中学受験の算数 濃度の混合—食塩の量を面積図にして混ぜた後の割合を求める｜武蔵野個別指導塾

異なる重さの食塩水を混ぜ、食塩と全体の重さから割合を求めます。単純平均が使える条件から濃度の混合を考えます。

よくあるのは、2つの食塩水を混ぜるとき、濃度の数字を足して2で割る場面です。濃い方が少し、薄い方がたくさん入っていても、同じ計算をしてよいのでしょうか。食塩水の重さに目を向けると、その答えが見えてきます。

混ぜる前のそれぞれに含まれる食塩の重さを出し、混ぜた後の全体の重さで割ります。食塩水は均一で、混ぜる途中にこぼれたり蒸発したりしないものとします。重さはすべてgで考えます。

何を求める問題かを見分ける

最初の型は、2種類の食塩水の重さと濃度がわかっていて、混ぜた後の濃度を求めるものです。例えば濃い食塩水が100g、薄い食塩水が300gなら、混ぜた全体は400gです。ただし食塩の重さは濃度を見てそれぞれ計算する必要があります。400gを先に出すことと、食塩を先に出すことの順番は入れ替えてもかまいません。

次の型は、混ぜる前後の濃度と一方の重さから、もう一方の重さを求めるものです。全体の重さが初めから決まらないので、濃度の差と混ぜる重さの比に注目します。比で重さを求めた後も、食塩を実際に足して確かめます。

もう一つは、混ぜた後の濃度として示された数が正しいかを判定する型です。混ぜる重さが等しいときは濃度の真ん中になりますが、重さが異なれば多い方の濃度に近づきます。真ん中からずれているだけで間違いとは決められません。

求めるものが濃度なら答えの単位は%です。食塩の重さならg、食塩水の重さもgですが、両者は別の量です。問題文の数字の横に「食塩水」「食塩」「割合」と書き添えてから、同じ種類の量を足すようにしましょう。

面積図で基準と食塩を分ける

濃度は、食塩水全体を基準にした食塩の割合です。10%の食塩水100gには食塩が10g入っています。食塩の重さは「食塩水の重さ × 濃度を小数にした数」で求められます。10%なら0.1、4%なら0.04です。残りは水なので、食塩と水を足すと食塩水の重さになります。

図1のように、横の長さを食塩水の重さ、縦の高さを濃度として表します。長方形の面積は、食塩水の重さに割合をかけた食塩の重さに対応します。図は横1目盛りを100g、縦1目盛りを10%にそろえています。

図1では、10%の100gに食塩が10g、5%の200gにも食塩が10gあります。濃度は違っても、横の長さと高さの両方が関係するため、面積は等しくなります。食塩の合計は20g、食塩水の合計は300gです。面積を合わせて全体の幅300gに広げた高さが、混合後の濃度を表します。

割合を出すときは、食塩の重さを食塩水全体の重さで割ります。この例では20 ÷ 300 = 1/15です。百分率にすると 1/15 × 100 = 20/3%です。分数のまま扱えば、割り切れない割合も正確に表せます。

2枚の長方形の横幅が等しいとき、面積の合計を2枚分の横幅いっぱいに均すと、高さは元の2つの高さの平均になります。横が違うときには、幅が広い方の高さが全体に強く影響します。したがって、濃度だけを見て2で割る方法には、混ぜる重さが等しいという条件が必要です。

基本例題：食塩を別々に数える

6%の食塩水100gと12%の食塩水200gを混ぜます。よく混ぜた後の濃度を整数の%で求めましょう。

図2のように、横幅を100gと200gに分け、縦の高さを6%と12%に合わせます。食塩の重さに当たる2つの面積を合計して考えます。

まず6%を小数0.06に直し、薄い方の食塩を計算します。

100 × 0.06 = 6g

次に12%を小数0.12に直し、濃い方の食塩を計算します。

200 × 0.12 = 24g

混ぜた後の食塩は、2つの食塩を足した重さです。

6 + 24 = 30g

食塩水の全体も足します。

100 + 200 = 300g

食塩が全体の何倍かを求め、百分率にします。

30 ÷ 300 = 0.1

0.1 × 100 = 10%

答えは10%です。濃度の数字をそのまま平均すると9%ですが、濃い方が2倍の重さなので、正しい答えは12%に近い10%になります。

元の条件に戻して確かめます。薄い方の水は100 − 6 = 94g、濃い方の水は200 − 24 = 176gです。水は270g、食塩は30gで、合わせて300gです。300gの10%は30gとなり、混ぜる前の食塩の合計と一致します。

