高校情報I 散布図の作り方—二量の対応を保って点の配置と例外を読み取る｜武蔵野個別指導塾

板の面積と質量の組を元表から追い、並べ替えで変わる点と例外を読み解く散布図です。

よくあるのは、板の面積と質量を調べた表で、2列を別々に昇順へ並べ替え、その位置を組にして散布図を作る場面です。小さい値どうしが並んで見えても、同じ板の測定値とは限りません。散布図の1点は、同じ対象について得た2つの値の組です。まず板の名前と行を保ち、横軸と縦軸の値を対応させます。

出方には、表から点を打つ型、並べ替えによる点の移動を調べる型、全体の形と離れた点を元の記録へ戻して説明する型があります。以下の板の記録は、考えるために作った学習用データです。実測結果として扱わず、与えた条件から検討します。

1点が表すものを決める

散布図は、2種類の量を横軸と縦軸に割り当て、対象ごとの組を点で表します。板の面積を横軸、質量を縦軸と決めたなら、面積が3 cm²、質量が8 gの板は (3, 8) に置きます。括弧の左が横、右が縦です。同じ行から2つの値を取り出し、面積の位置から上に、質量の位置から横にたどった交点を打ちます。

図1のように、板の名前は数値そのものではありませんが、2つの値が同じ板のものかを確認する手がかりです。表の行を丸ごと並べ替えると、行の順は変わっても組は変わりません。面積列だけ、あるいは質量列だけを動かすと、別の板の値を組み合わせることがあります。

図1では板Aの面積と質量を一緒に取り出します。対象が誰か、何かを見失った表では、数の大小だけから元の対応を復元できない場合があります。名前を消して点だけにすると、同じ座標の板が複数あることも見えにくくなります。重なる点は1個に見えても、元表の件数まで1件とは限りません。

軸には量の名前と単位を付け、範囲と目盛りを決めます。横と縦で単位が異なるため、同じ長さに必ず同じ数値幅を割り当てる必要はありません。ただし、それぞれの軸で目盛りの間隔は一定にします。軸の範囲を変えると傾きや散らばりの見え方が変わるので、図を比較するときには範囲も確認します。値が範囲外なら点を端に押し込まず、範囲を取り直します。

点の配置を見るときは、面積が増える方向に質量が増える傾向、減る傾向、はっきりした方向が見えない場合を区別します。曲がった帯のような配置もあり、直線の傾向だけで関係を決められません。点のまとまりから離れた点があっても、直ちに誤りと決めず、記録や条件を調べます。散布図から傾向が見えても、面積の変化が質量の変化を引き起こしたと、この図だけで断定はできません。

欠損した値は0とは別です。一方の値が空欄の行は座標の組が完成しないので、勝手に0を入れず、図に打てなかった行として記録します。測定単位が混在していれば、定義を確かめて同じ単位に直してから位置を求めます。どの行を描いたかを残しておくと、図の点数と表の行数が違う理由を確認できます。

基本例題：4枚の板を点にする

面積と質量を次のように与えます。横軸を面積 cm²、縦軸を質量 gとし、各板の座標を板名順に答えてください。また、面積の増加に伴う配置を説明してください。欠損はなく、同じ板を重複して記録していません。

1行ずつ組を作ります。軸の順を変えずに書くことが出発点です。

• Aは面積1、質量2なので (1, 2) です。
• Bは面積2、質量5なので (2, 5) です。
• Cは面積3、質量4なので (3, 4) です。
• Dは面積4、質量8なので (4, 8) です。

図2のように、横軸を0から4、縦軸を0から8として点を打ちます。BからCへは右に進む一方で少し下がりますが、全体としては面積の大きい板ほど質量も大きい傾向です。すべての隣接する点で増加している、とまでは言えません。

図2を表へ戻して検算します。例えば縦の値が5の点は横が2なのでBの (2, 5) に戻ります。4点を数え、AからDの4行と照合すると、抜けや重なりはありません。図の見た目だけで点を結んで値を補う必要はありません。板ごとの記録なので、点の間にも板が存在すると決まっていないからです。

