算数・数学のつまずきを遡って直す｜武蔵野個別指導塾が薦める学習の仕方

連載「武蔵野個別指導塾が薦める学習の仕方」全50回の第20回です。全50回の目次を見る

テストが返ってくるたび、同じ崩れ方をしている。今習っている単元の問題なのに、途中の計算か立式のところで止まっている。算数・数学のつまずきは、たいてい今の単元ではなく、その手前の単元に原因がある。手前を直さないまま今の単元だけを繰り返しても、失点の形は変わりません。

困るのは「手前」が広すぎることです。「小学校の分数からやり直しなさい」と言われても、分数のどこなのか、何日かかるのか、その間に学校の授業をどうするのかが決まらなければ手のつけようがありません。戻り学習が途中で消えるのは、やる気の問題ではなく、戻る先と量と期限が紙の上に無いからです。

この記事は、その手前を機械的に特定して日程に変えるまでの作業手順です。どこまで戻るべきかという判断そのものは別の回に譲り、ここでは誤答から詰まりの場所を割り出し、自作の診断で確かめ、何日でどこまで戻るかを決めるところまでを扱います。小学校の算数、なかでも分数・小数・割合に重心を置きます。

この記事の結論

• 戻る先は勘で決めず、直近のテストの誤答5問を型で分類して決める。型が分かれば、戻る単元は対応表で機械的に引ける。
• 候補が出たら各単元3問・全体で10分の自己診断を自作して確かめる。市販の学年別テストでは、詰まっている一点まで絞り込めない。
• やり直しは1単元ずつ、日数を決めて行う。複数単元を同時に戻すと、今の授業が置き去りになって差し引きで損をする。
• 計算だけ速くしても文章題は解けるようにならない。計算の練習と、立式の練習は別の時間として確保する。
• 戻った単元を直したら、問題を混ぜて（交互に）解く。同じ型ばかり並べた練習は、その場ではできても後から思い出せない。

なぜ「1つ前」を疑うのか

算数・数学は、後の単元が前の単元を部品として使う構造です。だから、ある単元でつまずいたとき、原因がその単元の説明にあるとは限りません。長期の追跡調査は、小学校で身につけた分数と割り算の理解が5〜6年後の高校数学の成績を予測すると示しています。家庭の収入や学歴、一般的な知的能力、作業記憶を差し引いても、この関係は残りました。

Siegler, Duncan, Davis-Kean, Duckworth. Early Predictors of High School Mathematics Achievement. Psychological Science. 2012.

ブース（Booth）らも、中学生の分数の理解が代数の準備状態と結びついており、とくに分子が1の単位分数の大きさの理解が重要だと報告しています。ベイリー（Bailey）らの追跡では、小学1年の時点の「数の大きさの感覚」が、中学での分数の理解を予測していました。数の大きさの感覚（number sense）とは、たとえば3分の2が0.5より大きいと、計算せずに見当がつく感覚のことです。

ただし、これらは「分数を直せば数学ができる」という意味ではありません。予測は因果の証明ではないからです。実務上の使い道はもっと地味で、つまずいた単元の説明を読み直す前に、その単元が使っている部品を先に疑えという優先順位の指示として使います。

手順①　誤答5問を型で分類する

最初にやるのは、新しい問題を解くことではなく、すでに間違えた問題を読むことです。直近のテスト（定期テスト、単元テスト、模試のどれでもかまいません）を1枚用意します。全部を見る必要はありません。

1. 答案の×と部分点の問題から、5問だけ選ぶ。配点の大きい順ではなく、解き始めてはいるが途中で崩れた問題を優先する。白紙の問題は後回しにする。
2. 1問につき1枚、ノートの見開き左に問題を写し、右に自分の答案をそのまま写す。消さない。間違いの形が残っていないと分類できません。
3. 本人に「ここで何をしようとしたか」を1行で書かせる。書けないこと自体が情報になります。
4. 次の5つの型のどれかに分類する。迷ったら2つ書いてよい。

