中学受験の算数 約数の個数—素因数の選び方を表にして数え落としを防ぐ｜武蔵野個別指導塾

材料を使わない選び方も表に並べると、約数の個数を数え落とさずに済みます。0 回の列が作る 1 も、欠かせない約数です。

約数の個数は材料の選び方の組み合わせで決まる

よくあるのは、24 を 2×2×2×3 と分けて、使う材料だけを並べ、その材料を一つも使わないという選び方を落としてしまう場面です。約数を書き出せば 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 の 8 個あるのに、式の側では 3 個や 6 個と答えてしまう。書き出しと計算が食い違うときは、たいていこの使わないの一列が抜けています。

約数の個数は、素因数分解したときの各材料を何回使うかを決める問題です。2 を 3 回まで、3 を 1 回まで使えるなら、2 の使い方は 0 回、1 回、2 回、3 回の 4 通り、3 の使い方は 0 回と 1 回の 2 通りです。この 4 と 2 を掛けた 8 が約数の個数になります。0 回という選択がその材料を使わないという意味を持つので、1 という約数も必ずこの表の中に入ります。

出方の型は大きく三つあります。第一の型は、素因数分解して個数を求める問題です。84 の約数は何個あるかと問われたら、材料の回数の組み合わせを数えます。第二の型は、個数から元の数を絞る問題です。約数がちょうど 4 個ある 2 桁の整数のうち最も小さいものはどれかと問われたら、個数の式を逆にたどります。第三の型は、個数の偶奇から数の正体を見分ける問題です。約数の個数が奇数になるのは平方数だけという性質を使います。

どの型でも、答案の中心にあるのは同じ一枚の表です。材料を縦に、使う回数を横に並べ、0 回の列を必ず書く。この習慣がつくと、個数の計算と実際の約数の書き出しがずれなくなります。逆に、式だけを覚えて表を書かないと、0 回を落としたことに自分で気づけません。

約数を一つずつ書き出す方法は、数が小さいうちは確実です。ところが 360 のような数になると、書き出しの途中で抜けたのかどうかが分からなくなります。素因数分解から個数を先に求め、その個数と書き出しの数を照合すると、抜けや重複を自分で見つけられます。数が大きくなるほど、表で個数を決めてから書き出す順番が効いてきます。

用語と考え方

約数とは、ある整数を割り切れる整数のことです。24 なら 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 の 8 個が約数で、24 はこれらの数でわり切れます。素数とは、1 とその数自身しか約数を持たない 2 以上の整数で、2, 3, 5, 7, 11 と続きます。素因数分解とは、整数を素数の積の形に書き直すことで、12 なら 2×2×3、24 なら 2×2×2×3 になります。

約数の個数を数えるときの材料は、この素因数分解に出てくる素数です。12 の材料は 2 と 3 の二種類で、2 は 2 回まで、3 は 1 回まで使えます。約数はどれも、2 を何回か、3 を何回か使ってできる数です。たとえば 6 は 2 を 1 回と 3 を 1 回、4 は 2 を 2 回と 3 を 0 回使った数です。

ここで大切なのは、0 回という選び方も一通りとして数えることです。2 を 0 回使うとは、2 を使わないという意味で、残るのは 3 の使い方だけになります。3 も 0 回なら、何も使わない数、つまり 1 ができます。1 が約数であることは、どの整数でも成り立ちます。0 回の列を表から消すと、1 が表から消えるのと同じことになります。

同じ素数を何回掛けたかは、指数という数で表します。2×2×2 は 2 の三乗で、指数は 3 です。指数は、表の行や列がいくつあるかと対応しています。2 の指数が 3 なら、2 の使い方は 0 回から 3 回までの 4 通りで、行が四本ある表になります。指数が 1 なら行は二本、指数が 2 なら行は三本です。行の本数が使い方の数で、指数そのものではないことに注意します。

図1のように、12 の場合は 2 の使い方が 0 回から 2 回までの 3 通り、3 の使い方が 0 回と 1 回の 2 通りで、3 と 2 を掛けて 6 通りです。表の六つのますには 1, 2, 4, 3, 6, 12 が入り、これがそのまま 12 の約数になります。表と書き出しが一致するので、数え落としがあったかどうかを自分で確かめられます。

