高校情報I 平均値と中央値—分布と重みを確かめて代表する値を選び直す｜武蔵野個別指導塾

印刷待ち時間を群ごとの件数から集計し、極端な値や重みを踏まえて選ぶのが代表値です。

よくあるのは、印刷の待ち時間を2つの時間帯で調べ、件数の違う2群の平均をそのまま足して2で割る場面です。全体の平均を求めるには、各群の平均に件数を掛けて総待ち時間に戻し、合計件数で割ります。中央値や最頻値は別の問いに答える値です。ここで使う記録は学習用に作ったもので、待ち時間は印刷を頼んでから始まるまでの分数とします。

出方には、元の記録から3種類の代表値を作る型、群の件数と平均から全体を復元する型、長い待ち時間が混ざったときに目的に合う値を選ぶ型があります。どの型でも、まず1件が何を表すかをそろえます。途中で分数を丸めず、指定された形にしてから元の記録へ戻して確かめます。

合計、真ん中、最も多い値

平均値は、記録された値の合計を件数で割った値です。全員の待ち時間を合計し、それを同じ長さに均したと考えることができます。例えば合計が20分で4件なら平均は5分です。5分待った人が実際にいたとは限りません。合計を保存する値なので、全体でどのくらい時間を使ったかを考えるときに役立ちます。

中央値は、値を小さい順に並べたときの中央の値です。件数が奇数なら中央の1個、偶数なら中央の2個の平均を取ります。同じ値も記録の件数分だけ並べます。順序で決めるため、端の値が大きく変わっても、中央の位置と値が変わらなければ中央値は変わりません。ただし端の情報が消えるわけではなく、中央値だけでは長く待った件数や最長時間を知ることはできません。

最頻値は、最も多く現れる値です。複数の値が同じ最大回数で現れれば、最頻値は複数あります。全値が1回ずつなら、特に多い値はなく、このような場合は最頻値なしと扱います。値を階級に分けた表の最も多い階級と、元の数値の最頻値は別です。単位を分にそろえたとしても、記録の刻み方が違えば同じ値の現れ方は変わります。

図1のように、合計を件数で割る、順に並べる、出現回数を数えるという手順は異なります。図1の3つの入口を使い分ければ、計算結果が違うこと自体を誤りと考えずに済みます。代表値は分布の一面を短く表すものであり、単独で全体の形を復元するものではありません。

群別の平均から全体を求めるとき、各平均にはその群の件数という重みを付けます。群の平均に群の件数を掛けると群の総待ち時間が戻ります。総待ち時間を足し、全件数で割った値が加重平均です。群の件数が等しい場合は各群の平均の単純平均と一致しますが、件数が違う場合は一般に一致しません。たまたま群の平均が同じなら件数が違っても一致するため、件数が違うだけで必ず違うと決めるのも誤りです。

この復元には、各群が重ならず、対象の記録を合わせてちょうど1回ずつ含むことが必要です。同じ申込を2群に入れたり、対象を取り落としたりすれば、得られる値は求めたい全体の平均ではありません。また、群の平均が丸められていると、掛け戻した総時間は厳密な値とは限りません。可能なら元の合計を使い、丸められた平均しかないときは概算と区別します。

基本例題：1つの受付の待ち時間

印刷受付での5件の待ち時間が、記録順に 2、4、2、7、5 分でした。平均値、中央値、最頻値をそれぞれ分で求めてください。平均は小数第1位まで、他は整数で答えます。欠けた記録はなく、5件を対象の全記録とします。

まず合計は 2 + 4 + 2 + 7 + 5 = 20 分です。

件数は5件なので、平均値は 20 ÷ 5 = 4.0 分です。

小さい順に並べると 2、2、4、5、7 分です。

5件の中央は3番目なので、中央値は4分です。

2分が2回、4分、5分、7分が各1回なので、最頻値は2分です。

図2のように、合計は元の順でも並べ替え後でも20分です。平均4.0分を5件へ戻すと20分となり、合計と一致します。中央値の4分の左右にはそれぞれ2件あり、最頻値の2分は2回現れます。図2の各結果は同じ5件から得ていますが、それぞれ合計、位置、回数という別の性質を示します。

