大学入試数学 累乗の余りと不可能性—指数の周期から整数解がない理由を示す｜武蔵野個別指導塾

指数0を含む場合分けと小さな法の周期を使い、等式の両辺の余りから解の有無を判定する道筋をたどる累乗の余り。

よくあるのは、高校生が演習の解き直しで大きい指数を直接計算して諦める場面です。桁が増えるほど、等式の両辺を実際に書き下す方法は重くなります。しかし、等しい整数は同じ正整数で割れば同じ余りを持ちます。全部の桁が必要とは限りません。小さな法で余りの動きを追い、等式が要求する余りと比べると、計算を途中で止めずに不可能性を説明できます。

何を比べれば解がないと言えるか

累乗を含む整数方程式では、まず変数の範囲を確認します。ここでは自然数を1以上の整数とし、0を含める場合は非負整数と書きます。指数が0を取れるとき、底が0でない累乗の値は1です。指数が正のときに使える整除性を、そのまま指数0にも当てることはできません。

出方には、累乗が平方数と等しい形、2つの累乗の和が特定の整数になる形、指数に別の条件が付く形があります。いずれも、ある法で左右の余りの候補が重ならなければ解はありません。一方、候補が重なった場合にわかるのは矛盾が見つからなかったことまでです。元の等式を満たす解があるとは限らず、別の法や直接の代入が必要です。

法を選ぶときは、係数や底の倍数になっている小さな数、平方の余りが少ない数に注目します。計算が簡単な法でも、両辺の余りが重なれば排除には役立ちません。そのときは選び直し、使わなかった法で無理に結論を出さないことが大切です。

周期はどこから生まれるか

整数 a と b の差が正整数 m の倍数であるとき、a と b は法 m で合同といい、a ≡ b (mod m) と書きます。等しい整数の差は0なので、等式が成り立てば任意の正の法で両辺は合同です。逆は一般には成り立ちません。差が m の倍数でも0とは限らないからです。

合同な整数に同じ整数を足しても差は変わりません。また、同じ整数を掛けても差は m の倍数のままです。したがって累乗の余りは、一つ前の余りに底を掛けて求められます。例えば法5では、2の0乗から順に余りは 1、2、4、3、1 です。最後に最初の1へ戻り、その後も同じ掛け算が続くため、4項ごとに繰り返します。

この繰り返しは、見かけが似た数を並べただけでは証明できません。2⁴ = 16 ≡ 1 (mod 5) を確かめ、非負整数 n を n = 4q + r、0 ≦ r < 4 と書けば、2ⁿ = (2⁴) の q 乗に 2ʳ を掛けたものです。よって余りは 2ʳ の余りに等しくなります。q = 0 も含むので、最初の4項も覆います。

図1のように、指数を周期で割った余りと累乗の余りを対応させます。表にある指数の余りが元の条件で実現できるかも確認します。表は必要な余りの候補を与えますが、方程式の解を直接与える表ではありません。

図1では指数の余り0に指数0も正の4の倍数も入ります。底と法が互いに素でない場合、最初から周期になるとは限りません。例えば法8で2の累乗は指数0、1、2、3以上に対して順に1、2、4、0です。0に到達した後は0が続きますが、指数0から 1、2、4、0 が繰り返されるわけではありません。周期が始まる位置を記録してから使います。

基本例題：平方の余りと照合する

【例題1・標準】非負整数 n と整数 x について、2ⁿ + 11 = x² を満たす組 (n, x) が存在しないことを証明してください。

法8で平方の余りを調べます。整数 x を8で割った余り0から7までを二乗すると、余りは順に0、1、4、1、0、1、4、1です。したがって平方の余りは0、1、4に限られます。

図2のように指数0、1、2を先に確かめます。それぞれ左辺は12、13、15であり、法8の余りは4、5、7です。余り4のときはそれだけでは排除できませんが、12は 3² = 9 と 4² = 16 の間にあるため平方ではありません。残りの2つは平方の余りに含まれません。

図2の最後の枝では、n ≧ 3 に対して次が成り立ちます。

2ⁿ = 8・2 の (n - 3) 乗
2ⁿ ≡ 0 (mod 8)
2ⁿ + 11 ≡ 3 (mod 8)

3は平方の余り0、1、4のいずれでもありません。n = 0、1、2 と n ≧ 3 で非負整数の指数を尽くしたので、求める組は存在しません。小さい指数でも余りが食い違えば排除でき、重なった場合だけ元の数を直接調べます。余りが一致する12を解と判断しないことが要点です。