• 計算の型——方針は合っているが、途中の四則計算・符号・通分・約分で値が変わった。
• 用語の意味——「比」「割合」「変域」「有理数」など、言葉の指す中身があいまいなまま進んだ。
• 立式——何を求めるかは分かるが、式に直せない。数を適当に掛けたり割ったりしている。
• 読み違い——問題文の条件を取り違えた。単位、「〜より多い」と「〜以上」、求めるものの取り違え。
• 時間切れ——最後の数問がまとめて白紙。方針は書けている。

この分類は思いつきではなく、誤答分析（error analysis）という診断の手法にならっています。ネルソン（Nelson）らは小学3年生478人の計算を調べ、学力に関わらず最も多く特定できた誤りは「使う演算を間違えること」だったと報告しました。計算力そのものより、何をする場面かの判断が崩れていたということです。

Nelson, Powell. Computation Error Analysis: Students with Mathematics Difficulty Compared to Typically Achieving Students. Assessment for Effective Intervention. 2018.

リン（Lin）らは中学1年相当の160人の正負の数を調べ、加法より減法で誤りが多く、とくにマイナスからマイナスを引く形で崩れると示しています。デニス（Dennis）らは、計算の誤りの型を毎回記録しながら指導を調整する方法で、中学生が8週間の取り組みで伸びた例を報告しています。型が分かれば手当てが変わる——これが誤答分析の値打ちです。

手順②　型から「1つ前の単元」を引く

型が決まったら、戻る先は次の表で引きます。表の見方は左から右で、右へ行くほど手前の単元です。いちばん右まで一気に戻らないこと。まず真ん中の列を疑い、そこが無事なら右へ進みます。

右端まで来たら、それ以上は戻りません。右端はどれも小学校の数と計算の土台で、そこが崩れているなら、後の単元を追うより先に直したほうが早いからです。

手順③　10分で終わる自己診断を作る

対応表はあくまで仮説です。確かめるために、1回10分の自己診断を自分で作ります。市販の学年別ドリルの単元テストでは問題数が多すぎて、何が分かっていないかまでは絞れません。作り方は次のとおりです。

1. 対応表で出た候補の単元を、多くても3単元選ぶ。
2. 各単元から3問ずつ、計9問を教科書の例題と練習問題から抜き出す。応用問題は入れない。いちばん基本の形だけにする。
3. 3問の中身を、①手続きだけの問題、②意味を問う問題、③その手続きを使う短い文章題、の3種類にする。たとえば分数なら、①通分して足す、②2つの分数のどちらが大きいか理由つきで、③1メートルの何分の何、という3問です。
4. 時間を計って解かせる。9問で10分を超えるなら、その時点で「手続きが自動化していない」という所見が1つ得られます。
5. 採点する。3問中3問正解なら、その単元は戻り先から外す。2問以下なら戻り先として確定する。①だけ正解で②が不正解なら、手続きは覚えているが意味が抜けている、と記録する。

②を必ず入れるのは、手続きと概念が一方通行ではないからです。リトル・ジョンソン（Rittle-Johnson）らは、概念の理解が手続きを支えるだけでなく、手続きの練習が概念の理解を押し上げる向きも働く双方向の関係だと整理しています。意味が抜けたまま手続きだけ回しても頭打ちになり、意味の説明だけ聞かせても手は動きません。診断にも練習にも両方を入れます。

自己診断の限界

自作の診断には弱点があります。問題を選ぶ人が「たぶんここだろう」と思う単元から選ぶため、思いもよらない場所の穴は見つかりません。9問という数も少なく、たまたま当たった1問で「できる」と判定してしまう危険もあります。減らす方法は簡単で、同じ診断を数日空けてもう一度やる。2回とも3問正解なら、その単元は外してよいと考えます。

手順④　やり直しの日程を決める

戻り先が確定したら、日数を先に決めます。1単元ずつ、期限つきで。複数の単元を並行して戻すと、机の上に今の宿題と2つの過去の単元が同時に載り、たいてい全部が中途半端になります。