目盛りが1ずつなのに2の位置を1目盛り目と誤読すると、正しい表からも別の点が生じます。原点、目盛りの幅、軸名の順に指でたどり、1点を元の行に戻してから残りを打つと、軸の読み違いを早く見つけられます。面積と質量の軸を入れ替えた図も作れますが、その場合は軸名と座標の順をともに入れ替えます。

標準例題：曲がった配置を読む

学習用の板P、Q、R、Sの面積 cm²と質量 gの組を順に (1, 1)、(2, 4)、(3, 9)、(4, 16) とします。横軸を面積、縦軸を質量として、隣り合う面積の値が1増えるごとの質量の増加量をgで答え、点の配置を説明してください。丸めは不要です。

PからQでは 4 − 1 = 3 gです。 QからRでは 9 − 4 = 5 gです。 RからSでは 16 − 9 = 7 gです。 面積が同じ1 cm²ずつ増えても、質量の増加量は3、5、7 gと変わります。右へ進むにつれて上がり方が大きくなり、4点は直線というより上に曲がる配置です。各点は元の4組に戻り、差を順に加えると1から4、9、16へ戻るので、増加量の計算も照合できます。

この4点だけから、間の値や範囲外の値まで同じ規則が続くと決めることはできません。例えば面積5の板の質量を予想することと、その板を測った結果を示すことは別です。また、上に曲がる形が見えるとしても、板の材質や厚さなどの条件は与えられていません。配置の説明と原因の説明を分けます。

発展例題：離れた点と記録を照合する

別の板E、F、G、H、Jについて、面積 cm²と質量 gを順に (1, 3)、(2, 6)、(3, 9)、(4, 12)、(5, 25) とします。最初の4点と比べて離れた点の板名を答え、その点を消す前に確かめることを2つ挙げてください。5行はいずれも一度ずつ記録され、値の欠損はありません。

EからHでは、面積に対する質量の比が順に 3/1、6/2、9/3、12/4 で、いずれも3 g/cm²です。 同じ比を面積5に当てた値は 5 × 3 = 15 gです。 Jの記録25 gは、この比較値より 25 − 15 = 10 g上です。 したがって、最初の4点の並びから離れるのはJです。Jを元の表に戻すと、面積5 cm²、質量25 gの1行であり、点の縦座標25と一致します。

確認することの例は、転記前の質量の記録と単位、Jの板の材質や厚さなど測定条件です。25という値が正しくても、他と異なる条件の板である可能性があります。逆に転記ミスとわかった場合は、根拠と修正前の値を残して直します。原因が不明なら未確認として残し、含めた図と除いた図を比較して結論への影響を示せます。近い4点に合わせるためだけに15へ書き換えてはいけません。

もしJの質量が欠けていたなら、他の4点から15を補って観測点として描くこともできません。予想値と観測値は区別し、欠けた行は描画対象から外した理由を記します。逆に全5行の値がそろっていても、入力した範囲が4行までならJは図に出ません。データの状態と図を作る際の選択範囲を別々に調べる必要があります。

誤答を元の行から直す

基本例題で面積列は1、2、3、4、質量列は2、5、4、8でした。ここで質量だけを昇順にすると2、4、5、8です。この列を元の面積列と行位置で組むと、(1, 2)、(2, 4)、(3, 5)、(4, 8) になります。図3のように、BとCの質量が入れ替わった点が生じます。

図3の誤った (2, 4) は面積2のBと質量4のCを混ぜています。誤った (3, 5) も面積3のCと質量5のBを混ぜています。数字は各列に残っていても、板ごとの組は保存されていません。元表に戻し、Bを (2, 5)、Cを (3, 4) とするのが修正です。AとDは並べ替えの前後で位置が同じですが、それを根拠に全行が正しいとは言えません。

並べ替えが必要なら板名を含む行全体を選び、1列を基準に行ごと動かします。同じ面積の板が複数ある場合も、それぞれの質量と板名を同行に残します。もとの対応がすでに失われたときは、数の大小から推測して直さず、原記録へ戻ります。原記録が得られなければ、正しい散布図を作れないと判断します。

