中学受験の算数 旅人算の折り返し—向きが変わる前後を分けて二度目の出会いを追う｜武蔵野個別指導塾

両端で向きを変える2人の位置を表にし、二度目の出会いまでの道のりをたどり、位置から折り返しを追います。

よくあるのは、直線の道を進む2人のうち、先に端に着いた人が折り返した後も、小学生が同じ向きの追いつきとして速さの差を使い続ける場面です。折り返した人の矢印を書き直すと、次に近づく速さが足し算なのか引き算なのかを判断できます。

端での折り返しに時間はかからず、歩いている間の速さはそれぞれ一定とします。出会っても止まらずに進み、端に着いたときだけ向きを変えます。道の長さ、出発時刻、向きを先に整理し、二度目の出会いの位置まで確かめましょう。

何を求める問題か

一つ目の型は、道の両端から同時に出た2人の速さと端から端までの長さが与えられ、二度目に出会うまでの時間を求めるものです。出発してからの時間なのか、最初に出会ってからの時間なのかで答えは変わります。問題がどちらを尋ねるかに印を付けます。

二つ目は、二度目に出会う場所を求める型です。時間がわかっても、それを速さにかけた道のりは、折り返し後の位置と同じではありません。端を越えて進んだことにはせず、端に着くまでと折り返してからを分けます。出発した端からの距離を尋ねられた場合は、どちら側の端を基準にするかまで読み取ります。

三つ目は、速さや道の長さを変えたとき、出会いと折り返しがどの順に起きるかを考える型です。2人が同じ速さなら両端に同時に着きます。速さが違えば通常は一方が先に端に着きますが、その人が次の端に着く時刻と二度目の出会いが重なることもあります。出来事の時刻を並べると、途中で向きが変わる可能性を見落としません。

往復の道のりと位置を区別する

道の左端をA、右端をBとします。左端から右へ進む人と右端から左へ進む人を考えると、2人が向かい合う間は、1分ごとに2人の進む道のりの和だけ間隔が縮みます。出会うまでの時間は、はじめの間隔をこの和で割ります。

最初の出会いでは、2人の進んだ道のりの合計はAからBまでの長さ1本分です。たとえば道が600 mなら、片方が400 m、もう片方が200 m進んで出会う場合も、合計は600 mです。道のどの部分を誰が進んだかは違いますが、2人の道のりをつなぐと端から端までちょうど1本になります。

図1のように、出発時に右へ向かう人がBで、左へ向かう人がAで折り返した後に、2人が道の途中で二度目に出会うとします。このとき、出発から二度目の出会いまでの2人の道のりを合わせると、道の長さの3本分です。左から出た人はAからBまでの1本とBから出会いの場所まで、右から出た人はBからAまでの1本とAから出会いの場所まで進みます。後半の2区間を合わせるともう1本になるからです。

図1では、上の段が各人の最初の1本、下の段が折り返し後の道のりです。下の2つは出会いの場所でつながり、合計で1本になります。線の位置は模式的なもので、2人の速さの比を示す図ではありません。この3本分という見方を使うには、2人がそれぞれ最初の反対側の端に着いてから二度目に出会うことを確認します。

ただし、道の長さの3倍を速さの和で割って出た時刻が、2人の最初の折り返しより後かつ、速い人の2回目の折り返しより前であることを検証しなければなりません。後者と同時の場合は端で出会います。そこまでに向きが想定どおり変わるかを確かめないと、別の出来事を二度目と間違えるおそれがあります。

道のりと位置は違う量です。左端から出て800 m歩いた人が、長さ600 mの道の右端で折り返したなら、右端から200 m戻っています。左端からの位置は400 mです。800 mは歩いた合計、400 mは左端から今いる場所までの距離です。位置を出すときには、折り返すたびに足す向きと引く向きを見直します。

