大学入試数学 絶対値の重み付き和—折れ目で傾きを比べ最小になる区間まで求める｜武蔵野個別指導塾

数直線上の三つの定点に正の重みを付けた絶対値の和は、折れ目ごとに傾きが変わる折れ線になります。各区間の傾きの符号を左から並べ、零になる区間まで最小の位置を決める手がかりが折れ目です。

よくあるのは、高2〜高3の本人が自習中に、絶対値の折れ目を数えて真ん中の折れ目だけを最小点として答えてしまう場面です。2|x-1|+3|x-3|+|x-6| なら折れ目は 1、3、6 の三つで、真ん中は 3 だから x=3 が最小点だと決めます。この問題では x=3 で確かに最小になりますが、重みを変えると真ん中の折れ目は最小点ではなくなります。5|x|+|x-1|+|x-2| では、最小を取るのは x=0 で、真ん中の x=1 ではありません。折れ目の位置だけでなく、折れ目をまたぐたびに傾きがどれだけ変わるかを左から順に書くことが、最小を取る点、最小値、そして最小を取る区間までを決めます。

何を問われるか

絶対値の重み付き和とは、数直線上のいくつかの定点までの距離に、正の重みをかけて足した式です。定点が三つなら

f(x) = w₁|x-a₁| + w₂|x-a₂| + w₃|x-a₃|

の形で、a₁<a₂<a₃ と並べ、w₁、w₂、w₃ はすべて正とします。この f(x) の最小値と、最小を取る x の範囲を答えるのが中心の問いです。

出方の型は三つに分かれます。第一に、重みが具体的な数の型。折れ目の位置と重みから各区間の傾きを求め、傾きの符号が変わるところを読みます。第二に、重みの一つが文字 w で、w の値によって最小を取る点が変わる型。傾きが 0 になる境目を求めて、場合分けの答えを作ります。第三に、|2x-3| のように絶対値の中に x の係数がある型。この形は 2|x-3/2| と直せて、折れ目の位置と重みが同時に変わります。

使う道具は、絶対値の定義と一次式の傾きだけです。|X| は X≥0 のとき X、X<0 のとき -X です。折れ目と折れ目の間では、絶対値の中の符号が固定されるので、f は一次式になります。その傾きを足し合わせれば、f の増減がわかります。微分は必要ありません。

前提も確認しておきます。重みが正なので、x がどちらへ遠ざかっても f はいくらでも大きくなります。したがって最大値はなく、問われるのは最小値と達成する点です。定点は相異なり、定義域は実数全体です。重みに 0 が混ざるとその折れ目は消え、負が混ざると f は下に限りなく小さくなって最小値が存在しません。答案の最初にこの前提を書くと、場合分けの根拠がはっきりします。

折れ目と傾きで読む

用語

折れ目とは、絶対値の中が 0 になる x のことです。|x-a| は x=a を境に、x<a では -(x-a)、x>a では x-a と表し方が変わります。グラフはこの点で折れ曲がり、折れ目と呼ばれます。折れ目は、式の形が切り替わる境界でもあります。

重みとは、各絶対値にかかる正の係数のことです。2|x-1| なら定点 1 にかかる重みは 2 です。|2x-6| のように絶対値の中に係数があるときは、|2x-6| = 2|x-3| と直してから読みます。折れ目は 3 で、重みは 2 です。

傾きとは、折れ目と折れ目の間で f が一次式になるときの、その一次式の傾きです。区間ごとに傾きは一定で、折れ目をまたぐと値が変わります。この傾きの変化を左から追うことが、最小点を決める作業になります。

傾きが 2w ずつ増える理由

すべての折れ目より左では、どの項も -w(x-a) と書けます。だから傾きは -W です。ここで W = w₁+w₂+w₃ は重みの合計です。

折れ目 a を左から右へ通り過ぎると、その項だけが -w(x-a) から +w(x-a) に変わります。x の係数は -w から +w へ変わるので、傾きの増加は w-(-w) = 2w です。他の項はこの瞬間には形を変えません。折れ目の前後で f の値は連続で、途切れずにつながります。

