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大学入試数学確率の漸化式と連続模様—末尾の一致を状態として重なる出現を正しく数える｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.15更新 2026.11.15武蔵野個別指導塾の特徴大学入試数学場合の数と確率の発展

硬貨を続けて投げ、同じ並びが重なる位置を末尾の一致から状態に分け、初めて現れるまでの確率を漸化式で追う連続模様です。

同じ並びが重なる場面から

公平な硬貨を10回続けて投げ、HTH という並びが一度でも出る確率を考える場面があります。H は表、T は裏を表します。10回の列には長さ3の窓が8つあり、1つの窓が HTH になる確率は 1/8 です。ここで窓の数をそのまま掛けて 8×(1/8)=1 と書くと、確率が1、つまり必ず出ることになってしまいます。実際に状態を分けて数えると 673/1024 で、1 には届きません。

この行き違いの原因は、窓が重なっていることです。隣り合う窓は2文字を共有し、同じ列が複数の窓にまたがります。共有する文字があるのに、窓どうしを独立な試行として掛け算することはできません。10回という短い列でも、HTH が出ない列は 1024 通りのうち 351 通りあります。

この題材の問いは、大きく三つの形で出てきます。第一は、決めた模様が n 回までに初めて現れる確率を求める形です。第二は、同じ長さの模様なのに現れやすさが違う理由を説明する形です。第三は、途中まで一致した列が、次の1回でどの状態へ移るかを問う形です。どれも、直前までの列を丸ごと覚えるのではなく、末尾が模様の先頭と何文字一致しているかだけを残すと、漸化式で扱えます。

たとえば、4回までに HH が出る確率と、5回までに HT が出る確率を並べて比べる問いでは、どちらも長さ2の模様を同じ手順で追います。数える対象が列ではなく状態に置き換わるだけで、場合分けの量がぐっと減ります。逆に、状態を決めずに列を書き並べようとすると、回数が増えるほど枝の数が倍々に増えて手が止まります。

ここで扱う模様は H と T の二値で、長さは2と3に限ります。無限に投げ続けたときの話や、待つ回数の平均は別の題材に譲り、有限回までに初めて現れる確率を状態の推移だけで追います。

末尾の一致を状態にする

H と T の有限列を模様と呼びます。ここでは長さ2の HH、HT と、長さ3の HTH、HHT、HHH を使います。模様が連続する窓のどこかで初めてそろうことを初出現と呼び、そのときの状態を「出た」と書きます。

状態は、直前までの列の末尾が、模様の先頭から何文字一致しているかで決めます。HH なら、末尾が H なら状態1、末尾が T かまだ投げていなければ状態0です。HTH なら、末尾が H で状態1、末尾が HT で状態2、そろえば「出た」です。状態の番号は、模様の先頭から何文字分そろっているかと同じ数になります。

模様自身の末尾と先頭が重なる部分を末尾の一致と呼びます。HH は末尾の H が先頭の H と重なります。HT は末尾の T が先頭の H と重ならず、一致はありません。HTH は末尾の H が先頭の H と重なります。この一致があるかどうかで、失敗したときに戻る状態が変わります。

図1のように、列の末尾と模様の先頭を照らし合わせると状態が決まります。状態は、次に H と T のどちらが出たらどこへ移るかを決める情報だけを残します。列の長さや、そこに至るまでの順序は状態に含めません。同じ状態からは同じ推移をするので、確率を状態ごとにまとめ、漸化式にできます。

模様の長さを m とすると、各回の後、列は状態0から状態m-1までと「出た」のどれか1つに入ります。これらは同時に起こらないので、それぞれの確率を足すことができ、合計は常に1です。状態を選ぶときの条件は、次の1回でどこへ移るかが状態だけで決まることです。情報を残しすぎると式と場合分けが増え、残さなすぎると戻り先を誤ります。末尾の一致は、この加減を決める境目になります。

