大学入試数学 最大確率と箱の構成—整数で動く個数の制約を守って最適な配分を探す｜武蔵野個別指導塾

赤と青の札を合わせて9枚とし、2枚引いて赤がちょうど1枚になる確率を最大にする枚数を、実数の頂点ではなく整数の候補から決め、同率や上限のある場合まで見通して箱の構成を選ぶ。

赤と青の内訳を決める場面

文化祭の抽選で、赤札と青札を合わせて9枚の箱を作り、2枚を同時に引いて赤がちょうど1枚なら当たり、という景品の決め方を考えます。箱に入れる赤札の枚数は係が決められますが、青札の枚数はその残りです。赤を増やせば赤が出やすくなるとは限らず、引きすぎると今度は青が減って、赤1枚と青1枚という組が作れなくなります。合計枚数を変えずに二色の内訳だけを動かしたとき、狙った枚数の組が出る確率がどこで最大になるかを探すのが、この題材の中心です。

問われ方は大きく三つに分かれます。第一は、合計と引く枚数、狙う赤の枚数が決まっていて、赤を何枚にすればよいかを問う形です。第二は、最大になる赤の枚数が2通りあるのはどんなときか、という形です。第三は、赤の枚数に上限や下限があり、その範囲の中で最善を選ぶ形です。どれも、確率の式を作って終わりではなく、実際に選べる整数の枚数まで落とし込めるかが見られます。

よくあるのは、確率の式を実数の関数とみなし、平方完成で頂点を求めて「赤4.5枚のとき最大」と書いてしまう場面です。枚数は整数ですから4.5枚は実現できません。さらに、頂点が整数でないときは前後の整数が同じ確率で並ぶことがあり、片方のみを答えると最大の候補を落とします。式の山の頂点と、実際に選べる整数の点を分けて考えることが、この題材の出発点になります。

場合の数に置き換えて比べる

箱に赤がr枚、青がN-r枚、合わせてN枚入っているとします。この箱からn枚を同時に引くとき、赤がちょうどm枚含まれる確率をP(r)と書きます。引く順番は問題にせず、どのn枚の組も等しい重みで選ばれるとします。全体の場合の数はC(N,n)通りです。赤をちょうどm枚含む組は、赤r枚からm枚を選び、青N-r枚からn-m枚を選んで合わせたものだから、その個数は二つの組合せの積になります。

P(r) = C(r,m)・C(N-r,n-m)/C(N,n)

ここで0≤m≤n≤Nであり、rの範囲はm≤r≤N-n+mです。rがmより小さいと赤をm枚取れず、rがN-n+mより大きいと青をn-m枚取れません。この範囲の外では分子が0になり、確率も0です。式を立てる前に、この範囲を整数で書き出す習慣が、後の候補選びを支えます。

分母のC(N,n)はrを動かしても一定です。ですからP(r)の大小は、分子のF(r)=C(r,m)・C(N-r,n-m)の大小だけで決まります。確率を比べる問題を、場合の数の比較に置き換えられるわけです。ただし、確率の最大値と場合の数の最大値は別の量です。確率の最大値はF(r)の最大値をC(N,n)で割った値であり、F(r)の最大値そのものではありません。この二つを混同すると、最大の場合の数を確率として答える誤りが生じます。

F(r)の増減は、隣どうしの比で調べられます。C(r+1,m)/C(r,m)は(r+1)/(r+1-m)になり、C(N-r-1,n-m)/C(N-r,n-m)は(N-r-n+m)/(N-r)になります。どちらも、組合せの定義から階乗を約分した結果です。したがって

F(r+1)/F(r) = (r+1)(N-r-n+m)/((r+1-m)(N-r))

です。範囲の内部ではF(r)は正ですから、比が1より大きいことはF(r+1)がF(r)より大きいことと同じです。比が1に等しいところでは隣どうしが同じ値になり、最大が二つ並びます。分母と分子が正になる範囲で比をとり、不等式を整理すると、F(r+1)≥F(r)となる条件は

r ≤ m(N+1)/n − 1

になります。右辺をq-1と書けば、q=m(N+1)/nです。つまりFはr=q-1までは増え、そこを過ぎると減る、という形になります。増えてから減るこの形を、ここでは山と呼ぶことにします。山が一つの頂点を持つことは、比の符号がrの増加とともに一度だけ変わることからわかります。