したがって、三つの折れ目 a₁、a₂、a₃ を左から順に通るとき、傾きは次のように並びます。

x<a₁        : -W
a₁<x<a₂     : -W+2w₁
a₂<x<a₃     : -W+2w₁+2w₂
a₃<x        : -W+2w₁+2w₂+2w₃ = W

この四つの値の符号を左から読めば、f がどこで減り、どこで増えるかがわかります。折れ目の前後で傾きが負から正に変われば、その折れ目が最小点です。傾きが 0 の区間があれば、その区間の全体で f は同じ値を取り、その区間がそのまま答えになります。

重み付き中央値という見方

別の見方も持っておくと、場合分けを書くときに迷いません。左から重みを足していき、合計が W/2 に初めて届く場所が最小を取る点です。三つの定点では、a₁ より左の重みは 0、a₁ と a₂ の間の重みは w₁、a₂ と a₃ の間の重みは w₁+w₂ です。左側の重みが W/2 以下で、右側の重みも W/2 以下になる点が最小点になります。w₁ が W/2 以上なら a₁、w₃ が W/2 以上なら a₃、どちらでもなければ a₂ です。等号のときは幅のある区間になります。

図1のように、一つの折れ目では傾きが -w から +w へ 2w だけ増え、三つの折れ目ではその増加が順に重なります。

図1の左は一つの絶対値の折れ目、右は三つの定点と重みの並びです。折れ目ごとに傾きの増加が 2w であることを押さえれば、後の計算は同じ手順の繰り返しになります。

基本の例題

例題1（標準）

f(x) = 2|x-1| + 3|x-3| + |x-6| の最小値と、最小を取る x を求めよ。

折れ目は 1、3、6 で、重みは 2、3、1、合計 W=6 です。区間ごとに絶対値を外します。

x<1 のとき
f(x) = -2(x-1)-3(x-3)-(x-6)
     = -2x+2-3x+9-x+6
     = -6x+17

1<x<3 のとき
f(x) = 2(x-1)-3(x-3)-(x-6)
     = 2x-2-3x+9-x+6
     = -2x+13

3<x<6 のとき
f(x) = 2(x-1)+3(x-3)-(x-6)
     = 2x-2+3x-9-x+6
     = 4x-5

6<x のとき
f(x) = 2(x-1)+3(x-3)+(x-6)
     = 2x-2+3x-9+x-6
     = 6x-17

傾きを並べると、x<1 で -6、1<x<3 で -2、3<x<6 で 4、6<x で 6 です。傾きは 3 の前後で負から正に変わるので、最小を取るのは x=3 の一点です。

f(3) = 2|3-1|+3|3-3|+|3-6|
     = 2・2+0+3
     = 7

各折れ目の値も確かめます。f(1)=0+6+5=11、f(3)=7、f(6)=10+9+0=19 で、x=3 の 7 が最も小さいことがわかります。答えは x=3 で最小値 7 です。

図2のように、この f のグラフは折れ目 1、3、6 で傾きが変わり、x=3 で最も低くなります。

例題2（標準）

g(x) = 3|x-2| + |x-5| + 2|x-8| の最小値と、最小を取る x の範囲を求めよ。

折れ目は 2、5、8、重みは 3、1、2、合計 W=6 です。区間ごとに外します。

x<2 のとき
g(x) = -3(x-2)-(x-5)-2(x-8)
     = -3x+6-x+5-2x+16
     = -6x+27

2<x<5 のとき
g(x) = 3(x-2)-(x-5)-2(x-8)
     = 3x-6-x+5-2x+16
     = 15

5<x<8 のとき
g(x) = 3(x-2)+(x-5)-2(x-8)
     = 3x-6+x-5-2x+16
     = 2x+5

8<x のとき
g(x) = 3(x-2)+(x-5)+2(x-8)
     = 3x-6+x-5+2x-16
     = 6x-27

2<x<5 では g(x)=15 で、傾きは 0 です。傾きは -6、0、2、6 と並び、2 の前で負、5 の後で正なので、2≤x≤5 の全体で最小値 15 を取ります。