漸化式の復習をしておきます。qₙ₊₁=r・qₙ なら qₙ=q₀・rⁿ です。qₙ₊₁=r・qₙ+s なら、qₙ-t=r(qₙ₋₁-t) となる t を求めて等比型に直します。隣り合う2項を含む qₙ=u・qₙ₋₁+v・qₙ₋₂ は、状態の表を1段ずつ進めるか、qₙ に 2ⁿ を掛けた量に置き換えてフィボナッチ型にします。いずれも、初期値を1つか2つ決めてから式を回す点は同じです。

各投げは独立で、表の確率を p、裏の確率を 1-p とします。基本例題では p=1/2、偏りのある例は標準例題の後半で p=2/3 として扱います。確率を状態ごとに分けても、1回ごとの推移は p と 1-p の2つだけで書けます。

基本例題　HH が4回までに出る確率

公平な硬貨を続けて投げます。HH が初めて現れるまでを考え、4回までに現れる確率を分数で求めてください。（標準）

状態0は直前が T またはまだ投げていない状態、状態1は直前が H で HH がまだ出ていない状態、状態2は HH が出た状態です。状態2は吸収状態で、以後どれだけ投げても状態2のままです。

n 回投げた後に状態0、状態1にある確率を、それぞれ aₙ、bₙ とします。最初は a₀=1、b₀=0 です。1回の推移は次の2式で書けます。

aₙ₊₁ = (aₙ + bₙ)/2
bₙ₊₁ = aₙ/2

状態0からは T で状態0、H で状態1へ移ります。状態1からは T で状態0、H で状態2へ移ります。状態0へ来るのは両方の状態から T が出た場合なので第1式、状態1へ来るのは状態0から H が出た場合だけなので第2式です。図2に、この推移と確率をまとめました。

4回までを順に計算します。

a₀ = 1,     b₀ = 0
a₁ = 1/2,   b₁ = 1/2
a₂ = 1/2,   b₂ = 1/4
a₃ = 3/8,   b₃ = 1/4
a₄ = 5/16,  b₄ = 3/16

4回後にまだ HH が出ていない確率は a₄+b₄=5/16+3/16=1/2 です。よって4回までに HH が出る確率は 1-1/2=1/2 です。各段階で aₙ+bₙ と「出た」の確率を足すと1になることも、式の検算になります。たとえば3回後は 3/8+1/4+3/8=1 です。

この計算は、樹形図を状態ごとに束ね直したものと見ることもできます。4回の列を16本の枝に分けて書く代わりに、同じ状態に来た枝をまとめて確率を足しています。状態の数が増えなければ、回数が増えても計算の手間はほとんど変わりません。状態2は吸収状態なので、一度「出た」に入った枝は以後ずっとそこにとどまり、ほかの状態へ戻りません。

答えは 1/2 です。4回の列は 2⁴=16 通りあります。HH を含まない列を書き出すと、TTTT、TTTH、TTHT、THTT、THTH、HTTT、HTTH、HTHT の8通りです。16通りから8通りを除いた8通りが HH を含み、8/16=1/2 で表の値と一致します。

この推移を続けると、qₙ=aₙ+bₙ は qₙ=qₙ₋₁/2+qₙ₋₂/4、q₀=q₁=1 を満たします。fₙ=2ⁿqₙ と置くと fₙ=fₙ₋₁+fₙ₋₂、f₁=2、f₂=3 となり、fₙ はフィボナッチ数 Fₙ₊₂ です。したがって qₙ=Fₙ₊₂/2ⁿ となり、4回では F₆/2⁴=8/16=1/2 です。フィボナッチ漸化式の初期値 f₁=2、f₂=3 は、1回の列2通りと2回の列4通りのうち HH を含まない3通りから来ています。

標準例題　HT との違いを漸化式で見る

同じ公平な硬貨で、HT が n 回までにまだ現れていない確率 qₙ を求めてください。また、現れる確率 1-qₙ を n=3、4、5 で HH と比べてください。（標準）