仮に7分が12分になったとき、合計は25分、平均は5.0分に変わります。一方、並びは 2、2、4、5、12 なので中央値は4分、最頻値は2分のままです。長い待ち時間が合計を押し上げる様子と、中央の位置が変わらない様子を別々に説明できます。どれか1つを常に正しい代表値とするのではなく、総待ち時間を見たいのか、中央付近を見たいのかを先に決めます。

標準例題：時間帯を合わせる

午前の印刷待ちは3件で、各 2、4、6 分です。午後は2件で、各 8、10 分です。2群は重ならず、全5件を対象とします。各群の平均と全体の平均を分単位で求め、小数第1位まで示してください。群の平均の単純平均も計算し、全体の平均と違う理由を説明してください。

午前の合計は 2 + 4 + 6 = 12 分です。

午前の平均は 12 ÷ 3 = 4.0 分です。

午後の合計は 8 + 10 = 18 分です。

午後の平均は 18 ÷ 2 = 9.0 分です。

全体の合計は 12 + 18 = 30 分、件数は 3 + 2 = 5 件です。

全体の平均は 30 ÷ 5 = 6.0 分です。

群の平均を件数で重み付けしても、(4.0 × 3 + 9.0 × 2) ÷ 5 = 6.0 分です。元の5件を直接足した30分と、6.0分を5件に戻した30分が一致します。これで群の総量と全体の総量を照合できます。

一方、群の平均の単純平均は (4.0 + 9.0) ÷ 2 = 6.5 分です。これは午前と午後を同じ重みで扱った値であり、各時間帯の平均を1個ずつ見た平均です。5件の待ち時間を等しく扱う値とは問いが違います。6.5分を5件に掛けると32.5分となり、元の30分に戻りません。群の平均を単純に平均することがいつでも無意味なのではなく、各群を同じ重みで比較する問いと、各記録を同じ重みで集める問いを分ける必要があります。

発展例題：代表値を選び直す

別の受付での待ち時間は 1、2、2、3、4、18 分の6件でした。欠損はなく、18分は記録の照合で正しいと確認された値です。平均値を分数、中央値と最頻値を分単位で求め、中央付近の待ち時間と全体の総待ち時間を伝えるには何を併記するか説明してください。

合計は 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 18 = 30 分です。

平均値は 30 ÷ 6 = 5 分です。

並びは既に小さい順で、中央の2個は3番目の2分と4番目の3分です。

中央値は (2 + 3) ÷ 2 = 5/2 分です。

2分が2回、他は各1回なので最頻値は2分です。

5分を6件に掛けると30分です。また中央値の2つの位置は、元の6件の3番目と4番目に戻せます。平均と中央値が離れた背景には18分が含まれていますが、この値がある理由や今後も同様になるかは、この記録だけでは決められません。

中央付近を伝えるなら中央値5/2分を使い、長い待ち時間18分もあったと併記します。総待ち時間に関心があるなら平均5分と6件、または合計30分を示せます。18分を都合よく除くと、残り5件の合計は12分、平均は12/5分になります。これは元の6件の平均ではなく、除外後の別の対象についての平均です。正しい記録と確認された値を消す前に、対象の定義と、除外によって問いが変わることを明示します。

誤答を元の時間へ戻して直す

ある集計では、A群が4件で平均3分、B群が1件で平均8分でした。2群は重ならず、全体の5件を構成します。全体平均を求める際に、(3 + 8) ÷ 2 = 5.5 分とした答案を考えます。

誤答の理由は、A群の4件とB群の1件を、各群1個の平均として同じ重みで扱ったことです。5.5分を5件に戻すと27.5分になりますが、実際の総時間とは一致しません。この比較で、答えの単位が分で合っていても対象の重みが違うことに気づけます。

修正すると、A群の総時間は 3 × 4 = 12 分です。

B群の総時間は 8 × 1 = 8 分です。

全体の総時間は 12 + 8 = 20 分です。

全体の平均は 20 ÷ 5 = 4 分です。

4分を5件に戻すと20分で、両群の総時間の和に一致します。図3のように、誤答の経路では群の平均に等しい重みを付け、修正した経路では件数を掛けてから合計します。図3の分岐は、同じ数字を使っても何を1単位として平均するかで答えが変わることを示します。