標準例題：等しい重さのとき

4%の食塩水150gと14%の食塩水150gを混ぜます。よく混ぜた後の濃度を整数の%で求めましょう。

食塩はそれぞれ150 × 0.04 = 6g、150 × 0.14 = 21gです。合わせると6 + 21 = 27gになります。全体は150 + 150 = 300gですから、27 ÷ 300 × 100 = 9%です。

元の食塩水に戻すと、水は144gと129gです。水の合計273gと食塩27gを足して300gとなり、300gの9%は27gです。濃度の差は10ポイントで、その半分の5ポイントを4%に足しても9%になります。これは2つの重さが等しいためです。

同じ濃度どうしなら、重さが異なっていても混合後の濃度は変わりません。例えば両方が4%なら、どちらの食塩水も100gあたり4gの食塩を含むからです。濃度が違うときの単純平均については、重さが等しいかを必ず確認します。

発展例題：混ぜる重さを逆にたどる

3%の食塩水と15%の食塩水を混ぜて、9%の食塩水を240g作ります。それぞれ何g混ぜたかを整数で求めましょう。

混合後の9%は3%と15%のちょうど真ん中です。低い方からは6ポイント上がり、高い方からは6ポイント下がっています。低い方の不足分と高い方の余分が打ち消し合うには、同じ重さずつ混ぜればよいと考えられます。

240 ÷ 2 = 120gです。3%と15%の食塩水をそれぞれ120g混ぜます。なぜ等しくなければならないかも、食塩の量で確かめます。9%の食塩水120gに対し、3%の120gは食塩が120 × 0.06 = 7.2g不足します。15%の120gは同じ7.2gだけ余分です。この不足と余分が等しくなるので、9%に均すことができます。

別の表にして元の条件を確かめます。

21.6 ÷ 240 × 100 = 9%で、指定された全体の重さと濃度に戻ります。水も116.4 + 102 = 218.4gで、食塩と合わせて240gです。

目標が真ん中ではない場合は、差の大きい方の食塩水を少なくします。例えば3%と15%から6%を作る場合、6%との差はそれぞれ3ポイントと9ポイントです。同じ重さあたりの不足は余分の3分の1なので、不足を3組集めると余分の1組と釣り合います。混ぜる重さの比は3%側が3、15%側が1です。この比は濃度の差を反対側に置いたものです。

目標が2つの濃度の間にない場合も考えます。両方を正の重さだけ混ぜると、濃度は両方の間になります。例えば3%と15%から20%は作れません。濃い方をどれほど多くしても、薄い方を加えると15%より下がるためです。目標が端の濃度そのものなら、濃度が異なるもう一方の重さは0gになります。問題が両方を使うと指定していれば、その条件は満たせません。

間違いを食塩の量に戻す

基本例題で「6と12の平均だから9%」とした場合を考えます。図3のように、濃い方は薄い方の2倍の重さです。濃度の数字を1回ずつ数えると、濃い方の半分を見落としています。

図3の3つの同じ幅は、それぞれ100gを表します。薄い100gが1区画、濃い200gが2区画です。濃い方も100gずつに分ければ、6%、12%、12%の3つを同じ重さとして平均できます。6 + 12 + 12 = 30、30 ÷ 3 = 10%です。

誤答の9%を条件に戻すと、300gの9%は27gです。混ぜる前の食塩は6 + 24 = 30gなので、3g足りません。濃度の答えが2つの濃度の間に入っていても、それだけでは正解とは限らないことがわかります。食塩の合計に戻して確認することが必要です。