状態0は直前が T またはまだ投げていない状態、状態1は直前が H の状態、状態2は HT が出た状態です。HTH と違って、H の次に T が出ればそこで終わりです。H の次に H が出たときは、末尾の H がそのまま次の T を待ちます。

a₀=1、b₀=0 から出発し、1回の推移は次の2式です。

aₙ₊₁ = aₙ/2
bₙ₊₁ = (aₙ + bₙ)/2

状態0からは T で状態0、H で状態1へ移ります。状態1からは H で状態1、T で状態2へ移ります。状態1にとどまれるのは H が出たときだけなので、a は毎回半分になります。aₙ=1/2ⁿ です。

qₙ=aₙ+bₙ とすると、bₙ=qₙ₋₁/2 なので qₙ=1/2ⁿ+qₙ₋₁/2 です。q₀=1、q₁=1 から qₙ=(n+1)/2ⁿ と見当をつけ、右辺に代入して確かめます。

qₙ = 1/2ⁿ + (1/2)・n/2ⁿ⁻¹
   = 1/2ⁿ + n/2ⁿ
   = (n+1)/2ⁿ

n=0 では 1、n=1 では 1、n=2 では 3/4 となり、最初の2つの値と合います。q₂=3/4 は、2回の列で HT が出ない3通りを考えても同じです。

この形から、qₙ が n とともに減ることもわかります。qₙ₊₁-qₙ=(n+2)/2ⁿ⁺¹-(n+1)/2ⁿ=-n/2ⁿ⁺¹ なので、n が1以上なら差は負です。したがって、出る確率 1-qₙ は回数を増やすほど大きくなります。当たり前のことに見えますが、式の形から確かめておくと、係数を写し間違えたときに気づけます。

現れる確率 1-qₙ を HH と HT で並べます。

n     2      3      4      5
HH   1/4    3/8    1/2    19/32
HT   1/4    1/2    11/16  13/16

n=2 では同じですが、n=3 以降は HT のほうが大きくなります。状態1からの失敗の仕方が違うためです。HH は H の後に T が出ると状態0に落ち、進んだ1文字を失います。HT は H の後に H が出ても状態1にとどまり、T が出れば成功します。進んだ1文字を保てるぶん、HT のほうが早くそろいます。

漸化式の形にも違いが出ます。HH は qₙ=qₙ₋₁/2+qₙ₋₂/4、HT は qₙ=qₙ₋₁-qₙ₋₂/4 です。同じ長さ2でも、状態1から0へ落ちる確率が違うので、係数の形が変わります。HH の式は前の2時点を足し、HT の式は前の2時点を引きます。この符号の違いが、n が増えたときの差になります。

偏りのある硬貨も同じ道具で扱えます。表の確率 p=2/3、裏の確率 1-p=1/3 とすると、HH の qₙ は qₙ=(1/3)(qₙ₋₁+(2/3)qₙ₋₂) を満たします。q₂=5/9、q₃=11/27、q₄=7/27 となり、4回までに HH が出る確率は 1-7/27=20/27 です。p=2/3 で4回の列を重み付きで全列挙しても 20/27 で一致します。

発展例題　HTH の三つの状態

公平な硬貨で、HTH が5回までに初めて現れる確率を分数で求めてください。（やや難）

状態0は末尾が H でない状態、状態1は末尾が H の状態、状態2は末尾が HT の状態、状態3は HTH が出た状態です。状態3は吸収状態です。aₙ、bₙ、cₙ を状態0、1、2にある確率とし、a₀=1、b₀=c₀=0 から出発します。

推移は次の3式です。

aₙ₊₁ = (aₙ + cₙ)/2
bₙ₊₁ = (aₙ + bₙ)/2
cₙ₊₁ = bₙ/2

状態0へは、状態0と状態2から T が出た場合に来ます。状態1へは、状態0と状態1から H が出た場合に来ます。状態2へは、状態1から T が出た場合に来ます。状態2から H が出れば状態3です。状態の数が模様の長さと同じ3つになり、吸収状態を1つ加えた形です。

5回までを表にします。

n   aₙ      bₙ      cₙ      出た
0   1       0       0       0
1   1/2     1/2     0       0
2   1/4     1/2     1/4     0
3   1/4     3/8     1/4     1/8
4   1/4     5/16    3/16    1/4
5   7/32    9/32    5/32    11/32

5回後にまだ出ていない確率は 7/32+9/32+5/32=21/32 です。よって5回までに出る確率は 1-21/32=11/32 です。32通りの列を全列挙すると、HTH を含む列は11通りで一致します。