図1のように、横軸に赤の枚数rをとると、場合の数は山の形になります。しかし、山の頂点はいつも整数の上にあるとは限りません。実現できるrの範囲の中で、F(r)が最大になる整数を探します。qが整数でないときは、q以下の最大の整数が候補です。qが整数のときは、q-1とqの二つが同じ高さで並びます。どちらも範囲内にあるかを確かめてから、候補を決めます。

図1では、実現できる範囲を淡い青の帯で示し、山の頂点を赤い破線、整数の候補を緑の点で示しています。緑の二点が同じ高さになる場合と、一方が高い場合があります。どちらになるかは、qが整数かどうかで決まります。

ここで使う道具は、組合せの記号C(n,k)、場合の数の積の法則、そして分数の大小比較です。C(n,k)はn個からk個を選ぶ組の数で、n(n-1)…(n-k+1)/k!とも書けます。比の計算では、C(r+1,m)/C(r,m)=(r+1)/(r+1-m)という約分を使います。階乗を全部展開する必要はありません。約分の根拠は、C(r,m)=r(r-1)…(r-m+1)/m!であることから、rが1増えると分子の因数が一つ増え、分母のm!は変わらないことです。

確率の前提も確認します。引いた札は戻さない非復元抽出であり、各組は同様に確からしいとします。戻す場合には確率の式が変わり、最大の位置も変わります。問題文に「同時に引く」「戻さない」とあれば非復元として扱い、「1枚引いて戻してからもう1枚」とあれば復元として別の式を作ります。復元の場合、n枚のうち赤がm枚になる確率はC(n,m)(r/N)ᵐ(1-r/N)ⁿ⁻ᵐとなり、0<m<nのとき最大の位置はr=mN/nです。非復元のq=m(N+1)/nとは位置がずれるため、この区別を最初に済ませておくと、後の計算がぶれません。

基本例題　赤4枚と5枚で並ぶ場合

赤と青を合わせて9枚の箱から2枚を同時に引くとき、赤がちょうど1枚になる確率を最大にしたい。赤の枚数をいくつにすればよいか。確率が最大になるときの赤の枚数と、その確率を答えなさい。難しさは標準です。

赤の枚数をrとします。全体の場合の数はC(9,2)=36通りです。赤がちょうど1枚になる組の数は、赤r枚から1枚、青9-r枚から1枚を選ぶ積ですから、F(r)=r(9-r)となります。rの範囲は、赤を1枚以上取れることと青を1枚以上取れることから、1≤r≤8です。

F(r)=r(9-r)を平方完成すると、r(9-r)=-(r-9/2)²+81/4となります。放物線の頂点はr=9/2=4.5で、そのときの値は81/4です。しかしrは整数ですから、r=4.5は選べません。そこで頂点の前後の整数であるr=4とr=5を比べます。

r=4のとき、赤4枚から1枚、青5枚から1枚で、F(4)=4・5=20です。r=5のときは赤5枚と青4枚で、F(5)=5・4=20です。隣どうしの比をとると、F(5)/F(4)=20/20=1となり、確かに同じ値です。範囲の端に近いr=3では3・6=18、r=6では6・3=18で、どちらも20より小さいことも確かめられます。

したがって場合の数の最大は20通りで、確率は20/36=5/9です。答えは、赤を4枚にしても5枚にしてもよく、そのときの確率は5/9になります。赤の枚数が2通りあることと、確率の値が1つであることを分けて書くのが大切です。最大の確率は5/9で、最大を与える構成が二つある、という読み方になります。

図2は、r=0から9までのF(r)を棒の高さで表したものです。r=4とr=5の棒が同じ高さ20で並び、そこから離れるほど低くなります。r=0とr=9では赤か青のどちらかしかないため、赤1枚と青1枚の組は作れず0通りです。棒の高さを足し合わせても、C(9,2)=36にはなりません。F(r)は「赤がちょうど1枚になる組の数」を構成ごとに数えたもので、足すと別の量になるためです。ここでは最大の位置と高さだけを読み取ります。

検算として、r=4の箱を具体的に数えます。赤4枚に番号1から4、青5枚に番号5から9を付けます。赤を1枚選ぶ方法は4通り、青を1枚選ぶ方法は5通りで、積の法則から4・5=20通りです。r=5なら5・4=20通りです。全体36通りのうち20通りですから、確率は20/36=5/9です。r=3なら3・6=18通りで18/36=1/2、r=6なら6・3=18通りで1/2となり、20/36より小さいことが確かめられます。