端点でも確かめます。g(2)=0+3+12=15、g(5)=9+0+6=15 です。区間の内側の点、たとえば x=3 では g(3)=3+2+10=15 となり、同じ値が続くことがわかります。答えは 2≤x≤5 で最小値 15 です。

この例のように、最小を取る点が一つとは限りません。傾きが 0 の区間では、その区間のどの点でも同じ最小値を取ります。答案で「x=2 のとき最小値 15」と一点だけを書くと、5 までの点を取りこぼします。

標準・発展の例題

例題3（やや難）

h(x) = |x-1| + 2|x-4| + w|x-7|、w>0 とする。h の最小値と、最小を取る x を w の値で場合分けして求めよ。

折れ目は 1、4、7、重みは 1、2、w、合計 W=w+3 です。区間ごとに外します。

x<1 のとき
h(x) = -(x-1)-2(x-4)-w(x-7)
     = -x+1-2x+8-wx+7w
     = -(3+w)x+(9+7w)

1<x<4 のとき
h(x) = (x-1)-2(x-4)-w(x-7)
     = x-1-2x+8-wx+7w
     = -(1+w)x+(7+7w)

4<x<7 のとき
h(x) = (x-1)+2(x-4)-w(x-7)
     = x-1+2x-8-wx+7w
     = (3-w)x+(7w-9)

7<x のとき
h(x) = (x-1)+2(x-4)+w(x-7)
     = x-1+2x-8+wx-7w
     = (3+w)x-(9+7w)

傾きは左から -(3+w)、-(1+w)、3-w、3+w です。-(3+w) と -(1+w) はどちらも負で、3+w は正です。変わるのは 3-w の符号だけです。

3-w>0、つまり 0<w<3 のとき、傾きは 4 の前後で負から正へ変わるので、最小を取るのは x=4 の一点です。

h(4) = |4-1|+2|4-4|+w|4-7|
     = 3+0+3w
     = 3+3w

3-w=0、つまり w=3 のとき、4<x<7 で傾きが 0 になります。両端の値は

h(4) = 3+0+9 = 12
h(7) = 6+6+0 = 12

で一致するので、4≤x≤7 の全体で最小値 12 を取ります。

3-w<0、つまり w>3 のとき、傾きは 7 の前後で負から正へ変わるので、最小を取るのは x=7 の一点です。

h(7) = |7-1|+2|7-4|+w|7-7|
     = 6+6+0
     = 12

答えをまとめます。0<w<3 のとき x=4 で最小値 3+3w、w=3 のとき 4≤x≤7 で最小値 12、w>3 のとき x=7 で最小値 12 です。

境目 w=3 の前後で値がつながることも確かめます。w を 3 に近づけると 3+3w は 12 に近づき、w=3 では区間全体の値 12 に一致します。場合分けの境目で答えが食い違わないことを、この一致で確かめられます。

例題4（難）

a₁<a₂<a₃ とし、w₁、w₂、w₃ を正の実数とする。f(x)=w₁|x-a₁|+w₂|x-a₂|+w₃|x-a₃| について、最小を取る点を w₁、w₂、w₃ の大小で場合分けして求めよ。また w₁=5、w₂=2、w₃=1、a₁=1、a₂=4、a₃=7 のときの最小値と最小を取る点を求めよ。

W=w₁+w₂+w₃ とおきます。傾きは左から次の四つです。

x<a₁      : -W
a₁<x<a₂   : w₁-w₂-w₃ = 2w₁-W
a₂<x<a₃   : w₁+w₂-w₃ = W-2w₃
a₃<x      : W