材料が三種類になると、表は一度に書くと見にくくなります。そのときは、二つの材料の表を、三つ目の材料を使わない場合と使う場合の二枚に分けます。180 なら、2 と 3 の表を 5 を使わないときと使うときの二枚作り、それぞれ 9 通りずつ数えます。二枚合わせて 18 通りです。表を分けても、ますの合計は変わらないので、個数の数え方は同じままで済みます。

材料にない数は、約数になりません。24 の材料は 2 と 3 だけなので、5 や 7 はどれだけ組み合わせても 24 にならず、約数にも入りません。約数を書き出したときに、材料にない素数が混ざっていたら、どこかで計算を間違えています。書き出しの確認では、出てきた数の材料がすべて元の数の材料に収まっているかを見ます。

表の行と列を入れ替えても、ますの数は変わりません。2 の選び方を先に決めてから 3 の選び方を決めても、3 の選び方を先に決めても、同じ六つの数が並びます。かけ算の順序を入れ替えても答えが変わらないことと、表の行と列を入れ替えてもますの数が変わらないことは、同じ仕組みから来ています。

ますの数と約数の個数がいつも一致するのには、二つの理由があります。一つは、どのますにも違う数が入ることです。2 の使い方と 3 の使い方が少しでも違えば、かけ算の結果は違う数になります。もう一つは、どの約数もどれかのますに入ることです。約数は素因数の積の形で一つに決まるので、当てはまるますが必ず一つあります。この二つがそろうと、ますの数と約数の個数は一対一で対応します。数え落としも二重に数えることも起きないのは、この対応があるからです。

約数の個数の式は、素因数分解の指数に 1 を足して掛け合わせると説明されることがあります。指数とは、同じ素数を何回掛けたかを表す数のことです。24 なら 2 の指数が 3、3 の指数が 1 なので、3 に 1 を足した 4 と、1 に 1 を足した 2 を掛けて 8 になります。この形を覚えること自体は悪くありませんが、1 を足す理由を説明できないまま使うと、0 回の選び方を忘れたときに式だけが独り歩きします。1 を足しているのは、0 回という選び方を一通りとして数えているからです。

基本例題　24 の約数の個数

24 の約数は何個あるか、求めなさい。

まず 24 を素数だけでわり続けます。24 を 2 でわると 12、12 を 2 でわると 6、6 を 2 でわると 3、3 は 2 でわれないので 3 でわると 1 になります。使った素数は 2 が三つ、3 が一つで、24 は 2×2×2×3 と書けます。

次に、2 の使い方を数えます。0 回、1 回、2 回、3 回の 4 通りです。3 の使い方は 0 回と 1 回の 2 通りです。この二つは独立に選べるので、4×2 で 8 となり、24 の約数は 8 個です。

2 の使い方を数で書くと、0 回で 1、1 回で 2、2 回で 4、3 回で 8 です。3 の使い方は、0 回で 1、1 回で 3 です。この二組を総当たりにすると、1×1、1×3、2×1、2×3、4×1、4×3、8×1、8×3 の八つになり、1, 3, 2, 6, 4, 12, 8, 24 が出ます。小さい順に並べ替えたものが、先に書き出した八つの約数です。

答えが正しいかは、実際に書き出して確かめます。2 を使わない列からは 1 と 3、2 を 1 回使う列からは 2 と 6、2 を 2 回使う列からは 4 と 12、2 を 3 回使う列からは 8 と 24 が出ます。小さい順に並べると 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 の 8 個で、表の 8 通りと一致します。

図2のように、約数を小さい数と大きい数の対にして並べると、1 と 24、2 と 12、3 と 8、4 と 6 の 4 組になります。どの組も掛けると 24 になります。24 は平方数ではないので、組の真ん中で同じ数が重なることはなく、4 組で 8 個です。

この対の並べ方は、書き出しの確認に向いています。小さい方から順に、24 をその数でわった商を横に書いていくだけで、全部の約数がもれなく並びます。片側だけを書いてこれで全部と止まる答案は、この対の右側を書いていない答案です。