1日の量を10問前後に抑えるのは、増やしても続かないからです。大事なのは日数ではなく条件で終わりを決めること。2週間やって条件を満たさないなら、単元の選び方を間違えたと考えて手順②に戻ります。延長を繰り返さないでください。

やり直しの後半は問題を混ぜる

戻った単元の練習は、前半と後半で並べ方を変えます。前半は同じ型を続けて解いてかまいません。手続きの形を覚える時期だからです。後半は、連続する2問が同じ解き方にならないように混ぜます（交互練習）。ロアー（Rohrer）らの無作為化比較試験では、中学1年相当の54学級で4か月にわたり混ぜた課題と型ごとにまとめた課題を比べ、1か月後の抜き打ちテストで混ぜた側が61点、まとめた側が38点、効果量 d = 0.83 という差が出ました。

Rohrer, Dedrick, Hartwig, Cheung. A Randomized Controlled Trial of Interleaved Mathematics Practice. Journal of Educational Psychology. 2020.

同じ並べ方は、戻り学習そのものでも検証されています。フックス（Fuchs）らは小学4〜5年の分数の集中指導で、計算の指導を混ぜた群とまとめた群を比べました。指導直後の差は g = 0.28 で有意ではありませんでしたが、1年後の追跡では g = 0.65 と大きくなりました。指導そのものの効果は追跡時点でも計算で g = 1.22、ほかの指標で g = 0.39 から 0.58 でした。混ぜる並べ方は、直後の手応えではなく後の残り方で効いてきます。

Fuchs, Malone, Preacher, Cho. Next-Generation Fraction Intervention and the Long-Term Advantage of Interleaved Instruction. Exceptional Children. 2023.

具体的には、後半の6〜8問のうち3問を戻り先の単元、3問を今の授業の単元、残りを前に直した単元から取り、同じ型が続かない順に並べ替えるだけです。

手順⑤　今の授業と並行して回す

戻り学習の最大の害は、今の授業が置き去りになることです。過去の単元に時間を全部使えば、来月にはもう1つ穴が増えます。配分は先に決めてください。

1. 平日の数学の学習時間を、今の授業の宿題が先、戻り学習が後の順に並べる。順番を逆にすると、戻り学習が長引いた日に宿題が消えます。
2. 戻り学習は1回15分を上限にする。10問前後ならこの中に収まります。収まらないなら問題が難しすぎます。
3. 頻度は週5回。土日のどちらかは休みにしてかまいません。まとめて週2回にするより、短く毎日のほうが続きます。
4. 週に1回、1回20分だけ「混ぜた10問」の日を作る。ここで手順④の後半の並べ方を使います。
5. 定期テストの2週間前になったら、戻り学習をいったん止め、今の範囲に全部寄せる。テスト後に再開する。

研究で確かめられた集中指導は、これよりずっと厚い分量です。フックスらの分数の指導は週3回・13週間、別の試験では12週間、計算と文章題を比べた研究では17週間にわたりました。家庭でその量は再現できません。だからこそ、対象を1単元に絞ることに意味があります。

手順⑥　計算と文章題を分けて考える

計算を速くすれば文章題も解ける、とは限りません。フックスらは小学2年生1,102人を学級単位で無作為に3群に分け、17週間にわたって計算の指導、文章題の指導、通常授業のいずれかを行いました。計算の指導は計算だけを伸ばし、文章題の指導は文章題を伸ばし、さらに文章題の指導のほうが代数の準備となる知識への道筋として強い、という結果でした。

Fuchs, Powell, Cirino, Schumacher. Does Calculation or Word-Problem Instruction Provide a Stronger Route to Prealgebraic Knowledge? Journal of Educational Psychology. 2014.

