大学入試数学 条件つき確率と独立性—条件を加える前後の同時確率を比べ変化の理由を説明する｜武蔵野個別指導塾

成功総数を知った後の記号列を表に残し、各位置の成功と同時成功を比べて判定するのが条件付き独立性です。

よくあるのは、高校生が成功総数を知った後も各位置の成功を独立とする場面です。各回が独立に行われていても、後から「成功はちょうど何回」と知らされると、ある位置が成功したことは残りの成功数についての情報を持ちます。最初の試行の仕組みと、情報を得た後の確率を区別する必要があります。

問い方には、条件の前後で独立性を判定するもの、同時成功の確率を求めるもの、独立性が保たれる条件を探すものがあります。いずれも各位置の確率だけでなく、2つが同時に成立する確率まで調べます。ここでは少数の一様な記号列を使い、条件が表のどの行を残すかを追います。

条件が変える標本空間

事象AとBが独立とは、P(AかつB) = P(A)・P(B) が成り立つことです。一方、正の確率を持つ事象Cの下での条件付き確率は、P(A｜C) = P(AかつC)/P(C) です。Cの下での独立性を判定する式は次の形になります。

P(AかつB｜C) = P(A｜C)・P(B｜C)

左右が一致すればCの下で独立、一致しなければ独立ではありません。P(C) = 0ならこの割り算は定義できないため、その条件で判定を始めてはいけません。元の独立性を示す式にはCが含まれておらず、条件付きの式とは別の主張です。

図1のように、先に条件Cに合う結果を残し、その中でAとBの該当部分を数えます。等確率の結果からなる表なら、残った行数が新しい分母です。元の結果が等確率でない場合は行数で割れず、それぞれの確率の重みを足す必要があります。

図1の判定では、片方の確率が0または1になる場合も積の等式を使います。片方が必ず起こる、または決して起こらない条件下では、その事象はもう片方と独立です。「情報を得たから必ず非独立」とするのも誤りです。

基本例題：成功が1回と知られたら

【基本・標準】公平な硬貨を3回、互いに独立に投げます。表を1、裏を0とし、順に並べた3桁の列で結果を表します。Aを1回目が表、Bを2回目が表、Cを表がちょうど1回とします。Cの前と後でAとBが独立か判定し、必要な確率を分数で答えてください。

各列の確率は1/8です。条件前は1回目と2回目の表裏を自由に選べるため、AとBは各4列、共通部分は110と111の2列です。

P(A) = 4/8 = 1/2
P(B) = 4/8 = 1/2
P(AかつB) = 2/8 = 1/4
P(A)・P(B) = 1/2・1/2 = 1/4

したがって条件前は独立です。Cに合う列は100、010、001の3列で、P(C) = 3/8 > 0です。図2のように3列を残すと、Aに合う列とBに合う列はそれぞれ1列ですが、両方に合う列はありません。

P(A｜C) = 1/3
P(B｜C) = 1/3
P(AかつB｜C) = 0/3 = 0
P(A｜C)・P(B｜C) = 1/9

0と1/9は違うので、Cの下では独立ではありません。1回目に表が出たと知れば、表はそこで使い切られ、2回目は裏になります。条件前に硬貨を投げる操作が独立であった事実は変わらず、条件後に残る列の組合せが変わったのです。

別の確かめ方として、P(A｜C) = 1/3に対し、AとCの下でBの確率は0です。AとCの共通部分は100で正の確率を持つので、この比較ができます。片方を知る前後で他方の確率が変わったことも、条件下の非独立を示します。

標準例題：条件が独立性を保つ場合

【標準・やや難】公平な硬貨を4回、互いに独立に投げます。Aを1回目が表、Bを2回目が表、Dを3回目と4回目が同じ面とします。Dの下でAとBが独立か、必要な確率を分数で答えてください。

