中学受験の算数 濃度の加水と蒸発—変わらない食塩の量から全体の重さを逆算する｜武蔵野個別指導塾

水を加えても蒸発させても残る食塩に注目し、目標の濃度から全体を出して、水の増減量へたどり着きます。

よくあるのは、食塩水を温めて水を蒸発させたとき、小学生が減った水と同じ割合で食塩も減らしてしまう場面です。全体の重さが減るので、中身がどちらも減るように感じられるかもしれません。しかし、問題に「水だけが蒸発する」とあれば、食塩はそのまま残ります。残った食塩を手がかりに、変化後の全体の重さを求めてみましょう。

ここでは食塩が完全に溶け、全体が均一な食塩水を考えます。加えるのは水、蒸発するのも水だけです。重さの単位は g にそろえ、容器の重さは含めません。食塩水を取り出す操作や、別の濃度の食塩水を混ぜる操作は扱いません。

水が変わると、何を聞かれるか

水を加える問題では、たとえば「ある濃度にするには水を何 g 加えるか」と聞かれます。変化前の食塩水の重さと濃度から食塩の重さを出し、その食塩が目標の濃度を占めるような全体の重さを探します。最後に、変化後と変化前の全体の差を取れば、加えた水の重さです。

水が蒸発する問題でも、目標の濃度から変化後の全体を逆算します。ただし差を取る順番は反対です。最初の全体から後の全体を引くと、蒸発した水の重さになります。足す場面と引く場面を言葉で確認してから式にすると、同じ数字を見ても向きを取り違えにくくなります。

もう一つは、水を加えた量や蒸発した量が先に示され、変化後の濃度を求める問いです。このときは全体の重さを先に足し引きし、変わらない食塩の重さをその全体で割ります。求めるものが濃度なのか、水の重さなのかを問題文に印を付けて区別しましょう。

食塩の重さを動かさない図

濃度は、食塩水全体の重さに対する食塩の重さの割合です。8% は全体を100と見たとき食塩が8という意味です。水の割合は残りの92%です。食塩水の重さがわかっていれば、食塩の重さは「全体の重さ × 濃度を小数にした数」で求められます。たとえば300 gの8%なら、300 × 0.08で24 gです。

図1のように、食塩と水を横に並べて全体を表します。上の帯は300 gの8%の食塩水で、食塩24 gと水276 gからできています。下の帯は水を加えて480 gにした状態です。食塩の部分を同じ長さにして、水の部分だけを延ばしています。横の長さは重さに比例し、帯の高さは濃度を表していません。

図1では、食塩24 gに対し全体が480 gなので、濃度は24 ÷ 480 × 100で5%です。加える前も後も食塩は24 gですが、割合の基準となる全体は300 gから480 gに増えています。同じ食塩をより大きい全体で割るので、濃度は下がります。水を加えたのに濃度が上がる答えなら、全体と食塩のどちらかを取り違えていないか見直せます。

逆算では、食塩が全体の何%に当たるかを使います。食塩24 gが全体の5%なら、全体の1%は24 ÷ 5で4.8 g、100%は4.8 × 100で480 gです。まとめて24 ÷ 0.05としても同じです。割る数の0.05は5%を表しており、食塩の重さを意味しているわけではありません。

蒸発の場合も、食塩を同じ長さに保った帯を考えます。減るのは水の部分です。全体が小さくなるため、残った食塩の割合は上がります。ただし、水が残っている範囲で考えます。食塩が溶けたままという条件と矛盾するほど水を減らす設定は、ここでは使いません。

基本例題：加える水を求める

問題　8%の食塩水300 gに水を加え、よく混ぜて5%の食塩水にします。加える水は何 gですか。答えは整数で書きましょう。

図2のように、まず変化前の300 gを食塩と水に分けます。次に、同じ24 gの食塩が、変化後の全体の5%を占めると考えます。未知の全体を直接求める前に、動かない量を置くことが順番の要です。

変化前の食塩の重さは、濃度8%を0.08として、次のように出ます。

300 × 0.08 = 24 g

加えるものは水なので、この24 gは変化後も残ります。5%にするには、24 gが全体の5%になればよいのです。まず全体の1%に当たる重さを出します。

24 ÷ 5 = 4.8 g

100%はその100倍です。

4.8 × 100 = 480 g

これは加える水ではなく、加えた後の食塩水全体の重さです。もとの300 gとの差が、加えた水になります。

480 − 300 = 180 g

答えは180 gです。場面へ戻すと、最初の水は300 − 24 = 276 g、加えた後の水は276 + 180 = 456 gです。食塩24 gと水456 gを合わせると480 gで、24 ÷ 480 × 100 = 5%です。全体と濃度の両方が指定どおりになりました。