したがって、誤答の型が「計算の型」なら計算の練習に、「立式」「読み違い」なら文章題の練習に時間を割り当てます。立式でつまずいている子に計算プリントを増やすのは、伸びない方向へ時間を使うことになります。

立式の練習は、解かせるより他人の答案を読ませるほうが早いことがあります。バルビエリ（Barbieri）らは中学生125人を無作為に3群に分け、自分で解く群、正しい解答例を読む群、誤った解答例を読んで何が間違いかを説明する群を比べました。事前知識が低い生徒ほど、誤った解答例を検討する群で伸びが大きいという交互作用が見られています。

Barbieri, Booth. Support for Struggling Students in Algebra: Contributions of Incorrect Worked Examples. Learning and Individual Differences. 2016;48:36-44.

家庭で使うなら、手順①で残した本人の誤答が最良の材料です。1週間後にその答案をもう一度見せ、どこから間違っているかを本人に指させる。指せたら、型が分かったということです。

学年別の進め方

小学生——分数・小数・割合を最優先にする

小学生の戻り先は、学年をさかのぼるよりこの3つに絞るほうが効率的です。どれも後の代数で部品として使われ、学校では短期間で通り過ぎるところだからです。診断の3問は次の形にします。

• 分数——①通分して足す、②5分の3と4分の3のどちらが大きいか理由つきで、③1メートルのテープの5分の2の長さ。
• 小数——①小数のわり算の筆算、②0.7と0.65のどちらが大きいか、③1.5リットルで300円のときの1リットルの値段。
• 割合——①800円の3割、②「もとにする量」がどれかを指させる、③定価の2割引きで1,200円のときの定価。

②が答えられない場合は、数直線を1本引かせて、その数の位置に印をつけさせることから始めます。分数を「上と下の数のペア」ではなく「数直線上の1つの点」として扱えるかどうかが、後の分かれ目になりやすい。1日の量は計算10問と意味を問う1問、期間は4週間を上限にします。

中学生——今の単元を止めずに、1つ前だけ直す

中学生は進度が速く、戻っている間に新しい単元が2つ進みます。だから対応表の真ん中の列（1つ前）で止めるのを既定にします。正負の数、文字式、移項の3つはどの単元のつまずきからも呼び出されるので、最初に診断してください。1回15分・週5回、2週間で区切ります。

定期テストの点数だけを見て戻り先を決めないでください。点数は複数の型の合計なので、同じ40点でも中身が違います。手順①の分類を必ず通します。

高校生——戻るのは計算規則と比、単元丸ごとではない

高校生が「中学からやり直す」と言い出したときは、範囲が広すぎて実行できません。高校の内容でつまずく原因として頻度が高いのは、単元そのものより文字式の変形と分数の計算、そして比と相似の意味です。中学の教科書を通しでやらず、この3点だけを診断して1回20分・週3回で2週間だけ直します。

高校生は使える時間が構造的に少ないので、今の単元の中で使われている部品を、その単元の勉強の中で直すやり方に切り替えます。三角比の問題を解きながら、出てきた分数計算だけを取り出して練習する、という形です。

この記事で言えないこと

ここで挙げた手順は、研究で確かめられた指導法を家庭でできる分量に落としたものです。分量を落とせば効果も落ちます。フックスらの分数の集中指導は訓練を受けた指導者が少人数に週3回・13週間行ったもので、家庭の1回15分が同じ結果を生むとは言えません。

効かない条件もはっきりしています。第一に、遡りすぎる害です。過去の単元に時間を使いすぎれば、今の授業の穴が新しく増えます。戻り学習は今の授業を守るためにやるのであって、今の授業を捨ててよい理由にはなりません。第二に、計算の流暢さだけを上げても文章題は伸びないこと。上で見たとおり、計算の指導は計算にしか効きませんでした。第三に、自作の診断の限界です。9問では見落としが出ますし、作る側の思い込みの外にある穴は見つかりません。

また、混ぜた練習（交互練習）は万能ではありません。上のフックスらの試験でも、指導の直後の差は g = 0.28 にとどまり、統計的に有意ではありませんでした。差がはっきりしたのは1年後です。市販の問題集も教科書の練習問題も型ごとにまとまっているのが普通なので、混ぜる作業は自分で並べ替えるしかありません。並べ方を変えるのは家庭でもできますが、直後の手応えはむしろ下がることが多いという点は先に知っておいてください。

