この11.25秒は2つの波の到着の差」と説明できれば、式は数字の並びではなく、現象を短く表したものになります。

解き直すときは、誤った答えだけを消すのではなく、最初に取り違えた量の名前を直してみてください。食塩水全体を水と読んだのか、温度変化を温度と読んだのかによって、次に注意する場所が決まります。理科の計算をつなぐのは、数のそばにある量の意味です。