中3数学 円周角の定理の逆—点の側と角の条件から同じ円上にあることを示す｜武蔵野個別指導塾

点が弦の同じ側にある条件と等角を手掛かりに、円周への所属を示す筋道を追えます。

よくあるのは、4点が同じ円周上にあることを証明する前から、4点を円に乗せて描き、その円周角が等しいと理由にしてしまう場面です。見た目は結論に合っていても、確かめるべきことを途中で使ってしまうと証明は進みません。与えられた角の等しさから出発し、点が円周に乗るまでの道筋をたどります。

円に乗る前と後を区別する

問いにはいくつかの姿があります。1つ目は、直線ABの同じ側にある2点C、Dについて、∠ACB = ∠ADBが与えられたとき、4点A、B、C、Dが同じ円周上にあると示す型です。等しい角がどちらも線分ABを見込むことと、2点が同じ側にあることが鍵です。

2つ目は、平行線や三角形の性質から等しい角を見つけ、その後に円周上の所属を示す型です。初めから等角が明記されていないので、角の根拠を先に書きます。3つ目は、円周上にあるという結論を使って別の角を求める型です。円への所属を示す前後で、使える事実が変わります。

目標は、図の丸い形を見て判断することではありません。仮定から等角と位置を確認し、円への所属を結論として書くことです。所属を証明した後なら、同じ円の円周角として角を比較できます。文部科学省の中学校学習指導要領解説数学編では、第3学年の図形に円周角と中心角の関係が含まれます。

同じ弦を見込む角の逆

円周角の定理から、同じ弧に対する円周角は等しくなります。たとえばA、B、C、Dが同じ円周上にあり、CとDが直線ABの同じ側にあれば、∠ACBと∠ADBは同じ弧ABに対する円周角なので等しくなります。ここでは円周上にあることが出発点です。

その逆では、出発点と結論が入れ替わります。A、Bを異なる2点とし、C、Dは直線ABの同じ側にある異なる2点とします。∠ACB = ∠ADBならば、A、B、C、Dは同じ円周上にあります。この事実を円周角の定理の逆として使います。C、Dが直線AB上にないことも、同じ側という条件に含まれます。

図1のように、線分ABを両方の角が見込んでいます。CとDの角の頂点は異なりますが、角の両辺は共通の端点A、Bへ向かいます。どちらか一方の角の名前を逆順にして∠BCAと書いても角は同じですが、∠CABでは頂点がAに変わります。真ん中の文字を確認してください。

図1の円は、等角から得られる結論を示すために描いています。問題の図に円が描かれていなくても、この逆を使えば所属を示せます。逆に、円らしく描かれているだけでは、与えられた条件として円周上にあると読んではいけません。

逆の判断では、先にA、B、Cを通る円を考え、与えられた等角がDの位置をその円周に定めると捉えます。同じ側に限ることによって、同じ線分を同じ大きさに見込む点を区別できます。証明では、この逆の条件を確かめてからDの所属を書きます。

なぜ同じ側が必要なのでしょうか。直線ABの反対側に点を置くと、等しい角であっても同じ円に乗らない場合があります。後の反例で具体的に確かめます。一方、反対側にある場合も、特別な条件があれば円に乗ります。位置を確認した後、その条件を別に調べます。

基本例題と標準例題

次の2題を先に考えます。角度は度を単位とする整数で答え、所属の根拠も書いてください。

基本例題。A、Bを両端とする直線の同じ側に、異なる点C、Dがあります。∠ACB = 90°、∠ADB = 90°です。4点A、B、C、Dが同じ円周上にあることを示し、この円の直径を答えてください。

標準例題。三角形ABCの辺AB上に点D、辺AC上に点Eがあり、D、Eはいずれも端点と異なります。BEとCDは点Pで交わり、BEはACに垂直、CDはABに垂直です。Pは三角形ABCの内部にあります。4点A、D、P、Eが同じ円周上にあることを示し、∠DAP = 38°のとき∠DEPを求めてください。

