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大学入試数学領域における分数式の値域—分母の符号を確かめ直線の傾きとして評価する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.15更新 2026.11.15武蔵野個別指導塾の特徴大学入試数学不等式と最大・最小

分母の式が正と決まる領域では、分数式を固定点からの直線の傾きに読み替えられます。最大と最小を取る頂点を決め、分母が零になる辺を外したときの分数式の値域です。

よくあるのは、連立不等式が表す領域と分数式が与えられ、その値域を求める場面です。分母を払えば一次式の条件になりそうだと見て、そのまま両辺に分母を掛け、頂点の値を小さい順に並べて区間を書く。答案の出だしは正しいのに、最後の区間だけがずれる。ずれの原因は計算ではなく、掛けた分母が領域の中で正なのか負なのかを確かめていないことにあります。分数式の値域は、分母の符号を先に決めると、固定した点から領域へ引いた直線の傾きの範囲として読めます。

分数式の値域が問われる形

連立不等式が表す領域 R と、二つの一次式の比で書かれた式が与えられ、その値域を求める問題があります。目的式は k = (y − b)/(x − a) の形か、分子と分母がともに x と y の一次式である形です。問われるのは k が動く範囲だけでなく、最大値や最小値が存在するか、存在するならどの点で取るかまで含みます。

使う道具は、連立不等式の表す領域、境界の辺と頂点、一次式の符号、そして傾きです。微分は必要ありません。領域は境界を含む閉じた多角形とし、分母が零になる点は定義域から外して考えます。答えは不等式で範囲を書き、等号を取る点を添える形にします。最大値が存在しない場合は、その旨を明記します。

見方は二つあります。分母が x − a の形なら、k は点 P(a,b) から領域内の点へ引いた直線の傾きです。分子も分母も一般の一次式なら、両者が同時に零になる点を求めると、同じ傾きの見方に帰着します。どちらの見方でも、最初に確かめるのは分母の符号が領域で一定かどうかです。

分母の符号を先に決め、傾きとして読む

領域 R 上の点 (x,y) に対して k = (y − b)/(x − a) を考えます。分母を L = x − a、分子を N = y − b とおきます。k の値域とは、R の点のうち L が零でないすべての点を動かしたときの k の値の集合です。定義域は R から L = 0 の点を除いたものになります。

最初に L の符号を調べます。L は x の一次式なので、R の頂点での値の最大値と最小値が、そのまま R 全体での最大値と最小値になります。すべての頂点で L が正なら R 全体で L > 0、すべての頂点で負なら R 全体で L < 0 です。頂点で符号が混ざるなら、L = 0 の直線が領域を横切り、k はそこで定義できません。

L > 0 とわかったら、k と実数 c の大小は分母を払って調べられます。L > 0 なので、k ≧ c と N − cL ≧ 0 は同値です。N − cL は x と y の一次式ですから、その符号も頂点での値で決まります。L < 0 のときは、k ≧ c と N − cL ≦ 0 が同値になります。符号を確かめずに掛けると、この向きが逆になることが誤りの出発点です。

幾何的には、k は点 P(a,b) から点 (x,y) へ引いた直線の傾きです。k の値が c である点は、P を通る傾き c の直線 y − b = c(x − a) の上にあります。したがって値域は、P を通る直線が R と共有点を持つような傾きの集合です。直線を P のまわりに回し、R に触れる範囲を調べるイメージになります。

最大値や最小値の候補は、領域の内部にはありません。k が定数でないとき、R の内部の点 Q で k が最大になったとします。Q を通る等値線は P も通る直線で、Q の近くではその両側に R の点があります。L > 0 の側では N − kL の符号が変わるため、片側の点では k より大きく、反対側では k より小さくなります。これは Q が最大であることに反します。同じ理由で最小も内部にはありません。

境界の各辺では、k は一変数の分数一次式になります。辺を (x,y) = (x₀,y₀) + t(d,e) と表すと、k = (α + βt)/(γ + δt) の形です。この形は t について単調か、一定です。したがって辺の上の候補は両端の頂点だけで、辺全体で値が同じ場合は両端も同じ値になります。この最後の場合を辺上同値と呼びます。等値線が辺と重なるときに起こります。

辺上同値は、最大や最小が一点でなく辺全体で達成される場合です。答えに辺全体と書くか、代表する頂点を一つ書くかは、問題の指示に合わせます。値域としては同じ一つの値です。辺の傾きと極の位置が重なる場合にだけ起こると考えると、見落としを減らせます。