4桁の各列は等確率です。Dに合う末尾は00と11で、先頭2桁は00、01、10、11のどれでもよいため、Dに合う列は8列です。

P(D) = 8/16 = 1/2
P(A｜D) = 4/8 = 1/2
P(B｜D) = 4/8 = 1/2
P(AかつB｜D) = 2/8 = 1/4
P(A｜D)・P(B｜D) = 1/4

等式が成り立つので、Dの下でも独立です。条件は末尾2桁にかかり、先頭2桁の4通りはそれぞれ末尾2通りずつと結び付くため、先頭の表は偏りません。成功総数の条件では先頭が変わると末尾に必要な成功数も変わりましたが、この条件ではその制約がありません。

別解では、A、Bの成立状況ごとにDに合う末尾が2通りずつあることを使います。4種類の成立状況は条件後もそれぞれ1/4なので、各周辺確率は1/2、同時確率は1/4です。条件が別の位置にあるという言葉だけで済ませず、成立状況ごとの重みが同じことを確認しています。

発展例題：総数を固定したときの一般化

【発展・難】公平な硬貨を4回、互いに独立に投げます。Aを1回目が表、Bを2回目が表、Cₖを表がちょうどk回とします。kは0以上4以下の整数です。各kについて、Cₖの下でAとBが独立か判定し、同時確率を分数で答えてください。

表の位置を選ぶと、k = 0、1、2、3、4に対する列数は順に1、4、6、4、1です。どの条件も正の確率を持ちます。Aに合う列数は、1回目を表に固定し、残り3位置にk-1個の表を置いて数えます。AとBの共通部分は、最初の2位置を表に固定し、残り2位置にk-2個を置きます。置けない個数の場合は0列です。

k = 0: 0 = 0・0
k = 1: 0 ≠ (1/4)・(1/4)
k = 2: 1/6 ≠ (1/2)・(1/2)
k = 3: 1/2 ≠ (3/4)・(3/4)
k = 4: 1 = 1・1

各行の左辺が同時確率、右辺が周辺確率の積です。独立となるのはk = 0、4で、どちらも結果が1列に決まります。中間の3通りでは独立ではありません。たとえばk = 3では、1回目の表を知ると残り3位置に表が2個必要となり、2回目が表の確率は2/3です。知る前の3/4から変わります。

別解ではk = 1、2、3について、Aの下で残り3位置のうち表がk-1個であることを用います。P(B｜AかつCₖ) = (k-1)/3、P(B｜Cₖ) = k/4です。これらが等しいとすれば4(k-1) = 3k、すなわちk = 4となり、中間の範囲に入りません。端のk = 0ではAが起こらずこの条件付き確率を使えないので、表の積の判定で別に処理します。

誤答を表に戻す

基本例題で「各位置が表となる確率は1/3だから、同時に表となる確率は1/9」とする答案を考えます。周辺確率の1/3は正しいものの、その積を同時確率とするには、条件Cの下での独立性を先に示さなければなりません。図3のように、100、010、001のどの列にも先頭2位置の同時成功はありません。

図3では周辺の数がそれぞれ1である一方、重なる列は0です。直し方は、条件に合う列を先に書き、Aの列とBの列に印を付けて重なりを数えることです。分母3と分子0から同時確率は0となり、積1/9との違いを説明できます。

反対に、条件を加えた後は必ず非独立と決めるのも誤答です。標準例題のように、条件に関係する位置が分かれ、各成立状況が同じ重みで残る場合もあります。判定式はその両方を扱い、直感だけで決めた結論を検査します。

練習問題

各問の試行は、明記した選択肢が等確率で、各回は互いに独立とします。答えの確率は分数で表し、独立性は条件の下で判定してください。

1. 【標準】公平な硬貨を2回投げます。表を1、裏を0とし、表がちょうど1回という条件で、1回目と2回目がそれぞれ表となる事象の同時確率と独立性を求めてください。
2. 【標準】赤と白が等確率で出る装置を3回動かします。赤がちょうど2回という条件で、1回目と3回目が赤となる事象の各確率、同時確率と独立性を求めてください。
3. 【やや難】公平な硬貨を3回投げます。1回目と2回目が同じ面という条件で、1回目が表となる事象と3回目が表となる事象の各確率、同時確率と独立性を求めてください。
4. 【やや難】青と黄が等確率で出る装置を4回動かします。青が少なくとも3回という条件で、1回目と2回目が青となる事象の各確率、同時確率と独立性を求めてください。
5. 【難】公平な硬貨を3回投げます。表が少なくとも1回という条件で、1回目と2回目が表となる事象の各確率、同時確率と独立性を求めてください。また、表が4回という条件で同じ判定ができるか答えてください。