標準例題　3枚引いて赤2枚

赤と青を合わせて10枚の箱から3枚を同時に引くとき、赤がちょうど2枚になる確率を最大にする赤の枚数を求めなさい。そのときの確率も既約分数で答えなさい。難しさはやや難です。

全体の場合の数はC(10,3)=120通りです。赤がちょうど2枚になる組の数は、F(r)=C(r,2)・C(10-r,1)=C(r,2)・(10-r)です。rの範囲は、赤を2枚以上、青を1枚以上取れることから、2≤r≤9です。

F(r)はrについて3次の式になり、平方完成だけで頂点を求めるわけにはいきません。そこで隣どうしの比をとります。

F(r+1)/F(r) = (r+1)(9-r)/((r-1)(10-r))
(r+1)(9-r) ≥ (r-1)(10-r)
8r + 9 - r² ≥ 11r - 10 - r²
19 ≥ 3r
r ≤ 19/3

19/3は6.33…ですから、r=6まではF(r+1)≥F(r)で、r=7以降はF(r+1)<F(r)です。したがってFはr=2からr=7まで増え、r=7からr=9まで減ります。最大はr=7で、F(7)=C(7,2)・3=21・3=63です。確率は63/120=21/40になります。答えは赤7枚、確率21/40です。

表で前後を確かめます。r=2では1・8=8、r=3では3・7=21、r=4では6・6=36、r=5では10・5=50、r=6では15・4=60、r=7では21・3=63、r=8では28・2=56、r=9では36・1=36です。60から63へ増え、63から56へ減るので、r=7が最大です。両端のr=2とr=9がどちらも小さいことも、範囲全体を見た確認になります。

別の見方として、一般則q=m(N+1)/nを使えます。N=10、n=3、m=2ですからq=2・11/3=22/3=7.33…です。qは整数でないので、範囲内でq以下の最大の整数である7が候補になります。この一般則は次の発展例題で導きますが、隣どうしの比を毎回整理する代わりに、qの整数部分を見るだけで候補が決まります。

この例題で注意するのは、q=7.33…を四捨五入して8とするのではなく、q以下の最大の整数を取る点です。比の不等式が「r≤q-1で増える」という形なので、候補はqの整数部分、つまりq以下の最大の整数になります。四捨五入がたまたま一致することもありますが、q=7.6のような場合には8を選んでしまい、正しい候補7を外します。

発展例題　一般のN・n・mと上限のある構成

赤と青を合わせてN枚の箱からn枚を同時に引くとき、赤がちょうどm枚になる確率を最大にする赤の枚数を、N、n、mで表しなさい。また、その枚数が2通りになる条件を述べなさい。難しさは難です。

まず、F(r)=C(r,m)・C(N-r,n-m)の隣どうしの比を整理します。赤の側と青の側を別々に約分し、その積をとります。

F(r+1)/F(r) = (r+1)(N-r-n+m)/((r+1-m)(N-r))
(r+1)(N-r-n+m) ≥ (r+1-m)(N-r)
m(N-r) ≥ (r+1)(n-m)
mN + m - n ≥ nr
r ≤ m(N+1)/n - 1

2行目から3行目では、両辺を展開して共通の項を消しています。左辺から右辺を引いた差がm(N-r)-(r+1)(n-m)であり、これが0以上になる条件を整理すると最終行になります。q=m(N+1)/nとおけば、r≤q-1がF(r+1)≥F(r)の条件です。

この不等式は、rがq-1以下の間はF(r+1)がF(r)以上であり、rがq-1を超えるとF(r+1)がF(r)より小さいことを意味します。したがってFはr=q-1まで増え、そこから減ります。qが整数でないときは、q以下の最大の整数、つまりqの整数部分が最大を与えます。qが整数で、q-1とqがともに範囲内にあるときは、r=q-1とr=qの比が1になり、この二つが同じ最大値を与えます。

ただし、候補が実際に範囲m≤r≤N-n+mに入っているかを確かめます。m=0のときはq=0で、r=0が最大です。m=nのときはq=N+1となり、範囲の上限Nを超えるので、上限のr=Nが最大になります。このように、一般則で出した候補が範囲の外に出たら、範囲の端点で比べ直します。

例として、N=11、n=4、m=2の場合を考えます。q=2・12/4=6で整数ですから、r=5とr=6が同率最大の候補です。F(5)=C(5,2)・C(6,2)=10・15=150、F(6)=C(6,2)・C(5,2)=15・10=150で、確かに同じです。全体はC(11,4)=330通りですから、確率は150/330=5/11です。r=4では6・21=126、r=7では21・6=126で、どちらも150より小さいことも確かめられます。