分母が零になる点は定義域から外れます。境界に L = 0 の辺があれば、その辺の点は達成点に使えません。近づいたときの k が有限の値に収まるのか、いくらでも大きくなるのかで答え方が変わります。L の符号が領域の中で変わる場合は、k は L = 0 をまたいで連続でなくなり、値域は一つの区間になりません。そのときは L の符号で領域を二つに分け、それぞれで値域を求めてから合わせます。

図1のように、極 P、分母が零になる直線、領域 R、傾き k の直線を並べておくと、どの点で分母の符号が決まるのかが見えます。

図1では、領域が分母零の線の右側にあり、領域内のどの点でも分母は正です。この配置なら、傾きの大小をそのまま k の大小として読めます。

基本例題：極から引いた二本の直線で上下を決める

連立不等式 x ≧ 0、y ≧ 0、x + y ≦ 3 の表す領域を R とします。R 上の点 (x,y) に対して k = (y + 2)/(x + 1) の値域を求め、最大値と最小値を与える点を求めます。

分母は x + 1 です。R では x ≧ 0 なので x + 1 ≧ 1 となり、分母はつねに正です。したがって分母を払っても不等号の向きは変わりません。この確認を答案の最初に置きます。

まず k ≧ 1/2 を示します。差をとると

k - 1/2 = (2(y + 2) - (x + 1))/(2(x + 1))
        = (2y - x + 3)/(2(x + 1))

となります。R では y ≧ 0 かつ x ≦ 3 なので、2y − x + 3 = 2y + (3 − x) ≧ 0 です。分母は正なので k ≧ 1/2 が成り立ちます。等号は y = 0 かつ x = 3、つまり点 (3,0) で成立します。

次に k ≦ 5 を示します。5 との差は

5 - k = (5(x + 1) - (y + 2))/(x + 1)
      = (5x + 3 - y)/(x + 1)

です。R では x ≧ 0 かつ y ≦ 3 なので、5x + 3 − y = 5x + (3 − y) ≧ 0 です。よって k ≦ 5 で、等号は x = 0 かつ y = 3、つまり点 (0,3) で成立します。

上下の評価から、k は 1/2 以上 5 以下です。この範囲の値がすべて実際に取れることを、辺の上で確かめます。辺 x = 0 では k = y + 2 で、y が 0 から 3 まで動くと k は 2 から 5 までを動きます。辺 y = 0 では k = 2/(x + 1) で、x が 0 から 3 まで動くと k は 2 から 1/2 までを動きます。二つの辺を合わせると 1/2 から 5 までのすべての値が現れます。

したがって値域は 1/2 ≦ k ≦ 5 です。最大値 5 は点 (0,3) で、最小値 1/2 は点 (3,0) で取ります。

図2のように、この k は点 P(-1,-2) から R の点へ引いた直線の傾きです。上側の限界は P と (0,3) を結ぶ直線、下側の限界は P と (3,0) を結ぶ直線になります。二本の直線の間の傾きはすべて R のどこかで実現し、それを上の辺の計算が具体的に示しています。

答えを元の式に戻して確かめます。(3,0) では (0 + 2)/(3 + 1) = 1/2、(0,3) では (3 + 2)/(0 + 1) = 5 で、どちらも求めた値と一致します。

標準と発展の例題

ここからは、分母の符号が一定のまま、領域の形と目的式を変えた三題を扱います。どの題でも、最初に分母の符号を決め、次に差の一次式で上下を押さえ、最後に値を取る点を作る順で進めます。

標準例題：辺が極を通ると値が動かない

連立不等式 1 ≦ x ≦ 2、1 ≦ y ≦ x の表す領域を R とします。R 上で k = y/x の値域を求め、最大値と最小値を与える点を求めます。

分母は x で、R では x ≧ 1 なので正です。k は原点 O から R の点へ引いた直線の傾きです。原点は R の外にあり、分母が零になる心配はありません。

上側は k ≦ 1 です。これは y ≦ x と同じで、R の定義そのものが 1 ≦ y ≦ x なので、R のすべての点で成り立ちます。等号は y = x の辺、つまり 1 ≦ x ≦ 2 の線分全体で成立します。

下側は k ≧ 1/2 です。k − 1/2 = (2y − x)/(2x) で、R では y ≧ 1 かつ x ≦ 2 なので、2y − x ≧ 2 − 2 = 0 です。よって k ≧ 1/2 で、等号は y = 1 かつ x = 2、つまり点 (2,1) で成立します。