書き出した数で 24 をわって、すべてわり切れることも確かめます。1 でわると 24、2 でわると 12、3 でわると 8、4 でわると 6、6 でわると 4、8 でわると 3、12 でわると 2、24 でわると 1 です。どの割り算も余りが出ません。割り算の答えがまた約数になっていることが、対の組の正しさを裏づけています。

標準例題　180 の約数の個数

180 の約数は何個あるか、求めなさい。

180 を素数でわり続けます。180 を 2 でわると 90、90 を 2 でわると 45、45 は 2 でわれないので 3 でわると 15、15 を 3 でわると 5、5 を 5 でわると 1 です。したがって 180 は 2×2×3×3×5 と書け、2 の指数は 2、3 の指数は 2、5 の指数は 1 です。

使い方の数を並べます。2 は 0 回から 2 回までの 3 通り、3 も 0 回から 2 回までの 3 通り、5 は 0 回と 1 回の 2 通りです。3×3×2 で 18 なので、180 の約数は 18 個です。

書き出しでも確かめます。2 と 3 の使い方で 9 通りの数を作ると、1, 2, 4, 3, 6, 12, 9, 18, 36 になります。それぞれに 5 を掛けない場合と掛ける場合があるので、同じ 9 個をもう一組作ります。小さい順に並べると 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180 の 18 個です。対にして確かめると、1 と 180、2 と 90、3 と 60、4 と 45、5 と 36、6 と 30、9 と 20、10 と 18、12 と 15 の 9 組になり、9 組で 18 個です。

ここで気をつけるのは、指数が 0 の材料を式から落とさないことです。180 の場合、5 を一度も使わない選び方が 9 通りあります。その 9 通りを落とすと 9 個という答えになり、書き出した 18 個と合いません。材料が三種類に増えても、0 回の列はどの材料にも必要です。

素因数分解で取りこぼしを防ぐには、小さい素数から順に試し、商が素数になったら止めます。180 なら 45 を 3 でわって 15、15 を 3 でわって 5 になり、5 は素数なのでここで止めます。止めた 5 を材料として書き忘れると、5 の指数が 0 として扱われ、個数が 3×3 の 9 個になってしまいます。割り算の最後の商まで、材料として書き切ることが大切です。

発展例題　約数の個数が奇数になる数

1 から 50 までの整数のうち、約数の個数が奇数になるものをすべて求めなさい。

約数を対にして並べると、掛けて元の数になる二つの数が一組になります。ふつうは異なる二つの数が組になるので、組の数だけ約数が増え、個数は偶数になります。ところが平方数では、同じ数を二回掛けた組が一組だけできます。その組は二つの数を数えても一つの約数にしかならないので、全体の個数が一つ減り、奇数になります。

1 から 50 までの平方数を書き出します。1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 の 7 個です。それぞれを対にすると、1 は 1 と 1、4 は 2 と 2、9 は 3 と 3、16 は 4 と 4、25 は 5 と 5、36 は 6 と 6、49 は 7 と 7 の組を一つずつ持ちます。この組は二つの数を数えても一つの約数にしかならないので、どの個数も奇数になります。

平方数でない数も確かめます。50 は 2×5×5 と書けるので、2 の使い方が 2 通り、5 の使い方が 3 通りで、2×3 の 6 個です。書き出すと 1, 2, 5, 10, 25, 50 の 6 個で、偶数になっています。平方数でない数は、どの組も異なる二つの数になるため、個数は必ず偶数です。

個数が多い数が奇数とは限りません。48 は 2 を 4 回と 3 を 1 回使うので、5×2 の 10 個で偶数です。個数の大小と偶奇は別の性質で、偶奇を決めるのは平方数かどうかだけです。約数の個数が 10 個という事実からは、その数が平方数かどうかは分かりません。

個数から元の数を絞る問題も、同じ表を逆向きに使います。約数が 9 個になる整数のうち最も小さいものを考えます。9 は 3×3 とも 9 とも書けるので、指数の組み合わせは 2 と 2、または 8 です。小さいのは 2 を 2 回と 3 を 2 回使う形で、2×2×3×3 の 36 になります。36 の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 の 9 個です。2 の 8 乗の 256 は 36 より大きいので、最も小さい数は 36 です。