もう一つの例として、N=10、n=3、m=2の箱に「赤は5枚以下」という上限を付けます。上限がなければ標準例題のとおりr=7が最大でした。上限があると、r=6とr=7は選べません。残る範囲2≤r≤5でFを比べると、F(2)=8、F(3)=21、F(4)=36、F(5)=50で、r=5が最大です。確率は50/120=5/12です。上限の5は範囲の端点であり、一般則の候補7をそのまま答えにすると、実現できない構成を答えることになります。

この二つの例からわかるのは、最大の候補を決める計算と、その候補が実現できるかの確認は別の手順だということです。計算でqの整数部分を出し、範囲と上限・下限に照らし、必要なら端点と比べる。この順序を守れば、整数の制約を外した答えを残しません。

誤答を直す　実数の頂点と整数の候補

誤答の例です。基本例題で、r(9-r)=-(r-9/2)²+81/4という平方完成から、「頂点はr=4.5、最大は81/4通り」と書き、赤を4.5枚にすると答えたとします。この答案には二つの誤りが重なっています。一つは、rが枚数であることを忘れて実数の頂点をそのまま答えにしたことです。もう一つは、81/4を場合の数の最大値と混同したことです。81/4は20.25であり、組の数として数えられる整数ではありません。

正しい最大の場合の数は20通りで、これはr=4とr=5の両方で実現します。確率は20/36=5/9です。実数の関数としての最大値81/4は、整数のrでは実現しない上限にすぎません。上限と、実際に取れる最大値を分けて書く必要があります。

別の誤答として、頂点4.5に近い5のみを選び、「赤5枚のときが最大」と答えるものがあります。r=4でもF(4)=20ですから、これは同率の候補を一つ落としています。頂点が整数でないときは、必ず前後の整数を両方比べます。比が1なら二つとも答えに含め、一方のみを最大と断定しません。

三つ目の誤答は、上限や下限を無視する型です。N=10、n=3、m=2で「赤は5枚以下」という条件があるのに、一般則からr=7を選んでしまいます。r=7は条件の外ですから、その構成は作れません。範囲と上下限を先に書き、候補をその中から選ぶ順序にすれば防げます。

図3は、実数の頂点4.5と、実際に選べる整数の4と5を同じ数直線上に並べたものです。赤い破線は実数の頂点4.5の位置を示し、先端の印はその位置が整数ではないことを表しています。緑の点は赤4枚と赤5枚の構成で、どちらも場合の数は20通りです。実数の頂点は山の形を知る手がかりになりますが、答えとして選ぶのは整数の点のほうです。

この誤りが起こる理由は、平方完成が強力で、つい「頂点が答え」と短絡してしまうからです。平方完成は実数の範囲で最大の位置を教えてくれますが、その位置が整数でなければ、整数の候補に移し替える作業が残ります。移し替えのときに、前後の整数を両方調べ、同じ値なら両方を答える。この一手間が、同率最大を落とさないための鍵になります。

練習問題

次の5問を解いてください。数と場面は本文の例題と変えています。答えはすべての問いの後にまとめてあります。

練習1（標準）　おはじきが赤と青で合わせて8個あります。この中から2個を同時に取り出すとき、赤がちょうど1個になる確率を最大にする赤の個数を求めなさい。そのときの確率も既約分数で答えなさい。

練習2（標準）　色紙が赤と青で合わせて12枚あります。この中から3枚を同時に取り出すとき、赤がちょうど1枚になる確率を最大にする赤の枚数を求めなさい。そのときの確率も既約分数で答えなさい。

練習3（やや難）　碁石が赤と青で合わせて10個あります。この中から4個を同時に取り出すとき、赤がちょうど3個になる確率を最大にする赤の個数を求めなさい。そのときの確率も既約分数で答えなさい。

練習4（やや難）　ビー玉が赤と青で合わせて13個あります。この中から4個を同時に取り出すとき、赤がちょうど2個になる確率を最大にする赤の個数を求めなさい。最大になる個数が複数ある場合はすべて答え、そのときの確率も既約分数で答えなさい。

練習5（難）　折り紙が赤と青で合わせて15枚あります。この中から4枚を同時に取り出すとき、赤がちょうど1枚になる確率を最大にする赤の枚数を求めなさい。ただし、赤の枚数は5枚以上とします。そのときの確率も既約分数で答えなさい。