群の平均と件数だけでは、通常、全体の中央値や最頻値は決められません。例えば同じ平均3分の4件でも、1、1、5、5 と 2、3、3、4 では中央の値や出現回数の状況が異なります。平均から総時間は戻せても、個々の値の並びまでは戻らないためです。中央値が必要なら元の値、またはその位置を判断できる十分な情報を確保します。

練習：別の記録で確かめる

以下のデータは学習用です。各設問の対象には欠損がなく、記載した群は互いに重ならないものとします。途中で丸めず、指示された形で答えてください。

1. 製本の作業時間が 3、6、3、8、5 分の5件です。平均を小数第1位、中央値と最頻値を整数の分で求め、平均を合計へ戻してください。
2. 部品の受取時間が 2、4、6、8 分の4件です。中央値を分で求め、中央の2個の位置を示してください。最頻値は、特に多い値がなければ「なし」と答えてください。
3. 梱包の記録はP群が2件で平均5分、Q群が4件で平均8分です。全体平均を分で求め、分数のまま示してください。総時間と件数も答えてください。
4. 整理に要した時間は 1、3、3、4、4、9 分です。最頻値をすべて分で示し、中央値を分数で答えてください。2種類の最頻値が本当に同じ回数かを確かめてください。
5. 配布物を準備した時間は 2、3、4、5、16 分です。中央付近と総時間の両方を伝えるため、中央値、平均、最大値を分で求めてください。16分が正しい記録とすると、削除してよいか、対象の違いに触れて答えてください。

練習の答えと解き方

1. 合計は 3 + 6 + 3 + 8 + 5 = 25 分です。25 ÷ 5 = 5.0 分が平均です。順に並べると 3、3、5、6、8 なので、3番目の中央値は5分、2回現れる最頻値は3分です。5.0分を5件に掛けると25分で、元の合計に戻ります。

2. 中央は2番目の4分と3番目の6分です。その平均 (4 + 6) ÷ 2 = 5 分が中央値です。各値は1回ずつなので、この規則では最頻値なしです。4件の左右2件ずつの境目に5分があり、元の値そのものとは限らないことも確認できます。

3. P群の総時間は 5 × 2 = 10 分、Q群は 8 × 4 = 32 分です。合計は42分、件数は6件なので、全体平均は 42/6 = 7 分です。7分を6件に戻すと42分になり、2群の総時間の和に一致します。群の平均の単純平均13/2分は、群に等しい重みを置いた別の値です。

4. 3分と4分が各2回で最大の回数なので、最頻値は3分と4分です。1分と9分は各1回です。中央の3番目と4番目は3分と4分なので、中央値は (3 + 4) ÷ 2 = 7/2 分です。6件を並びのまま数え直すと、中央の左右にはそれぞれ2件あります。

5. 並びの3番目は4分なので中央値は4分です。合計は 2 + 3 + 4 + 5 + 16 = 30 分、平均は 30 ÷ 5 = 6 分、最大値は16分です。6分を5件に掛けると30分へ戻ります。中央付近は4分、長い記録を含む総時間は30分と伝えられます。正しい16分を理由なく削除すると対象が4件に変わるため、元の5件の代表値として扱うことはできません。

覚えておくこと

• 平均は合計を件数で割り、件数を掛けて総量に戻せます。
• 中央値は並べた中央、最頻値は出現回数が最大の値です。
• 群の平均から全体を出すときは、群ごとの件数を重みにします。
• 代表値を選ぶ目的と、長い待ち時間を含む分布を併せて示します。

つまずきを見分けるには

平均を求められても、群ごとの件数を無視していないかは別に確かめます。答案の値に全件数を掛け、元の総待ち時間に戻るかを見ると、重みの扱いを点検できます。中央値でつまずく場合は、元の順の中央を選んでいないか、偶数件で中央の2個を拾えたかを確認します。

個別指導では、まず各値を元の表に指で戻し、合計、位置、回数のどれを使ったかを説明してもらいます。次に長い待ち時間を含む表で、どの問いにどの値を添えるかを話し合います。代表値の選択は、記録の件数と待ち時間の分布に立ち戻るところから始まります。