指数の境界を分けて不可能性を示す

【例題2・やや難】非負整数 n と整数 x について、3ⁿ + 2 = x² を満たす組 (n, x) が存在しないことを証明してください。

底3と相性のよい法3を試します。n が正なら 3ⁿ は3の倍数です。一方、n = 0 では 3⁰ = 1 であり、同じ説明を使えません。そこで最初に境界を分けます。

n = 0 のとき、等式は次のようになります。

x² = 1 + 2
x² = 3

1² = 1、2² = 4 ですから、整数の平方が3になることはありません。負の整数の平方も絶対値の平方と同じです。

次に n ≧ 1 とします。整数 x は3で割った余りが0、1、2のいずれかです。それぞれを二乗すると、x² の余りは0、1、1です。仮に元の等式が成り立つなら、法3で次を得ます。

3ⁿ ≡ 0 (mod 3)
3ⁿ + 2 ≡ 2 (mod 3)
x² ≡ 2 (mod 3)

最後の行は平方の余りの一覧にありません。したがって n ≧ 1 に解はありません。n = 0 と n ≧ 1 は非負整数の指数を尽くすので、求める組は存在しません。

別の見方として、n が正なら 3ⁿ + 2 は3で割ると2余ります。整数の平方を3で割った余りは0か1なので矛盾する、と文章だけで書いても同じ証明です。法3を使った行で指数0を除く理由まで書けば、短くしても論理は保たれます。法2では左辺も平方も奇数になり、矛盾が出ません。計算のしやすさに加えて、余りの候補が分離するかが法の選択を決めます。

周期と指数の条件を重ねる

【例題3・難】自然数 n と整数 x について、n が偶数であるとき、2ⁿ + 5 = x² を満たす組 (n, x) が存在しないことを証明してください。

法5では足される5が消えます。2の累乗の周期は先に導いた4です。n は正の偶数なので、4で割った余りは0または2です。各場合に左辺の余りは次のようになります。

n ≡ 0 (mod 4) のとき 2ⁿ + 5 ≡ 1 (mod 5)
n ≡ 2 (mod 4) のとき 2ⁿ + 5 ≡ 4 (mod 5)

どちらも平方の余りとしてあり得ます。法5だけでは排除できません。そこで偶数指数を直接利用します。n = 2k と置くと、n が自然数なので k も自然数です。2ⁿ は4の倍数ですから、法4では次のようになります。

2ⁿ = 4・2 の (n - 2) 乗
2ⁿ ≡ 0 (mod 4)
2ⁿ + 5 ≡ 1 (mod 4)

しかし平方の余り1とも一致し、これでも矛盾しません。さらに法8を調べます。n = 2 と n ≧ 4 を分けると、前者では左辺は9で、x = 3 または -3 が実際に解です。よって元の命題は偽です。指数を大きくしてから余りを調べるとき、n = 2 を置き去りにしてはいけません。

では、条件を「偶数 n ≧ 4」に変えるとどうなるでしょうか。2ⁿ は8の倍数なので左辺は法8で5に合同です。整数を8で割った余り0から7までを二乗すると、余りは順に0、1、4、1、0、1、4、1です。5はないため、その範囲に解はありません。変更した条件の下では、n = 2 の反例を除外した理由と、残りを尽くした理由が揃います。

この例の別解として、n = 2k から 2ⁿ = (2ᵏ)² として平方の差を因数分解できます。ただし、正負の因子や k の範囲を追う必要があります。法8なら平方の候補を一覧にしてすぐ排除できます。逆に、余りが一致する n = 2 にも同じ結論を適用することはできません。仮定を変えた後の結論を、元の問題の結論として書かないようにします。

誤った周期をどう直すか

次の答案を考えます。「2ⁿ は8で割ると常に0余る。したがって 2ⁿ + 5 は平方にならない」。指数が3以上なら前半は正しいものの、非負整数全体については誤りです。n = 0、1、2 では余りがそれぞれ1、2、4となります。とくに n = 2 では左辺が9となり、平方です。

図3のように、指数0、1、2を個別に確かめ、指数3以上で初めて8の倍数とします。境界を外した後は、平方の余り0、1、4と5を比べることができます。図3の矢印は、大きな指数を小さな例へ逆算する意味ではなく、条件を分けてそれぞれ調べる順序を表しています。