この性質は逆向きにも使えます。約数の個数が奇数だとわかった時点で、その数は平方数だと決まります。約数の個数を求める式で見ると、すべての指数に 1 を足した数の積が奇数になるためには、どの指数も偶数でなければなりません。指数がすべて偶数である数は、何かの二乗になっています。個数の偶奇は、数の形そのものを教えてくれる手がかりです。

誤答と直し方　0 回の列を落とす

24 の約数を 3 個と答えた答案があります。式を見ると 3×1 と書いてあり、2 の使い方を 1 回から 3 回までの 3 通り、3 の使い方を 1 回の 1 通りと数えています。0 回の選び方が、両方の材料から落ちています。

原因は、約数といったん思い浮かべた数の集合に引きずられることです。24 の約数といえば 1 が浮かぶのに、式を作る段になると、1 は 2 でも 3 でも作れないと考えて、表の外に置いてしまう。しかし 1 は、2 を 0 回、3 を 0 回使った数として、表のますの中にきちんと入っています。0 回を数えることは、1 を数えることと同じです。

0 回という言葉を、掛け算の回数が 0 という意味に取り違えることもあります。そうではなく、その材料を選ばないという意味です。選ばない材料があっても、他の材料は使えるので、選び方の数は減りません。2 を 0 回にして 3 を 1 回使えば 3、両方とも 0 回なら 1 です。0 回は、表のますを空にするのではなく、1 を掛ける列として残します。

修正は、表の一行目と一列目に必ず 0 回を書くことです。図3の左のように、使う回数だけを並べると 3 通りと 1 通りになり、3 個で止まります。右のように、0 回の列を足すと 4 通りと 2 通りになり、8 個になります。足したのは、どちらも 1 通りずつです。この 1 通りを足し忘れたかどうかが、答えの違いそのものです。

同じ誤りは、材料が三種類の数でも起こります。180 で 0 回を落とすと 2×2×1 の 4 個になりますが、正しくは 3×3×2 の 18 個です。落とした 1 通りの数は、材料が三種類なら三か所あり、掛け算の結果は大きく変わります。材料が多い数ほど、0 回の確認を先に済ませておくと安全です。

別の誤りに、指数そのものを個数と取り違えるものがあります。24 の 2 の指数が 3 だから約数も 3 個、という考え方です。指数は材料を何回使えるかを表す数で、使い方の数は 0 回を含めて 4 通りあります。指数と使い方の数は、いつも 1 だけ違います。この 1 の差が、0 回の選び方です。

割り算の回数を数える段でも、似た取り違えが起きます。24 を 1 になるまで割ると、24 から 12 で 1 回、12 から 6 で 2 回、6 から 3 で 3 回、3 から 1 で 4 回です。この 4 回をそのまま 2 の指数とすると、24 は 2 の四乗ということになり、個数は 5×2 の 10 個になってしまいます。4 回目の割り算は 3 で割った回数で、2 の回数ではありません。2 で割った回数だけを数えると 3 回です。

自分で直すときは、表の見出しに 0 回を書き、次に使える回数の最大を書きます。その間を飛ばさずに並べれば、通りの数は自然に数えられます。24 なら 0, 1, 2, 3 の四つ、3 なら 0, 1 の二つです。飛ばした数があると、ますの数と約数の数が合わなくなります。

練習問題

1. 72 の約数は何個あるか、求めなさい。
2. 210 の約数は何個あるか、求めなさい。
3. 約数がちょうど 4 個ある 2 桁の整数のうち、最も小さいものを求めなさい。
4. 1 から 90 までの整数のうち、約数の個数が奇数になるものは何個あるか、求めなさい。
5. 約数がちょうど 3 個ある 3 桁の整数のうち、最も小さいものを求めなさい。