表の各行で、aₙ+bₙ+cₙ と「出た」を足すと1になります。n=3 の行は 8/32+12/32+8/32+4/32=32/32 です。この検算を1行ずつ行うと、推移の式で係数が入れ替わっている誤りや、状態2から状態0へ戻る確率を落とす誤りに気づけます。

HTH の末尾の一致は、列 HHTH で働きます。1回目に H が出て状態1、2回目も H ですが、末尾の H が模様の先頭と重なるので状態1のままです。3回目に T で状態2、4回目に H で状態3になります。2回目の H を捨てて状態0に戻していたら、この列を数え落とします。図1の状態は、この残し方をそのまま表しています。

長さ3の模様を扱うときも、状態を決める手順は同じです。模様の先頭から1文字ずつ伸ばした文字列を用意し、列の末尾がどこまで一致するかを調べます。一致する長さがそのまま状態の番号です。この手順で作った状態は、次の1回で移る先を必ず決められます。模様の途中で失敗したときに、先頭と重なる部分だけを残して戻るのがポイントです。

よくある誤答と直し方

HH が4回までに出る確率を、2回ずつ2組に分けて 1-(3/4)²=7/16 とした誤答があります。1組が HH でない確率は 3/4 なので、2組とも外れる確率を 9/16 とし、その余事象を取った計算です。正しい値は 1/2 で、7/16 より大きくなります。

誤りの原因は、組の境目をまたぐ HH を数え落とすことです。列 THHT は、組で見ると TH と HT で、どちらも HH ではありません。しかし2文字目と3文字目が HH です。図3のように、長さ2の窓は1文字ずつずれて重なり、列のどこにでも現れます。2回ずつ区切ると、区切りの位置で切れる窓が消えてしまいます。

もう一つ、HTH が3回までに出る確率を 3×(1/8)=3/8 とした誤答もあります。3回の列に長さ3の窓は1つしかないので、正しい値は 1/8 です。窓の個数 n-m+1 と、投げる回数 n を混同しています。n=3、m=3 なら窓は1つです。

共通する原因は、模様の出現を、重なりのない独立な試行として掛けていることです。窓どうしは文字を共有するので、掛け算はできません。直し方は、組や窓に分けず、1回ごとに状態を進めることです。状態が決まれば、次の1回でどこへ移るかは出た文字だけで決まります。

状態を減らしすぎる誤りも同じ形で現れます。HTH を「最後が H かどうか」の2状態だけで追うと、2文字目までそろっているかを区別できず、3文字目でそろう列を取り落とします。逆に、列の最初からの並びをすべて状態に残すと、同じ推移が別の状態に分かれて式が閉じません。残すのは、次の1回に効く末尾の情報だけです。

同じ長さの模様なら確率も同じ、と決めつける誤りもあります。n=3 では HH が 3/8、HT が 1/2 で、すでに差があります。長さだけで比べず、状態1から失敗したときどこへ戻るかを見てください。模様を目で見て「H が2回続くから出にくい」と決めるのではなく、戻り先の文字で判断するのが確実です。

練習問題

次の5問を解いてください。答えはすべて分数で求めます。

公平な硬貨を続けて投げます。TH が5回までに初めて現れる確率を求めてください。（標準）
公平な硬貨を続けて投げます。TT が4回までに初めて現れる確率を求めてください。（標準）
公平な硬貨を続けて投げます。HHT が5回までに初めて現れる確率を求めてください。（やや難）
赤3個と白2個が入った袋から1個を取り出して色を記録し、袋に戻します。赤赤が3回までに初めて現れる確率を求めてください。（やや難）
公平な硬貨を続けて投げます。HHH が6回までに初めて現れる確率を求めてください。（難）