一番左の傾き -W は負、一番右の傾き W は正です。したがって最小は、傾きが負から 0 または正へ変わる場所で取ります。

w₁>W/2 のとき、2w₁-W>0 なので、a₁<x<a₂ で傾きは正です。a₁ より左では負なので、最小を取るのは x=a₁ の一点です。

w₁=W/2 のとき、2w₁-W=0 なので、a₁<x<a₂ で傾きは 0 です。a₁ より左は負、a₂ より右は W-2w₃ ですが、w₁=W/2 と w₂>0 から w₃<W/2 なので正です。よって a₁≤x≤a₂ の全体で最小を取ります。

w₃>W/2 のとき、W-2w₃<0 なので、a₂<x<a₃ でも傾きは負です。a₃ より右は正なので、最小を取るのは x=a₃ の一点です。

w₃=W/2 のとき、W-2w₃=0 なので、a₂<x<a₃ で傾きは 0 です。左は 2w₁-W<0、右は W で正なので、a₂≤x≤a₃ の全体で最小を取ります。

w₁<W/2 かつ w₃<W/2 のとき、a₁<x<a₂ の傾きは負、a₂<x<a₃ の傾きは正です。よって最小を取るのは x=a₂ の一点です。

w₁ と w₃ が同時に W/2 以上になることはありません。同時にそうなると w₁+w₃≥W となり、w₂>0 に反します。だから上の五つの場合に重なりはなく、すべての場合を尽くしています。

具体例は W=8 で、w₁=5>4=W/2 です。よって最小を取るのは x=a₁=1 の一点です。

f(1) = 5・0+2・3+1・6
     = 0+6+6
     = 12

他の折れ目でも確かめます。f(4)=5・3+2・0+1・3=18、f(7)=5・6+2・3+0=36 で、x=1 の 12 が最も小さいことがわかります。答えは x=1 で最小値 12 です。

この例題の結果は、重み付き中央値の考え方そのものです。左側の重みの合計が W/2 を超えない範囲で最も右の点、あるいは右側の重みの合計が W/2 を超えない範囲で最も左の点が最小点になります。三つの定点では、重みの大きな点が全体の半分以上を占めると、その点が答えを引き寄せます。半分を占める重みがなければ、中央の定点が答えになります。

よくある誤り

誤り1 絶対値の中の係数を折れ目の位置と読む

|2x-3| の折れ目を x=3 と書いてしまう答案があります。|2x-3| が 0 になるのは 2x-3=0、つまり x=3/2 です。しかも |2x-3| = 2|x-3/2| なので、定点 3/2 にかかる重みは 2 です。折れ目の位置と重みの両方を取り違えると、傾きの計算がすべてずれます。絶対値の中の x の係数は、外に出して重みに直してから使います。

誤り2 真ん中の折れ目を最小と決める

折れ目が三つあれば真ん中が最小になる、と覚えてしまうと、重みが偏った問題で破綻します。5|x|+|x-1|+|x-2| を考えます。傾きは左から -7、+3、+5、+7 で、x=0 の前後で負から正に変わります。最小を取るのは x=0 で、値は 0+1+2=3 です。真ん中の x=1 では 5+0+1=6 で、最小ではありません。

図3のように、重みの大きい点が答えを引き寄せます。折れ目の数ではなく、重みを含めた傾きの符号で最小点を決めます。

誤り3 傾き0の区間で端点だけを答える

3|x-2|+|x-5|+2|x-8| の最小を x=2 のとき 15 とだけ書くと、5 までの点を取りこぼします。2<x<5 では傾きが 0 で、g(x)=15 が続きます。答えは 2≤x≤5 の全体です。区間で答えるときは、両端の値を代入して一致を確かめ、不等式で範囲を書きます。