値域の覆いを確かめます。辺 x = 2 では k = y/2 で、y が 1 から 2 まで動くと k は 1/2 から 1 までを動きます。したがって 1/2 ≦ k ≦ 1 のすべての値が取れます。

答えは、値域 1/2 ≦ k ≦ 1、最小値 1/2 は (2,1)、最大値 1 は辺 y = x のすべての点 (1 ≦ x ≦ 2) です。値 1 の等値線 y = x が領域の辺と重なっているため、最大が一点でなく辺全体で達成されます。頂点だけを見て最大を (2,2) の 1 と書いても値は合いますが、辺全体で取ることを答案に残すと、等号の確認まで書いた答案になります。

やや難の例題：分母が零になる辺を外す

連立不等式 x ≧ 0、y ≧ 0、x + 2y ≦ 4 の表す領域を R とします。R 上で k = y/x を考えます。ただし分母が零になる点は除きます。k の値域を求め、最大値と最小値についても求めます。

分母 x は、R の辺 x = 0、0 ≦ y ≦ 2 の上で零になります。この辺は R に含まれますが、k の定義域には含まれません。まずこの除外を確定させます。定義域では x > 0 です。

y ≧ 0 なので k ≧ 0 です。k = 0 は y = 0 かつ x > 0 の点、たとえば (4,0) で取ります。

上に押さえられるかを見ます。y を 0 より大きく 2 より小さい値に固定します。たとえば y = 1 とすると、x は 0 より大きく 2 以下で動けます。x を 0 に近づけると k = 1/x はいくらでも大きくなります。よって k に上限はなく、最大値は存在しません。

すべての値が取れることを示します。実数 t ≧ 0 を一つ取ります。x = 4/(1 + 2t)、y = 4t/(1 + 2t) とおくと、x > 0、y ≧ 0 で、x + 2y = 4(1 + 2t)/(1 + 2t) = 4 です。この点で k = y/x = t になります。

答えは、値域 k ≧ 0、つまり 0 以上のすべての実数です。最小値 0 は y = 0、0 < x ≦ 4 の各点で取り、最大値は存在しません。分母零の辺を除いたことで、値域の下端は残り、上端は無限に開きます。除外した辺の上では k の値そのものが定義されないため、その辺を達成点として書くことはできません。

難の例題：分子も分母も一次式の比を傾きに直す

0 ≦ x ≦ 2、0 ≦ y ≦ 2 の表す正方形を R とします。R 上で k = (x + y)/(x − y + 3) の値域を求め、最大値と最小値を与える点を求めます。

分母 L = x − y + 3 の符号を先に調べます。R では x ≧ 0、y ≦ 2 なので、L ≧ 0 − 2 + 3 = 1 > 0 です。符号は一定で正です。

下側は k ≧ 0 です。分子 x + y ≧ 0、分母 L > 0 なので成り立ちます。等号は x = 0 かつ y = 0、つまり (0,0) で成立します。

上側は k ≦ 2 です。L > 0 なので、k ≦ 2 は x + y ≦ 2(x − y + 3) と同じです。右辺を左辺へ移すと

0 ≦ 2x - 2y + 6 - x - y
  = x - 3y + 6

です。R では x ≧ 0、y ≦ 2 なので、x − 3y + 6 ≧ 0 − 6 + 6 = 0 が成り立ちます。等号は x = 0 かつ y = 2、つまり (0,2) で成立します。

値域の覆いを確かめます。辺 x = 0 では k = y/(3 − y) です。y が 0 から 2 まで動くと、この値は 0 から 2 まで単調に増えます。よって 0 ≦ k ≦ 2 のすべての値が取れます。

答えは、値域 0 ≦ k ≦ 2、最小値 0 は (0,0)、最大値 2 は (0,2) です。別解として、分子と分母が同時に零になる点を求めると (x,y) = (-3/2,3/2) になります。この点を P とし、X = x + 3/2、Y = y − 3/2 とおくと、k = (X + Y)/(X − Y) となります。正方形では X ≧ 3/2 > 0 なので、m = Y/X とおくと k = (1 + m)/(1 − m) です。m は P から見た傾きで、正方形の角で -1 から 1/3 まで動きます。k は m について増加するので、k も 0 から 2 まで動きます。

この別解が示すのは、分子も分母も一次式なら、両者が同時に零になる点を極として傾きの問題に戻せることです。答案では符号を確かめて差の一次式で押さえる方法が短く、別解は見通しの確認に使えます。