練習問題の解答

TH は H と T を入れ替えると HT と同じ形になります。qₙ=(n+1)/2ⁿ で n=5 とすると q₅=6/32=3/16 です。よって 1-3/16=13/16 です。5回の32通りのうち TH を含むのは26通りで、26/32=13/16 と一致します。
TT は H と T を入れ替えると HH と同じ形になります。q₄=F₆/2⁴=8/16=1/2 なので、求める確率は 1/2 です。4回の16通りでは、TT を含む列が8通りあります。
状態0は末尾が H でない状態、状態1は末尾が H の状態、状態2は末尾が HH の状態、状態3は HHT が出た状態です。推移は次の3式です。

aₙ₊₁ = (aₙ + bₙ)/2
bₙ₊₁ = aₙ/2
cₙ₊₁ = (bₙ + cₙ)/2

状態0へは状態0と状態1から T、状態1へは状態0から H、状態2へは状態1と状態2から H が来ます。5回までの表は次のとおりです。

n   aₙ      bₙ      cₙ      出た
0   1       0       0       0
1   1/2     1/2     0       0
2   1/2     1/4     1/4     0
3   3/8     1/4     1/4     1/8
4   5/16    3/16    1/4     1/4
5   1/4     5/32    7/32    3/8

まだ出ていない確率は 8/32+5/32+7/32=20/32 です。よって 1-20/32=12/32=3/8 です。5回の32通りを全列挙しても12通りで一致します。

赤の確率を p=3/5、白の確率を r=2/5 とします。状態0は直前が白またはまだ取り出していない状態、状態1は直前が赤の状態です。aₙ₊₁=r(aₙ+bₙ)、bₙ₊₁=p・aₙ なので、qₙ=aₙ+bₙ は qₙ=r(qₙ₋₁+p・qₙ₋₂) を満たします。q₀=q₁=1 として順に計算します。

q₂ = (2/5)(1 + 3/5) = 16/25
q₃ = (2/5)(16/25 + 15/25) = 62/125

よって 1-62/125=63/125 です。3回の8通りの重みを足しても 63/125 で一致します。

状態0は末尾が H でない状態、状態1は末尾が H の状態、状態2は末尾が HH の状態、状態3は HHH が出た状態です。推移は次の3式です。

aₙ₊₁ = (aₙ + bₙ + cₙ)/2
bₙ₊₁ = aₙ/2
cₙ₊₁ = bₙ/2

H が3つ続くまでは、失敗すると末尾の H がすべて消えて状態0に戻ります。6回までの表は次のとおりです。

n   aₙ      bₙ      cₙ      出た
0   1       0       0       0
1   1/2     1/2     0       0
2   1/2     1/4     1/4     0
3   1/2     1/4     1/8     1/8
4   7/16    1/4     1/8     3/16
5   13/32   7/32    1/8     1/4
6   3/8     13/64   7/64    5/16

6回後にまだ出ていない確率は 24/64+13/64+7/64=44/64=11/16 です。よって 1-11/16=5/16 です。64通りの全列挙でも20通りで一致します。

覚えておくこと

状態は、末尾が模様の先頭と何文字一致しているかで決める。
末尾の一致があると、失敗しても前の文字が残り、戻る状態が変わる。
状態ごとの確率を1回分の推移でつなぐと漸化式になる。
窓は1文字ずつずれて重なるので、窓どうしを独立として掛けない。
答えは小さい n の全列挙と、確率の合計が1になることで確かめる。

つまずきの見分け方

掛け算の答えが1を超える、窓の個数だけを数えて投げる回数と混同する、状態からの戻り先を書かずに式を立てる、という三つの症状は、どれも重なりの扱いから来ます。式を立てる前に、模様の末尾と先頭が何文字重なるかを声に出して確かめてください。

状態0の意味を自分の言葉で説明できるか、状態1から失敗したときどこへ戻るかを図で指せるか、n=4 の全列挙と表の値が一致するかを、順に確かめます。個別指導では、式の変形より先に、状態の定義と1回分の推移を1行ずつ書けているかを見ます。表の合計が1から外れたら、推移の式ではなく状態の分け方を見直す合図です。

検算は、n を1つずつ増やしながら、表の合計が1、出た確率が減らない、小さい n の全列挙と一致する、の3点で行います。3点のどれかが崩れたら、式を変形する前に状態の定義へ戻ります。この順番を守ると、計算の誤りと状態の取り違えを別々に見つけられます。

同じ並びが重なるかどうかは、末尾に何文字残るかで決まります。