誤り4 重みが正であることを確かめない

重みに 0 や負の数が混ざると、傾きが 2w ずつ増えるという前提が崩れます。w=0 ならその折れ目は消え、w<0 なら f は下に限りなく小さくなって最小値がありません。問題文の重みが正かを最初に読み、正でなければ場合分けをやり直します。

練習問題

次の五問を解いてください。答えはこの節の後にまとめてあります。

1. f(x)=|x-2|+2|x-5|+3|x-9| の最小値と、最小を取る x の範囲を求めよ。
2. g(x)=2|x+1|+3|x-2|+|x-4| の最小値と、最小を取る x を求めよ。
3. h(x)=|x-2|+w|x-4|+2|x-9|、w>0 とする。最小値と最小を取る x を w の場合分けで求めよ。
4. k(x)=|3x-6|+|x-1|+2|x-4| の最小値と、最小を取る x を求めよ。
5. m(x)=p|x|+4|x-3|+|x-10|、p>0 とする。最小値と最小を取る x を p の場合分けで求めよ。

解答

1. 折れ目は 2、5、9、重みは 1、2、3、合計 W=6 です。

x<2   : f(x) = -(x-2)-2(x-5)-3(x-9) = -6x+39
2<x<5 : f(x) = (x-2)-2(x-5)-3(x-9) = -4x+35
5<x<9 : f(x) = (x-2)+2(x-5)-3(x-9) = 15
9<x   : f(x) = (x-2)+2(x-5)+3(x-9) = 6x-39

傾きは -6、-4、0、6 です。5 の前後で 0 になり、9 の後で正なので、5≤x≤9 の全体で最小値 15 を取ります。f(5)=3+0+12=15、f(9)=7+8+0=15 で端点も一致します。

2. 折れ目は -1、2、4、重みは 2、3、1、合計 W=6 です。

x<-1  : g(x) = -2(x+1)-3(x-2)-(x-4) = -6x+8
-1<x<2: g(x) = 2(x+1)-3(x-2)-(x-4) = -2x+12
2<x<4 : g(x) = 2(x+1)+3(x-2)-(x-4) = 4x
4<x   : g(x) = 2(x+1)+3(x-2)+(x-4) = 6x-8

傾きは -6、-2、4、6 です。2 の前後で負から正に変わるので、x=2 で最小値 g(2)=2・3+0+2=8 を取ります。g(0)=2+6+4=12 より小さいことも確かめられます。

3. 折れ目は 2、4、9、重みは 1、w、2、合計 W=w+3 です。

x<2   : h(x) = -(x-2)-w(x-4)-2(x-9) = -(3+w)x+(20+4w)
2<x<4 : h(x) = (x-2)-w(x-4)-2(x-9) = -(1+w)x+(16+4w)
4<x<9 : h(x) = (x-2)+w(x-4)-2(x-9) = (w-1)x+(16-4w)
9<x   : h(x) = (x-2)+w(x-4)+2(x-9) = (3+w)x-(20+4w)

傾きは -(3+w)、-(1+w)、w-1、w+3 です。-(3+w) と -(1+w) は負、w+3 は正なので、変わるのは w-1 の符号だけです。

0<w<1 のとき w-1<0 で、傾きは 9 の前後で負から正に変わるので、x=9 で最小値 7+5w を取ります。h(9)=7+5w+0=7+5w です。

w=1 のとき w-1=0 で、4<x<9 の傾きが 0 です。h(4)=2+0+10=12、h(9)=7+5+0=12 が一致するので、4≤x≤9 の全体で最小値 12 を取ります。

w>1 のとき w-1>0 で、傾きは 4 の前後で負から正に変わるので、x=4 で最小値 12 を取ります。h(4)=2+0+10=12 です。

4. k(x)=|3x-6|+|x-1|+2|x-4| = 3|x-2|+|x-1|+2|x-4| と直します。折れ目は 1、2、4、重みは 1、3、2、合計 W=6 です。

x<1   : k(x) = -(x-1)-3(x-2)-2(x-4) = -6x+15
1<x<2 : k(x) = (x-1)-3(x-2)-2(x-4) = -4x+13
2<x<4 : k(x) = (x-1)+3(x-2)-2(x-4) = 2x+1
4<x   : k(x) = (x-1)+3(x-2)+2(x-4) = 6x-15