最後に、ここで紹介した研究の多くは算数・数学が苦手な子や学習に困難のある子を対象にしたものです。得意な子に同じ手順が同じように効くかは分かりません。数の感覚そのものに大きな困難がある場合は、家庭の手順の範囲を超えます。

当塾の立場

手順①から④までは、塾に来なくてもできます。必要なのは返ってきた答案1枚とノートと教科書だけです。誤答を5問選んで型に分け、対応表で戻る先を決め、9問の診断を作る——ここまでに特別な教材も費用もいりません。いちばん効くのは答案を捨てずに残すことで、それは今日から始められます。

それでも人手が要る場面はあります。1つは型の分類が割れるとき。「立式」なのか「用語の意味」なのかは、本人に何をしようとしたかを言わせないと決まらず、家庭では言わせにくい。もう1つは手順④の終了条件を守らせるところです。パウエル（Powell）らが整理した診断にもとづく個別化（data-based individualization）も、進み具合を定期的に測って指導を組み替える人を前提にしています。

武蔵野個別指導塾は個別指導なので、生徒ごとに誤答の型を記録し、戻り先と期限を1人ずつ決める形が取れます。通うかどうかにかかわらず、この記事の手順はそのまま使ってください。型の分類で手が止まるようなら、そこが人に相談する価値のある場所です。

関連する研究の解説

• 数学はどこまで戻るべきか——戻り学習の判断と手順 — どこまで戻るかという判断そのものを扱った回。本記事はその判断の後の作業手順にあたります。
• 数感覚と算数障害——「数の感覚がない」という状態はあるのか — 数の大きさの感覚がどこまで測れるか、困難がどの程度あるかの解説。
• 数学の概念理解と手続き習熟——どちらが先かという問いの誤り — 手順③で診断に意味を問う問題を入れる理由の背景。

出典

1. Siegler, Duncan, Davis-Kean, Duckworth, et al. Early Predictors of High School Mathematics Achievement. Psychological Science. 2012.
2. Booth, Newton. Fractions: Could They Really Be the Gatekeeper’s Doorman? Contemporary Educational Psychology. 2012.
3. Bailey, Siegler, Geary. Early Predictors of Middle School Fraction Knowledge. Developmental Science. 2014.
4. Nelson, Powell. Computation Error Analysis: Students with Mathematics Difficulty Compared to Typically Achieving Students. Assessment for Effective Intervention. 2018.
5. Lin, Riccomini. Understanding Error Patterns in Integer Operations of Students with and without Mathematics Difficulty: A Descriptive Analysis. Learning Disabilities Research and Practice. 2026.
6. Dennis, Calhoon, Olson. Using Computation Curriculum-Based Measurement Probes for Error Pattern Analysis. Intervention in School and Clinic. 2014.
7. Rittle-Johnson, Schneider, Star. Not a One-Way Street: Bidirectional Relations between Procedural and Conceptual Knowledge of Mathematics. Educational Psychology Review. 2015.
8. Rohrer, Dedrick, Hartwig, Cheung. A Randomized Controlled Trial of Interleaved Mathematics Practice. Journal of Educational Psychology. 2020.
9. Fuchs, Malone, Preacher, Cho. Next-Generation Fraction Intervention and the Long-Term Advantage of Interleaved Instruction. Exceptional Children. 2023.
10. Fuchs, Powell, Cirino, Schumacher. Does Calculation or Word-Problem Instruction Provide a Stronger Route to Prealgebraic Knowledge? Journal of Educational Psychology. 2014.
11. Barbieri, Booth. Support for Struggling Students in Algebra: Contributions of Incorrect Worked Examples. Learning and Individual Differences. 2016;48:36-44.
12. Powell, Bos, King. Using the Data-Based Individualization Framework in Math Intervention. TEACHING Exceptional Children. 2024.