もう一つの誤りは、同じ余りを得た時点で等式が成立するとすることです。例えば法5で6と1は合同ですが等しくありません。余りの不一致は不可能性を証明しますが、一致は必要条件を通過しただけです。候補が有限なら元の式へ戻し、無限ならさらに条件を絞る方法を考えます。

練習：余りの表から結論まで

次の5問では自然数を1以上とします。証明を求める問題では、指数の範囲と使う法を明記してください。反例を求める問題では、条件を満たす具体的な組を1つ示してください。

1. 【標準】非負整数 n と整数 x について、4ⁿ + 2 = x² を満たす組が存在しないことを証明してください。
2. 【標準】自然数 n と整数 x について、5ⁿ + 3 = x² を満たす組が存在しないことを証明してください。
3. 【やや難】非負整数 n と整数 x について、2ⁿ + 7 = x² に解が存在しないという主張の反例を1組求めてください。
4. 【やや難】自然数 n と整数 x について、n が奇数なら 2ⁿ + 3 = x² を満たす組が存在しないことを証明してください。
5. 【難】非負整数 n と整数 x について、3ⁿ + 4 = x² を満たす組をすべて求めてください。

練習の答えと確認

1. n = 0 なら左辺は3で平方ではありません。n ≧ 1 なら4ⁿ は4の倍数なので、左辺は法4で2に合同です。整数の平方の法4の余りは0か1ですから矛盾します。2つの場合が非負整数を尽くし、解はありません。

2. 5ⁿ は法5で0です。一方、平方の法5の余りは0、1、4です。元の式が成り立つなら平方の余りが3となり、一覧にないので解はありません。n が自然数であることを、5ⁿ が5の倍数となる根拠に使っています。

3. n = 1、x = 3 とすると、2¹ + 7 = 9 = 3² です。n は非負整数、x は整数であり、元の式を満たします。この1組で解なしという主張は否定されます。ほかの解の有無までは結論しません。

4. n = 2k + 1 と置くと k は非負整数です。2² ≡ 1 (mod 3) から、次を得ます。

2ⁿ = (2²) の k 乗に 2 を掛けた数
2ⁿ ≡ 2 (mod 3)
2ⁿ + 3 ≡ 2 (mod 3)

整数の平方の法3の余りは0か1です。2は含まれないので、元の式を満たす組はありません。k = 0 の n = 1 もこの計算に含まれます。

5. n = 0 のとき左辺は5で平方ではありません。n ≧ 1 のとき、法3で左辺は1に合同となり、平方の余りと重なります。そこで法4を用います。3² ≡ 1 (mod 4) より、n が奇数なら 3ⁿ + 4 ≡ 3 (mod 4) で、平方の余り0、1に含まれません。n が偶数なら n = 2k と書け、k は自然数です。

x² - (3ᵏ)² = 4
(x - 3ᵏ)(x + 3ᵏ) = 4

2つの因子はともに整数で、差は正の偶数 2・3ᵏ です。積が4で差が正の因子の組は (-4, -1)、(-2, -2)、(1, 4)、(2, 2) を確認すれば尽くされます。差が正の偶数である組はありません。したがって偶数 n にも解はなく、答えは解なしです。負の因子も調べ、差が0の組も除いたので取りこぼしはありません。

答案に残す要点

• 指数の範囲と0を取れるかを先に確認します。
• 累乗の余りは、周期の根拠と開始位置を示します。
• 平方などの余りは、整数の余りを尽くして作ります。
• 余りが不一致なら解なし、一致なら元の式をさらに調べます。
• 小さい指数と残った候補は、元の条件へ戻して検算します。

どの行で止まったかを見分ける

周期の表は作れても証明が進まないときは、表の行が何を表すかを口に出して確認します。指数の余りと累乗の余りを取り違えていれば、n = 0、1を実際に代入して対応を直せます。指数が底の倍数性を生む条件を言えない場合は、指数0と1の値を並べると境界が見えます。

個別指導で答案を確かめるなら、「その法で等式が成立したと仮定すると、平方の余りはいくつか」「一覧にその余りはあるか」と問い、矛盾の行を指してもらいます。余りが重なった場合は、反例の代入か別の法への切り替えを検討します。解の不在は、候補を試し尽くした気分ではなく、すべての許された指数を覆う論証で決まります。