この確認では、180 gを全体と間違えていないかも見えます。180 gをそのまま全体とすると、300 gあった食塩水に水を加えた後なのに重さが減ってしまいます。計算結果に「食塩」「水」「全体」のどの名前が付くか、式の右側に書く習慣が役立ちます。

標準例題：蒸発後の全体から減った水を出す

問題　6%の食塩水400 gを温め、水だけを蒸発させて10%の食塩水にします。蒸発した水は何 gですか。食塩はすべて溶けたままとし、答えは整数で書きましょう。

最初の食塩の重さは、400 × 0.06 = 24 gです。水だけが蒸発するので、最後にも食塩は24 gあります。この24 gが最後の全体の10%に当たります。10%は全体の10分の1ですから、最後の全体は24 × 10 = 240 gです。小数で計算するなら24 ÷ 0.10 = 240 gです。

はじめの全体400 gから最後の全体240 gを引きます。400 − 240 = 160 gなので、答えは160 gです。蒸発する前の水は400 − 24 = 376 g、蒸発後の水は376 − 160 = 216 gです。食塩24 gと水216 gで全体240 gとなり、24 ÷ 240 × 100 = 10%です。160 gは最初の水376 gより少なく、残る水も正の数です。

食塩の重さが同じ24 gでも、基本例題とこの例題では出発点と目標が違います。加水では全体が増えて濃度が下がり、蒸発では全体が減って濃度が上がります。濃度の数だけを引いて水の重さとすることはできません。濃度の差は割合の差であり、gという重さではないからです。

発展例題：加えてから蒸発させる

問題　12%の食塩水250 gに水125 gを加えてよく混ぜ、その後、水だけを75 g蒸発させます。加水直後と蒸発後の濃度をそれぞれ整数の%で求めましょう。食塩は溶けたままとします。

操作の境目ごとに、全体と食塩を表に分けます。加えた水と蒸発した水は同じ水ですが、途中の濃度を聞かれているので、最初から差だけでまとめると途中の状態が見えません。

はじめの食塩は250 × 0.12 = 30 gです。水125 gを加えると全体は250 + 125 = 375 g、食塩は30 gのままです。したがって加水直後の濃度は30 ÷ 375 × 100 = 8%です。

次に水75 gが蒸発すると、全体は375 − 75 = 300 gです。食塩はなお30 gなので、蒸発後の濃度は30 ÷ 300 × 100 = 10%です。答えは加水直後8%、蒸発後10%です。

表と別に水の量を追って確かめましょう。はじめの水は250 − 30 = 220 gです。加水直後は220 + 125 = 345 g、蒸発後は345 − 75 = 270 gです。それぞれ食塩30 gを足すと375 g、300 gになり、求めた濃度で全体を掛けても375 × 0.08 = 30 g、300 × 0.10 = 30 gと戻ります。

加水と蒸発の差は125 − 75 = 50 gで、最後の全体が最初より50 g多いこととも一致します。この差だけなら最後の全体は出せますが、途中の375 gは出せません。何を聞かれているかで、途中の行を残す必要があるかが分かれます。

水を加える量と蒸発する量が同じなら、最後の全体も濃度も元に戻ります。蒸発する量が加えた量より大きければ、最終的な全体は元より小さくなり、濃度は元より高くなります。ただし、各時点で水が足り、食塩が溶けたままという条件を満たす場合の話です。

誤答から食塩の行を取り戻す

標準例題で「400 gから160 gが蒸発したので、食塩24 gも同じ割合で減り、14.4 gになる」と考えたとします。400 gのうち160 gは40%だから、食塩も40%減らすという計算です。計算そのものは24 × 0.6 = 14.4ですが、場面に合いません。

図3のように、最初の400 gを食塩24 gと水376 gに分けると、160 gが消える場所は水の部分です。残りは食塩24 gと水216 gで、合わせて240 gです。帯の横の長さは重さに比例しています。食塩まで減らすと、問題の「水だけ」という条件を破ってしまいます。