練習問題の答え

練習1の答えは赤4個、確率4/7です。全体はC(8,2)=28通りで、F(r)=r(8-r)です。平方完成するとr(8-r)=16-(r-4)²となり、頂点はr=4で整数です。F(4)=4・4=16で、確率は16/28=4/7です。r=3では3・5=15、r=5では5・3=15で、16より小さいことを確かめられます。

練習2の答えは赤4枚、確率28/55です。全体はC(12,3)=220通りで、F(r)=r・C(12-r,2)=r(12-r)(11-r)/2です。q=1・13/3=13/3=4.33…ですから、候補はq以下の最大の整数である4です。F(4)=4・C(8,2)=4・28=112で、確率は112/220=28/55です。r=3では3・36=108、r=5では5・21=105で、112より小さいことを確かめられます。

練習3の答えは赤8個、確率8/15です。全体はC(10,4)=210通りで、F(r)=C(r,3)・C(10-r,1)=C(r,3)・(10-r)です。q=3・11/4=33/4=8.25ですから、候補は8です。F(8)=C(8,3)・2=56・2=112で、確率は112/210=8/15です。r=7では35・3=105、r=9では84・1=84で、112より小さいことを確かめられます。

練習4の答えは赤6個または7個、確率63/143です。全体はC(13,4)=715通りで、F(r)=C(r,2)・C(13-r,2)です。q=2・14/4=7で整数ですから、r=6とr=7が同率最大の候補です。F(6)=C(6,2)・C(7,2)=15・21=315、F(7)=21・15=315で、確率は315/715=63/143です。r=5では10・28=280、r=8では28・10=280で、315より小さいことを確かめられます。

練習5の答えは赤5枚、確率40/91です。全体はC(15,4)=1365通りで、F(r)=r・C(15-r,3)です。上限がなければq=1・16/4=4で、r=3とr=4が同率最大になりますが、赤は5枚以上という条件があるため、範囲は5≤r≤12です。この範囲でFを比べると、F(5)=5・C(10,3)=5・120=600、F(6)=6・C(9,3)=6・84=504、F(7)=7・C(8,3)=7・56=392で、r=5が最大です。確率は600/1365=40/91です。

覚えておくこと

• 分母のC(N,n)はrを動かしても一定なので、確率の大小は分子F(r)=C(r,m)・C(N-r,n-m)の大小で比べられる。
• 隣どうしの比F(r+1)/F(r)を1と比べると、Fはr=q-1まで増え、q=m(N+1)/nの整数部分が最大の候補になる。
• qが整数のときは範囲内でq-1とqが同率最大になり、一方のみを答えにすると候補を落とす。
• 候補はm≤r≤N-n+mに入っているかを確かめ、上限や下限があれば端点とも比べる。
• 確率の最大値と場合の数の最大値は別の量であり、実数の頂点の値がそのまま答えになるわけではない。

つまずきの見分け方

頂点を求めた直後に答えを書いてしまう人は、rが整数であることと、最大の場合の数が整数であることを同時に確かめられていません。ノートの上で「rは整数」「F(r)は組の数だから整数」と一行ずつ書かせると、81/4のような値を答えから外せます。

同率を落とす人は、頂点の前後の整数を片方しか計算していません。qが整数かどうかを先に確かめ、整数なら二つの候補を並べて比べる手順を繰り返すと、抜けが減ります。qが整数でない場合でも、qの整数部分とその次の整数を比べれば、候補が一つに絞れたことを説明できます。

上限や下限を無視する人は、式の計算に入る前に範囲を書いていません。問題文を読んだ時点でm≤r≤N-n+mと、追加の条件による上下限をメモし、候補を出すたびにその範囲へ戻す習慣が効きます。範囲の端点は、一般則の候補が範囲の外に出たときの受け皿になります。

確率と場合の数を混同する人は、分母のC(N,n)を最後まで書いていません。F(r)の最大値と、それをC(N,n)で割った値を別の行に分けて書き、答えの欄には確率を既約分数で、場合の数は「通り」を付けて書くと、二つの量を取り違えません。

個別に見るときは、次の三つを順に確かめます。第一に、rの範囲を整数で書けているか。第二に、隣どうしの比の式を立て、1との大小を整理できているか。第三に、出した候補を実際の箱の枚数に戻し、赤と青の合計がNになるかを確かめているか。この三つがそろえば、計算の細部に誤りがあっても、自分で戻って直せます。

答えを書く前に、実現できる整数を順に並べ、隣どうしを比べる。その手順が残れば、箱の色の内訳を変えるたびに、確率の山を同じやり方で描き直せます。