よくある誤り：符号を確かめず頂点の値を並べる

-2 ≦ x ≦ 2、1 ≦ y ≦ 2 の表す長方形を R とします。R 上で k = y/x の値域を求める問題を考えます。この領域は分母が零になる線を内部に含むため、前の三題とは場合が違います。

誤答は次のようなものです。頂点 (-2,1)、(-2,2)、(2,1)、(2,2) で k を計算すると -1/2、-1、1/2、1 になります。小さい順に並べて最小値 -1、最大値 1、値域は -1 ≦ k ≦ 1 とする。頂点の計算自体は正しいのに、この値域は二重に間違っています。

まず、k = 0 はこの領域で取れません。y は 1 以上なので y/x が 0 になることはありません。次に、k = 2 は取れます。点 (1/2,1) は長方形に入り、k = 1/(1/2) = 2 です。誤答の区間は、取れない値を含み、取れる値を外しています。

破綻の条件は、分母 x が領域の中で符号を変えることです。この長方形は x = -2 から x = 2 まで動き、x = 0 の線分 1 ≦ y ≦ 2 で分母が零になります。分母の符号が一定でないので、頂点の値だけを並べる根拠が崩れます。k は x = 0 をまたぐときに連続でなく、値域は一つの区間になりません。

直し方は、分母の符号で領域を二つに分けることです。x > 0 の部分では k > 0 で、k ≧ 1/2 が成り立ちます。実際 y ≧ 1、x ≦ 2 から y/x ≧ 1/2 です。等号は (2,1) です。さらに k ≧ 1/2 のすべての値は、点 (1/k,1) で取れます。1/k は 0 より大きく 2 以下です。

x < 0 の部分では k < 0 で、k ≦ -1/2 が成り立ちます。y ≧ 1、|x| ≦ 2 から y/|x| ≧ 1/2 で、符号を付けて k ≦ -1/2 です。等号は (-2,1) です。k ≦ -1/2 のすべての値は、点 (1/k,1) で取れます。1/k は -2 以上 0 未満です。

x = 0 の線分は分母が零なので定義域から外れ、そこでは値が定まりません。近づくといくらでも大きくなるため、達成点にもできません。図3のように、長方形を分母零の線で二つに分けると、左右で別々の半直線になることが見えます。

答えは、値域 k ≦ -1/2 または k ≧ 1/2 です。最大値も最小値も存在しません。

練習問題

次の五問を、まず自分で解いてみてください。答えと解き方はその後にまとめます。

連立不等式 x ≧ 0、y ≧ 0、x + y ≦ 5 の表す領域で、k = (y + 1)/(x + 2) の値域を求めなさい。最大値と最小値を与える点も求めなさい。
四つの点 (1,0)、(4,0)、(5,2)、(2,2) を頂点とする平行四辺形の周および内部を R とします。R 上で k = y/x の値域を求め、最小値を与える点の全体を求めなさい。
連立不等式 x ≧ 0、y ≧ 0、2x + y ≦ 6 の表す領域で、k = x/y を考えます。分母が零になる点は除きます。k の値域を求め、最大値と最小値の有無を求めなさい。
0 ≦ x ≦ 3、0 ≦ y ≦ 3 の表す正方形で、k = (x + y)/(x − 2y + 6) の値域を求めなさい。最大値と最小値の有無も求めなさい。
連立不等式 x ≧ 0、y ≧ 0、x + y ≦ 2 の表す領域で、k = (2x − y + 1)/(x + y + 2) の値域を求め、最大値と最小値を与える点を求めなさい。

解答と解き方

解答1。分母 x + 2 は x ≧ 0 より 2 以上で、正です。k ≧ 1/7 を示すと、k − 1/7 = (7(y + 1) − (x + 2))/(7(x + 2)) = (7y − x + 5)/(7(x + 2)) です。7y ≧ 0、5 − x ≧ 0 なので分子は 0 以上です。等号は y = 0、x = 5、点 (5,0) です。k ≦ 3 を示すと、3 − k = (3(x + 2) − (y + 1))/(x + 2) = (3x + 5 − y)/(x + 2) です。3x ≧ 0、5 − y ≧ 0 なので分子は 0 以上です。等号は x = 0、y = 5、点 (0,5) です。覆いは、辺 x = 0 で k = (y + 1)/2 が 1/2 から 3 まで、辺 y = 0 で k = 1/(x + 2) が 1/7 から 1/2 まで動くことから確かめられます。答えは 1/7 ≦ k ≦ 3、最大値 3 は (0,5)、最小値 1/7 は (5,0) です。