もう一つの間違いは、6gと24gを足した30gを、濃度だと思って30%と答えることです。30gは食塩の重さであり、割合ではありません。何gを基準にするかを問い直し、混合後の全体300gで割ってから%に直します。

練習問題

次の5問は、どれも均一な食塩水をこぼさずによく混ぜるものとします。答えを先に見ずに、食塩と全体の重さをそれぞれ書き出しましょう。

1. 5%の食塩水200gと11%の食塩水100gを混ぜます。濃度を整数の%で求めましょう。
2. 8%の食塩水250gと2%の食塩水250gを混ぜます。濃度を整数の%で求めましょう。
3. 4%の食塩水300gと10%の食塩水200gを混ぜます。濃度を小数の%で求めましょう。
4. 2%の食塩水と14%の食塩水を混ぜ、5%の食塩水を400g作ります。それぞれの重さを整数のgで求めましょう。
5. 6%の食塩水80gと9%の食塩水160gを混ぜます。濃度を整数の%で求めましょう。

練習の答えと確かめ

1. 食塩は200 × 0.05 = 10g、100 × 0.11 = 11gです。全体は300g、食塩は21gなので、21 ÷ 300 × 100 = 7%です。水は190gと89gで計279g、食塩21gを加えると300gです。300gの7%は21gに戻ります。

2. 食塩は250 × 0.08 = 20g、250 × 0.02 = 5gです。合計25gを全体500gで割り、25 ÷ 500 × 100 = 5%です。水は230gと245gで475g、食塩と合わせて500gです。500gの5%は25gです。

3. 食塩は300 × 0.04 = 12g、200 × 0.10 = 20gです。全体500gに32gの食塩があるので、32 ÷ 500 × 100 = 6.4%です。水は288gと180gで計468g、食塩32gと合わせて500gです。500gの6.4%は32gです。

4. 5%との差は、2%側が3ポイント、14%側が9ポイントです。重さの比は2%側と14%側で3対1になります。400 ÷ 4 = 100gを1とすると、2%側は300g、14%側は100gです。食塩は300 × 0.02 = 6gと100 × 0.14 = 14gで、合計20gです。水は294gと86gで計380gです。全体400gの5%は20gとなり、条件に戻ります。

5. 食塩は80 × 0.06 = 4.8g、160 × 0.09 = 14.4gです。全体240g、食塩19.2gなので、19.2 ÷ 240 × 100 = 8%です。水は75.2gと145.6gで計220.8g、食塩と合わせて240gです。240gの8%は19.2gです。

濃度の差を使う方法では、割合の差と食塩の重さの差を混同しないようにします。3ポイントは100gあたり3gの差ですが、200gなら6gの差です。重さを決めた後は、割合の差だけで終えず、実際の食塩の重さを求めて釣り合いを確かめます。2種類を混ぜたとき、水の重さもそれぞれから食塩を引いて足せば、全体の重さが失われていないことを確認できます。

覚えておきたいこと

食塩はそれぞれの食塩水の重さに濃度をかけて出します。 混合後の濃度は食塩の合計を食塩水の合計で割って求めます。 濃度が違う2種類の単純平均は、混ぜる重さが等しいときに使えます。 答えを食塩と水の重さに戻して、元の条件を確かめます。

どこで止まったかを見つける

お子さまが濃度を平均したときは、すぐに計算の手順を覚え直す前に、2つの食塩水の重さが等しいと見ているのかを尋ねます。等しい幅の区画に分けられれば、濃い方を何区画として数えるかが見えます。区画を描けるのに答えが合わないときは、%を小数に直すところや、最後に100をかけるところを順に確かめます。

個別指導では、食塩水の重さと食塩の重さを別々に説明できるか、答えを元の食塩量に戻せるかを見ます。比を使う問題では、濃度の差と重さの比が逆になる理由を、不足と余分の量で説明できるかも確かめます。混ぜる前の2つの量を丁寧に追うと、混ぜた後の割合の意味が見えてきます。