基本例題：出会いまでの3本をたどる

長さ600 mのまっすぐな道の両端A、Bから、2人が同時に出発します。Aから出る人は毎分80 m、Bから出る人は毎分40 mで進み、両端で直ちに折り返します。出会っても歩き続けます。出発から二度目に出会うまでの時間を整数の分で、場所をAからの距離として整数のmで求めましょう。

まず、2人が最初に出会うまでに進む道のりの合計は600 mです。1分間に2人が合わせて進む道のりは次のとおりです。

80 + 40 = 120 m

600 ÷ 120 = 5分

5分後にはAからの人が80 × 5 = 400 m、Bからの人が40 × 5 = 200 m進みます。400 + 200 = 600 mなので、最初の出会いはAから400 mの場所です。向かい合っている間は、2人の速さを足す理由がここにあります。

それぞれが反対側の端に着く時刻を調べます。Aからの人は600 ÷ 80 = 7.5分後にBに着き、左向きに変わります。Bからの人は600 ÷ 40 = 15分後にAに着き、右向きに変わります。7.5分後から15分後までは2人とも左向きです。その間の位置関係を見て、出会いがないことを確かめます。

7.5分後、Bからの人は40 × 7.5 = 300 m進み、Aから300 mの場所にいます。Aからの人はB、つまりAから600 mの場所です。間隔は300 mで、後ろから進む人は毎分80 m、前の人は毎分40 mです。このままなら300 ÷ (80 − 40) = 7.5分で追いつきます。ちょうど15分後であり、その瞬間は両人がAで出会います。

図2のように、この基本例では二度目の出会いとBからの人の折り返し、Aからの人の2回目の折り返しが同じ瞬間です。端で出会う場合も出会いに含めます。出発から二度目までは15分、場所はAから0 mです。

図2の3段はそれぞれ出発、最初の出会い、二度目の出会いを表します。15分後の道のりで確かめると、Aからの人は80 × 15 = 1200 m、Bからの人は40 × 15 = 600 mです。前者はAからBへ600 m、BからAへ600 m、後者はBからAへ600 m進み、両方ともAにいます。道のりの合計は1800 mで、600 mの3本分です。

この端での出会いは、折り返した後に向かい合う区間が長く続く例とは区別します。15分より前には同方向で間隔が正であり、15分ちょうどで0になるため、途中に別の出会いはありません。端で向きを変えた直後に同じ場所にいることを、新しいもう一回の出会いとして重ねて数えないようにします。

標準例題：両方が折り返してから出会う

長さ900 mの道の両端P、Qから2人が同時に出ます。Pからの人は毎分70 m、Qからの人は毎分50 mで進み、端で直ちに折り返します。出会っても止まりません。出発から二度目に出会うまでの時間を小数の分で、場所をPからの距離として整数のmで求めましょう。

最初は向かい合うので、900 ÷ (70 + 50) = 7.5分後に出会います。Pからの人は70 × 7.5 = 525 m、Qからの人は50 × 7.5 = 375 m進み、合計900 mです。

二度目の候補は、道の長さ3本分を2人の速さの和で割ります。

900 × 3 = 2700 m

2700 ÷ (70 + 50) = 22.5分

この候補の前後関係を確かめます。Pからの人が初めてQに着くのは900 ÷ 70 = 90/7分後、Qからの人が初めてPに着くのは900 ÷ 50 = 18分後です。候補の22.5分はどちらよりも後です。Pからの人がQからPへ戻るのは出発から180/7分後なので、22.5分はその前です。したがって、候補時刻では2人とも最初の折り返しを終え、次の端には着いていません。

位置に戻すと、Pからの人は70 × 22.5 = 1575 m歩きました。Qまでの900 mを除くと、Qから675 m戻っています。Pからは900 − 675 = 225 mです。一方、Qからの人は50 × 22.5 = 1125 m歩き、Pまでの900 mの後、Pから225 m進んでいます。同じ225 mの位置になり、条件が合います。