傾きは -6、-4、2、6 です。2 の前後で負から正に変わるので、x=2 で最小値 5 を取ります。k(2)=0+1+4=5 です。各折れ目では k(1)=3+0+6=9、k(4)=6+3+0=9 で、x=2 の 5 が最も小さいことがわかります。

5. 折れ目は 0、3、10、重みは p、4、1、合計 W=p+5 です。

x<0    : m(x) = -px-4(x-3)-(x-10) = -(p+5)x+22
0<x<3  : m(x) = px-4(x-3)-(x-10) = (p-5)x+22
3<x<10 : m(x) = px+4(x-3)-(x-10) = (p+3)x-2
10<x   : m(x) = px+4(x-3)+(x-10) = (p+5)x-22

傾きは -(p+5)、p-5、p+3、p+5 です。-(p+5) は負、p+3 と p+5 は正なので、変わるのは p-5 の符号だけです。

0<p<5 のとき p-5<0 で、傾きは 3 の前後で負から正に変わるので、x=3 で最小値 3p+7 を取ります。m(3)=3p+0+7=3p+7 です。

p=5 のとき p-5=0 で、0<x<3 の傾きが 0 です。m(0)=0+12+10=22、m(3)=15+0+7=22 が一致するので、0≤x≤3 の全体で最小値 22 を取ります。

p>5 のとき p-5>0 で、傾きは 0 の前後で負から正に変わるので、x=0 で最小値 22 を取ります。m(0)=0+12+10=22 です。

覚えておくこと

• 折れ目では傾きが 2w ずつ増える。左端の傾きは -W、右端の傾きは W。
• 傾きが負から正へ変わる折れ目が最小点。傾き 0 の区間は全体が最小になる。
• 最小を取る範囲は不等式で答える。区間の両端の値が一致することを代入で確かめる。
• |kx-b| は |k|・|x-b/k| と直す。b/k が折れ目で、|k| が重みになる。
• 重みが正であることを先に確かめる。0 や負が混ざれば同じ議論は使えない。

つまずきの見分け方

折れ目の位置でつまずいているかは、|2x-6| を出して「折れ目はどこか」と聞けばわかります。x=6 と答えたら、絶対値の中を 0 にする x を書かせます。2x-6=0 から x=3 が出れば、位置の読み方は直っています。重みについても、同じ式で「3 にかかる重みはいくつか」と聞き、2 と答えられるかを確かめます。

傾きの計算でつまずいているかは、傾きの表を書かせて見分けます。左端を -W と書き、折れ目ごとに +2w を足す一行ずつが並んでいるかを確認します。表の値が合わないときは、絶対値を外した一次式を一つ書かせ、x の係数を読ませます。

符号の読み違いは、傾きの表の下に「減る」「増える」を書き込ませると見つかります。負から正に変わるところに印を付けさせ、その折れ目が答えだと説明できるかを見ます。

答えの形の取りこぼしは、最小を取る点が一点か区間かを聞いて確かめます。区間と答えたときは、両端の値を代入して同じ値になるかを計算させます。一点と答えたときは、その点の前後で傾きの符号が変わるかを説明させます。

前提の確認は、問題文の重みを指して「すべて正か」と聞きます。正でない重みが混ざる問題では、傾きの増加が 2w にならないことまで言えれば十分です。

個別指導では、5|x|+|x-1|+|x-2| を黒板に書き、真ん中の x=1 が最小でない理由を、傾きの表を指しながら説明させます。説明が折れ目の位置だけに終わるなら、重みが傾きに効くことが結びついていません。最小を取る点は、折れ目の位置ではなく、傾きの符号が変わる場所にあります。