練習の解答

1

表を1とすると、条件に合う列は10、01の2列です。各列は元の試行で確率1/4なので条件の確率は2/4です。各位置の表は1列ずつ、同時の表は0列です。

P(1回目が表｜条件) = 1/2
P(2回目が表｜条件) = 1/2
P(同時に表｜条件) = 0
1/2・1/2 = 1/4 ≠ 0

したがって独立ではありません。2列を元の2回の結果に戻すと、いずれも表は1回で、両方表の11は条件を満たしません。

2

赤を1、白を0とすると、条件に合う列は110、101、011です。条件の確率は3/8で、1回目が赤の列は110、101、3回目が赤の列は101、011です。両方が赤の列は101です。

P(1回目が赤｜条件) = 2/3
P(3回目が赤｜条件) = 2/3
P(同時に赤｜条件) = 1/3
2/3・2/3 = 4/9 ≠ 1/3

独立ではありません。残した3列はどれも赤が2回であり、共通する列を数え直しても1列です。

3

条件に合う列は000、001、110、111です。条件の確率は4/8で、1回目が表の列は110、111、3回目が表の列は001、111、両方表の列は111です。

P(1回目が表｜条件) = 2/4 = 1/2
P(3回目が表｜条件) = 2/4 = 1/2
P(同時に表｜条件) = 1/4
1/2・1/2 = 1/4

等式が成り立つため独立です。残した4列はいずれも先頭2位置が同じで、先頭が0か1のどちらにも末尾0、1が対応します。

4

青を1、黄を0とすると、条件に合う列は1111、0111、1011、1101、1110の5列です。条件の確率は5/16です。1回目が青でない列と2回目が青でない列はそれぞれ1列なので、各位置が青の列は4列です。両方青の列は1111、1101、1110の3列です。

P(1回目が青｜条件) = 4/5
P(2回目が青｜条件) = 4/5
P(同時に青｜条件) = 3/5
4/5・4/5 = 16/25 ≠ 3/5

独立ではありません。列を元の結果に戻すと、5列の青の数は4、3、3、3、3で、条件から漏れた列はありません。

5

表を1とすると、条件に合う列は000を除く001、010、011、100、101、110、111の7列です。条件の確率は7/8です。1回目が表の4列、2回目が表の4列、両方表の110、111の2列は、いずれも条件に含まれます。

P(1回目が表｜条件) = 4/7
P(2回目が表｜条件) = 4/7
P(同時に表｜条件) = 2/7
4/7・4/7 = 16/49 ≠ 2/7

独立ではありません。元の8列のうち除外した000に表はなく、残った7列は少なくとも1回表です。表が4回という条件は3回の試行では起こらず、その確率は0です。分母が0となるので条件付き確率は定義されず、同じ方法で独立性を判定できません。

覚えておくこと

条件の確率が正かを先に調べます。 条件に合う結果の重みを新しい分母にします。 各事象の確率と同時確率を別々に求めます。 同時確率と周辺確率の積を比較します。 元の独立性と条件後の独立性を区別します。

手が止まったときに

積をすぐ書いた答案では、その積を同時確率と置いた根拠を確かめます。表を残して重なりを数えた結果と比べると、計算の間違いか、独立性を仮定した間違いかを見分けられます。条件に合う列が等確率かどうかを説明できない場合は、元の試行で各列が生じる確率から戻ります。

個別指導で確かめるなら、まず条件前の列を並べ、条件後に消える列を自分の言葉で示せるかを見ます。次に2つの周辺確率と同時確率の分子を別々に指してもらうと、共通部分の数え違いが表れます。成功総数の情報は、残る列を通して位置どうしの関係を変えます。