答えと解き方

1. 72 は 2×2×2×3×3 と書けるので、2 の使い方が 4 通り、3 の使い方が 3 通りで、4×3 の 12 個です。書き出すと 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 の 12 個です。対にすると 1 と 72、2 と 36、3 と 24、4 と 18、6 と 12、8 と 9 の 6 組で、6 組で 12 個です。

2. 210 は 2×3×5×7 と書けるので、四つの材料がどれも 2 通りで、2×2×2×2 の 16 個です。書き出すと 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210 の 16 個です。0 回の列が四か所あるので、その一つでも落とすと 8 個という答えになり、書き出しと合いません。

3. 約数が 4 個になるのは、素数の三乗か、異なる二つの素数の積の形の数です。2 桁で小さい方から調べると、10 は 2×5 で、約数は 1, 2, 5, 10 の 4 個です。これより小さい 2 桁の整数はありませんので、答えは 10 です。8 は 2×2×2 で 4 個ですが、1 桁なので条件に合いません。

4. 約数の個数が奇数になるのは平方数だけなので、1 から 90 までの平方数を数えます。1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 の 9 個です。81 の次に大きい平方数は 100 で、90 を超えます。

5. 約数が 3 個になるのは、素数の二乗の形の数です。2 の二乗は 4、3 の二乗は 9、5 の二乗は 25、7 の二乗は 49 で、どれも 2 桁以下です。11 の二乗は 121 で 3 桁になります。121 の約数は 1, 11, 121 の 3 個です。これより小さい 3 桁の整数は 100 だけで、100 は 2×2×5×5 なので 3×3 の 9 個となり、3 個ではありません。したがって答えは 121 です。

覚えておくこと

• 約数の個数は、素因数ごとの 0 回から使える回数までの選び方の数を掛けて求める。
• 0 回はその材料を使わないという一つの選び方で、1 という約数を作る。
• 指数に 1 を足すのは、0 回を一通りとして数えているから。
• 平方数の約数の個数は奇数になり、奇数個ならその数は平方数。
• 答えが出たら、約数を小さい順に書き出して表のますと照合する。

つまずきの見分け方

0 回を落とす誤りは、答えの個数が指数の積と一致しているかで見分けられます。24 で 3×1 と書いていたら、指数の 3 と 1 をそのまま掛けています。正しい個数は、指数に 1 を足した 4 と 2 の積です。答案の式に 1 を足す手順があるかどうかを、まず見ます。

次に見るのは、書き出した約数と式の個数が合っているかです。書き出しが 8 個なのに式が 3 個なら、式の側が足りていません。逆に式が 8 個で書き出しが 7 個なら、書き出しの途中で抜けています。どちらの向きでも、二つを並べて比べれば、ずれている場所がはっきりします。

確認の順番は、素因数分解、表の見出し、ますの数、書き出しの四つです。どこで止まったかを一緒に見れば、0 回の列が抜けたのか、指数を数え違えたのか、書き出しで落としたのかが分かれます。同じ間違いが続くときは、間違えた段を一つ前に戻って確かめます。先に進み直すより、戻る段を決めた方が早く直ります。

平方数の扱いでは、対の真ん中を落とす誤りが起きます。16 の約数を対にすると 1 と 16、2 と 8、そして 4 と 4 です。最後の組を二つと数えると 6 個になり、正しい 5 個から一つずれます。真ん中の組だけは一つと数えると声に出して確かめると、このずれは起きにくくなります。

家庭で確かめるときは、答えの個数だけを見ずに、表のますを一つずつ指で数えさせます。ますの数と書き出した約数の数が合えば、その回は正しく数えられています。合わないときは、どちらの数が少ないのかを先に決めると、直す場所が絞れます。式が正しいかどうかより、表と書き出しが同じ数になるかどうかを先に見ると、つまずきの場所がはっきりします。

個別に確かめるときは、お子さまの前で表を一枚書き、0 回の列を指でなぞります。その列を書いた瞬間に、あ、1 だと気づけるかどうかが、理解の分かれ目です。言葉で説明できても、書くときに列が抜けることがあるので、手を動かすところまで見ます。数え落としは、覚えていないからではなく、書く順番が決まっていないから起こります。表の形を決めてしまえば、あとは同じ手順をなぞるだけです。