出会いが抜けていないかも見ます。最初に出会ってから一方が折り返すまで、2人は遠ざかります。その後、2人が同じ向きになっている間に追いつくなら、速い人が次の端に着く前に追いつく必要があります。この例では18分後の時点でPからの人はQから360 m戻り、Pから540 m、もう一方はPにいます。両者の間には540 mあり、この時点からは向かい合うので540 ÷ 120 = 4.5分後に初めて再会します。18 + 4.5 = 22.5分です。

発展例題：出会いが端と重なる境目

長さ720 mの通路の両端C、Dから2人が同時に出発し、Cからの人は毎分90 m、Dからの人は毎分30 mで進みます。両端では直ちに折り返し、出会っても進み続けます。出発から二度目に出会うまでの時間を整数の分で、場所をCからの距離として整数のmで答えましょう。

最初の出会いは720 ÷ (90 + 30) = 6分後です。このときCからの人は540 m、Dからの人は180 m進んでいます。Cからの人がDに着くのは720 ÷ 90 = 8分後です。その時点でDからの人は240 m進み、Cから480 mの場所にいます。2人の間隔は720 − 480 = 240 mです。

ここから2人はともにCの向きに進みます。後ろの速い人は1分に90 − 30 = 60 mずつ間隔を縮めるので、追いつくまで240 ÷ 60 = 4分です。出発から8 + 4 = 12分後が二度目の出会いです。Dからの人は30 × 12 = 360 m進んでおり、Cから720 − 360 = 360 mの場所です。

Cからの人についても、90 × 12 = 1080 m歩き、Dまでの720 mの後に360 m戻ったので、Cから360 mです。2人の道のりの合計は1080 + 360 = 1440 mで、道の2本分です。この例では片方が2回目の端に着く前に、同方向で二度目の出会いが起きています。3本分を使う条件に当てはめられません。

速い人の速さが遅い人のちょうど2倍なら、基本例と同じく、遅い人が初めて反対側の端に着く時刻に速い人もその端へ戻ります。速さが2倍を超えると、発展例のように遅い人が端へ着く前に同方向で追いつきます。速さの比が1倍より大きく2倍未満なら、双方が一度ずつ折り返した後、向かい合って再会します。この境目は暗記するより、端への到着時刻と追いつく時刻を比べて判断すると確実です。同じ速さの場合も、両者が同時に反対側の端で折り返し、戻る途中で二度目に出会います。

誤答を矢印から直す

標準例の18分後を見直します。Pからの人はPから540 m、Qからの人はPにいて、2人の間隔は540 mです。ここで「70 − 50 = 20 mずつ近づくから、540 ÷ 20 = 27分」とするのは誤りです。18分後は両者がそれぞれ最初の端で折り返した後なので、Pからの人は左向き、Qからの人は右向きです。

図3のように矢印が向かい合えば、1分に70 mと50 mが間隔の両側から減ります。したがって540 ÷ (70 + 50) = 4.5分が正しい追加時間です。18分に4.5分を足し、出発から22.5分と答えます。出会うまでの追加時間と出発からの経過時間も混同しないようにしましょう。

一方、発展例の8分後は2人とも左向きです。図3の向かい合う図をそのまま使って速さを足すと、実際より早く間隔がなくなることになります。まず時刻を決め、その瞬間の位置と進む向きを書くことが修正の出発点です。矢印が同じ向きなら後ろの人と前の人の速さを比べ、後ろの人が速い場合に差だけ間隔が縮みます。後ろが同じ速さか遅ければ、その区間では追いつきません。

練習問題

いずれもまっすぐな道の両端から2人が同時に出発し、それぞれ一定の速さで歩きます。端では時間をかけず折り返し、出会っても止まりません。端での出会いも数え、同じ瞬間を重ねて数えないものとします。