練習問題

次の数値は練習用に作ったものです。各問で欠損の記載がない値はそろっているものとします。座標は横軸の値、縦軸の値の順で書き、単位は各問の指定に従ってください。

1. 板K、L、Mの面積 cm²と質量 gは順に (2, 7)、(5, 11)、(3, 6) です。面積を横軸、質量を縦軸にして、面積の小さい順に板名と座標を答えてください。
2. 板N、O、Pの面積 cm²は順に4、6、8、質量 gは順に12、9、15です。質量列だけを昇順にした後、行位置で組んだ3組と、元の組に戻すべき板名を答えてください。
3. 板Q、R、S、Tの面積 cm²と質量 gは順に (1, 2)、(2, 3)、(3, 6)、(4, 11) です。面積が1 cm²増えるごとの質量の増加量をgで順に答え、直線的な増え方か説明してください。
4. 板U、V、W、Xの面積 cm²と質量 gは順に (2, 4)、(4, 8)、(6, 12)、(8, 30) です。最初の3点の比を使ったXの比較値と記録との差をgで求め、点を消す前に確認する内容を1つ答えてください。
5. 板Y、Z、AA、ABの面積 cm²と質量 gは順に (3, 5)、(3, 5)、(5, 空欄)、(7, 10) です。完成した組だけを描くとき、描ける行数、異なる点の位置の数、描けない板名を答え、空欄の扱いを説明してください。

練習問題の答えと解き方

1. K (2, 7)、M (3, 6)、L (5, 11) の順です。面積2、3、5の順に行全体を並べ、質量7、6、11も各板に付けたままにします。元表へ戻すと、Mの3に対応する質量は6であり、昇順の質量を別に組み直したものではありません。3行から3組が得られます。

2. 誤った組は順に (4, 9)、(6, 12)、(8, 15) です。元のNは (4, 12)、Oは (6, 9)、Pは (8, 15) なので、NとOを戻します。質量の順は9、12、15へ変わりますが、面積4の板に9を付ける根拠にはなりません。Pも元表に照らし、変わらなかったことを確認します。

3. 増加量は順に 3 − 2 = 1 g、6 − 3 = 3 g、11 − 6 = 5 gです。同じ面積の増加に対する差が一定ではなく、右に行くほど上がり方が大きい配置です。2に1、3、5を順に加えると3、6、11に戻るので、表と差の向きも確かめられます。4点の範囲を超えて同じ増え方が続くとは決めません。

4. 最初の3点の比は 4/2 = 2、8/4 = 2、12/6 = 2 g/cm²です。Xの面積8 cm²に対する比較値は 8 × 2 = 16 g、記録との差は 30 − 16 = 14 gです。Xの元の質量記録や単位を確認します。30 gという元の値に戻して差を調べており、16 gへの変更を意味しません。条件の違う板という可能性も残ります。

5. 描けるのはY、Z、ABの3行で、異なる点の位置は (3, 5) と (7, 10) の2か所です。YとZは同じ位置に重なります。AAは質量が空欄なので描けません。空欄を0 gとみなさず、原記録を確かめます。点の位置が2か所でも、描いた対象は3枚あると元の行で数え直します。

覚えておくこと

• 1点は同じ対象の横軸と縦軸の値の組です。
• 並べ替えは識別子を含めて行ごと行います。
• 軸の量、単位、範囲、目盛りを確認します。
• 曲がった配置や離れた点も元表へ戻して調べます。
• 欠損を0にせず、傾向から原因を断定しません。

つまずきを見分ける

点の数が合わないときは、元表の行数、欠損、同じ座標への重なり、図に選んだ範囲を順に確かめます。数が合っても、各点の2つの値が同じ板に戻るかは別に調べます。個別指導では、板名を隠さずに1行を指してもらい、横軸と縦軸をたどって点を置き、逆に点からその行へ戻す手順を確認します。位置が離れた点には理由を付け足す前に、元の記録と条件を尋ねます。対応を守った1点が、図全体を読む出発点です。