解答2。四つの頂点はこの順に凸の平行四辺形を作り、x は 1 以上 5 以下なので分母 x は正です。k ≦ 1 は y ≦ x と同じです。辺ごとに確かめると、辺 (1,0)-(2,2) は y = 2(x − 1) で、1 ≦ x ≦ 2 のとき 2(x − 1) ≦ x は x ≦ 2 と同じで成り立ちます。辺 (2,2)-(5,2) は y = 2 ≦ x で成り立ちます。辺 (4,0)-(5,2) は y = 2(x − 4) で、4 ≦ x ≦ 5 のとき 2(x − 4) ≦ x は x ≦ 8 と同じで成り立ちます。辺 (1,0)-(4,0) は y = 0 で成り立ちます。等号は (2,2) です。k ≧ 0 は y ≧ 0 と x > 0 から成り立ち、等号は y = 0 の辺、つまり (x,0)、1 ≦ x ≦ 4 の全体です。覆いは、辺 (1,0)-(2,2) を (x,y) = (1 + t,2t)、0 ≦ t ≦ 1 とおくと k = 2t/(1 + t) で、t が 0 から 1 まで動くと k は 0 から 1 まで単調に増えることから確かめられます。答えは 0 ≦ k ≦ 1、最小値 0 は辺 y = 0、1 ≦ x ≦ 4 のすべての点、最大値 1 は (2,2) です。

解答3。分母 y は y = 0 の辺、0 ≦ x ≦ 3 で零になるので、この辺を除きます。定義域では y > 0 です。x ≧ 0 なので k ≧ 0 で、k = 0 は x = 0、0 < y ≦ 6 の各点で取れます。上に抑えられないことは、x = 2 と固定して y を 0 に近づけると、k = 2/y がいくらでも大きくなることからわかります。よって最大値はありません。すべての値は、t ≧ 0 に対して y = 6/(2t + 1)、x = 6t/(2t + 1) とおくと、x ≧ 0、y > 0、2x + y = 6 で、k = x/y = t となることから確かめられます。答えは値域 k ≧ 0、最小値 0 は x = 0、0 < y ≦ 6 の各点、最大値なしです。

解答4。分母 x − 2y + 6 は、x ≧ 0、y ≦ 3 より 0 − 6 + 6 = 0 以上です。等号は x = 0 かつ y = 3、点 (0,3) のみです。この点は分母が零なので定義域から外れ、それ以外では分母は正です。k ≧ 0 は分子 x + y ≧ 0 と分母 > 0 から成り立ち、k = 0 は (0,0) です。最大がないことは、点 (0,3 − t)、0 < t ≦ 3 で、分母が 2t、分子が 3 − t、k = (3 − t)/(2t) となり、t を 0 に近づけるといくらでも大きくなることからわかります。すべての値は、t ≧ 0 に対して x = 0、y = 6t/(1 + 2t) とおくと、0 ≦ y < 3、分母は 6/(1 + 2t) > 0、k = t となることから確かめられます。答えは値域 k ≧ 0、最小値 0 は (0,0)、最大値なしです。

解答5。分母 x + y + 2 は 2 以上で正です。k ≧ -1/4 を示すと、k + 1/4 = (4(2x − y + 1) + (x + y + 2))/(4(x + y + 2)) = 3(3x − y + 2)/(4(x + y + 2)) です。x ≧ 0、y ≦ 2 より 3x − y + 2 ≧ 0 − 2 + 2 = 0 で、等号は x = 0、y = 2、点 (0,2) です。k ≦ 5/4 を示すと、5/4 − k = (5(x + y + 2) − 4(2x − y + 1))/(4(x + y + 2)) = 3(3y + 2 − x)/(4(x + y + 2)) です。x ≦ 2 − y より 3y + 2 − x ≧ 3y + 2 − (2 − y) = 4y ≧ 0 で、等号は y = 0、x = 2、点 (2,0) です。覆いは、辺 x = 0 で k = (-y + 1)/(y + 2) = -1 + 3/(y + 2) が 1/2 から -1/4 まで、辺 y = 0 で k = (2x + 1)/(x + 2) = 2 − 3/(x + 2) が 1/2 から 5/4 まで動くことから確かめられます。答えは -1/4 ≦ k ≦ 5/4、最小値 -1/4 は (0,2)、最大値 5/4 は (2,0) です。