1. 長さ480 mの遊歩道の両端から、毎分50 mと毎分30 mの2人が出ます。出発から最初と二度目に出会うまでの時間を、それぞれ整数の分で求めましょう。
2. 長さ840 mの道の左端から毎分60 m、右端から毎分40 mの2人が出ます。二度目の出会いの場所を左端からの距離として整数のmで求めましょう。
3. 長さ540 mの通路の両端から、毎分80 mと毎分40 mの2人が出ます。出発から二度目に出会うまでの時間を小数の分で求めましょう。
4. 長さ640 mの道の左端から毎分80 m、右端から毎分20 mの2人が出ます。二度目の出会いの場所を左端からの距離を既約分数のmで求めましょう。
5. 長さ450 mの道の両端から、2人がともに毎分30 mで出ます。出発から二度目に出会うまでの時間を小数の分で、場所を左端からの距離として整数のmで求めましょう。

練習問題の答えと道筋

1. 最初は480 ÷ (50 + 30) = 6分です。二度目は480 × 3 ÷ 80 = 18分です。速い人の最初の端への到着は9.6分、遅い人は16分、速い人の2回目の端への到着は19.2分です。18分は両方の最初の折り返し後で次の端の前です。速い人は900 m歩いて端から420 m戻り、出発側から60 mの場所です。遅い人は540 m歩いて反対の端から60 m戻り、同じ場所です。したがって答えは6分と18分です。

2. 二度目の候補は840 × 3 ÷ (60 + 40) = 25.2分です。左の人は14分、右の人は21分で最初の端に着き、左の人の2回目の到着は28分です。25.2分はその間にあります。左の人は60 × 25.2 = 1512 m歩き、右端から672 m戻っています。左端から840 − 672 = 168 mです。右の人も40 × 25.2 = 1008 m歩き、左端で折り返して168 m進むので一致します。答えは168 mです。

3. 最初は540 ÷ 120 = 4.5分後です。速い人は540 ÷ 80 = 6.75分後、遅い人は540 ÷ 40 = 13.5分後に最初の端に着きます。候補は540 × 3 ÷ 120 = 13.5分で、速い人の2回目の端への到着もその時刻です。速い人は1080 m、遅い人は540 m歩き、遅い人の出発の反対側の端で2人が出会います。答えは13.5分です。

4. 左からの人は640 ÷ 80 = 8分で右端に着きます。そのとき右からの人は160 m進み、左端から480 mの場所にいます。間隔は160 mで、同方向の速さの差は60 mです。追いつくまで160 ÷ 60 = 8/3分、出発から32/3分です。右からの人は20 × 32/3 = 640/3 m歩き、左端から640 − 640/3 = 1280/3 mの位置です。左からの人も80 × 32/3 = 2560/3 m歩き、右端から640/3 m戻って同じ位置です。答えは1280/3 mです。

5. 最初は450 ÷ (30 + 30) = 7.5分後です。両人は15分後に同時に反対側の端で折り返します。そこから向かい合い、450 ÷ 60 = 7.5分後に再会するので、出発から22.5分です。それぞれ30 × 22.5 = 675 m歩き、450 mの後に225 m戻ります。どちらも左端から225 mにいるので、答えは22.5分、225 mです。

覚えておくこと

• 折り返しごとに位置と向きを書き直します。
• 向かい合う間は速さの和、同方向で追いつく間は速さの差を使います。
• 道のり3本分は、その時刻までの折り返し順が合うときに使います。
• 求めた時刻を両人の位置に戻し、同じ場所になるか確かめます。
• 端での出会いも1回として、同じ瞬間を重ねて数えません。

つまずいた場所を見つけるには

お子さまが速さを足すか引くか迷うときは、式をすぐに直す前に、ある時刻の2人の位置を紙の左右に置いてもらいます。それぞれの矢印を1分間だけ伸ばすと、間隔が両側から減るのか、後ろの人が前の人との差だけ詰めるのかを見分けられます。矢印と式が合っていれば、次はその区間がいつまで続くかを尋ねます。

個別指導で確かめたいのは、答えの数だけでなく、時刻の起点と端で向きを変えた回数です。歩いた合計をそのまま位置とした場合は、端までの道のりを取り除き、残りをどちら向きに進んだかを図に戻します。最後に2人の位置が一致するところまで説明できれば、折り返し前後の区別が計算と結びつきます。