原因は、食塩水全体が均一であることと、減るものが食塩水全体であることを混同した点にあります。均一に混ざっていても、ここで外へ出るのは水です。もし食塩水そのものを取り出すなら食塩も出ますが、それは別の操作です。問題文の動詞に戻り、何が外へ出たかを決めてから計算を直します。

もう一つの誤りは、最後の全体240 gを蒸発した水と答えることです。240 gは残った食塩と水を合わせた重さで、求めたい減少分ではありません。図の前後の右端の差が160 gだと読み替えれば、どの量を引くのかが見えます。答えを出したら、食塩24 gを残して水だけが160 g減った状態を再現してみてください。

練習：変化の前後を追う5問

いずれも食塩は完全に溶け、食塩水は均一です。加えるのは水、蒸発するのも水だけで、食塩は溶けたままとします。容器の重さは考えません。

1. 15%の食塩水240 gに水を加え、9%にします。加える水の重さを整数の gで求めましょう。
2. 8%の食塩水350 gから水を蒸発させ、14%にします。蒸発した水の重さを整数の gで求めましょう。
3. 5%の食塩水180 gに水120 gを加えます。よく混ぜた後の濃度を整数の%で求めましょう。
4. 7%の食塩水500 gから水150 gを蒸発させます。残った食塩水の濃度を整数の%で求めましょう。
5. 12.5%の食塩水320 gに水を加えて8%にし、その後、水だけを100 g蒸発させます。加えた水の重さを整数の g、蒸発後の濃度を整数の%で求めましょう。

練習の答えと道筋

1. 160 g。食塩は240 × 0.15 = 36 gです。36 gが全体の9%となる全体は36 ÷ 0.09 = 400 gなので、400 − 240 = 160 gを加えます。水は最初204 g、後には364 gです。36 + 364 = 400 g、36 ÷ 400 × 100 = 9%と戻せます。

2. 150 g。食塩は350 × 0.08 = 28 gです。28 gが全体の14%となる全体は28 ÷ 0.14 = 200 gです。350 − 200 = 150 gが蒸発しました。最初の水322 gから150 gを引くと172 gで、食塩28 gと合わせて200 gです。28 ÷ 200 × 100 = 14%も確かめられます。

3. 3%。食塩は180 × 0.05 = 9 g、加水後の全体は180 + 120 = 300 gです。9 ÷ 300 × 100 = 3%です。最初の水171 gに120 gを足すと291 gで、食塩9 gとの合計は300 gです。300 × 0.03 = 9 gなので食塩の重さにも戻ります。

4. 10%。食塩は500 × 0.07 = 35 g、蒸発後の全体は500 − 150 = 350 gです。35 ÷ 350 × 100 = 10%です。最初の水465 gから150 gを引けば315 gで、35 + 315 = 350 gです。350 × 0.10 = 35 gとなり、食塩も一致します。

5. 加えた水180 g、蒸発後10%。食塩は320 × 0.125 = 40 gです。8%のときの全体は40 ÷ 0.08 = 500 gなので、加水量は500 − 320 = 180 gです。その後の全体は500 − 100 = 400 gで、40 ÷ 400 × 100 = 10%です。水を追うと280 gから460 g、次に360 gとなります。40 + 460 = 500 g、40 + 360 = 400 gで、それぞれ40 ÷ 500 × 100 = 8%、40 ÷ 400 × 100 = 10%です。

覚えておくこと

• 水だけを加える、または蒸発させるなら食塩の重さは変わりません。
• 食塩の重さは、食塩水全体の重さに濃度を掛けて求めます。
• 目標の濃度から全体を出すときは、食塩の重さを濃度で割ります。
• 前後の全体の差が、加えた水または蒸発した水の重さです。
• 答えを食塩と水に分けて、全体と濃度を元の条件に戻します。

どこで止まったかを見分ける

お子さまが式を立てられないときは、まず前後の食塩、水、全体の3つを表に書けるかを見ます。食塩が変わると書いたなら、問題文の「水だけ」に線を引き、実際に減る部分を帯に示します。食塩を固定できても全体を掛け算で求めた場合は、食塩が全体の何%なのかを言葉にし、1%から100%へ戻す手順を確認します。

答えが合っていても、求めた240 gを蒸発量と呼んでいないか、単位と量の名前を尋ねます。個別指導では式の正誤だけで終えず、加水なら水が増える前後、蒸発なら水が減る前後をお子さま自身の言葉で説明してもらいます。食塩を動かさず、水と全体の変化を区別できれば、逆算の意味が見えてきます。