基本例題の解き方

図2のように、角の頂点C、Dは直線ABの同じ側です。2つの角は同じ線分ABを見込み、与えられた大きさが等しいので、円周角の定理の逆が使えます。

与条件から∠ACB = 90°、∠ADB = 90°です。したがって∠ACB = ∠ADBです。直線ABの同じ側という位置も合わせると、4点A、B、C、Dは同じ円周上にあります。この円で∠ACBは90°なので、その見込む弧ABに対する中心角は180°です。よってABは直径です。図2の直径は結論であり、等角を示すための仮定ではありません。

確かめとして、直径ABに対する円周角は90°なので、円への所属と直径の結論から、問題で与えられた2つの直角に戻れます。この確認は、先の逆を使った証明に代わるものではありません。図では円を描いていますが、作図の見た目から直角を読み取ったわけでもありません。

標準例題の解き方

DはAB上、PはCD上にあるため、CDとABが垂直であることから∠ADP = 90°です。同様にEはAC上、PはBE上なので、∠AEP = 90°です。DとEは直線APの反対側にあります。ここで無理に同じ側の等角を探さず、直径を使う別の道を選びます。

APを直径とする円を考えます。直角三角形ADPでは、斜辺APの中点は3頂点から等距離にあります。したがってDはこの円周上です。同じ理由でEもこの円周上にあります。よってA、D、P、Eは同じ円周上です。DとEは直線APの反対側にあるので、四角形A、D、P、Eはこの順に円に内接します。

∠DAPと∠DEPは同じ弧DPに対する円周角です。AとEは直線DPの同じ側にあるため、2つの角は等しく、∠DEP = 38°です。

答えは38°です。両角は同じ弧DPを見込み、38°同士で等しいので与えられた角に戻ります。DとEは直線APの反対側ですが、比較する角の頂点AとEは直線DPの同じ側にあることが大切です。直径を利用する方法も、各点がその円に属する理由を示してから円周角を使っています。

発展例題：等角を作ってから所属を示す

三角形ABCで、Dは辺ABの内部、Eは辺ACの内部にあり、DEはBCに平行です。さらに∠ABC = 47°、∠ACB = 68°です。4点B、C、D、Eが同じ円周上にあるか判断し、理由を示してください。角度は度を単位とする整数で答えます。

平行だから4点が円に乗る、とは言えません。DEとBCが平行であることからわかるのは、平行線にできる角の関係であって、円周上の所属には別の条件が必要です。BとDは直線AB上、CとEは直線AC上です。四角形B、C、E、Dが円に内接するなら、対角∠ABCと∠CEDの和は180°です。

DEとBCは平行で、EAはCAと同じ向きですから、∠AED = ∠ACB = 68°です。EでEAとECは反対向きなので、∠CED = 180° − 68° = 112°です。円に内接するなら∠ABC + ∠CED = 180°でなければなりません。しかしその和は47° + 112° = 159°で、180°ではありません。よって4点は同じ円周上にはありません。

別の見方では、同じ側にあるD、Eから線分BCを見込む角を比べます。ここでの分かれ目は、角が等しいかを無理に計算することではなく、証明したい円の4点を先に固定することです。結論を仮定して対角の和を得て、それが与条件と矛盾すると示すことは、結論を証明済みとして使う循環とは違います。これは円に乗ると仮定したときの不可能を調べる議論です。

与えた角から∠BAC = 180° − 47° − 68° = 65°です。3角の和に戻すと47° + 68° + 65° = 180°で、三角形の条件に合います。DEの平行関係から得た68°と合わせ、否定の判断が図の見た目に依存していないことも確かめられます。

誤答をほどく：先に円を置かない

「4点A、B、C、Dは同じ円周上にあるから∠ACB = ∠ADB。よって4点は同じ円周上にある」という答案を考えます。原因は、示したい所属を、等角の理由として先取りしたことです。仮定が等角であるなら、等角はそのまま与条件として書き、C、Dが直線ABの同じ側にあることを添えます。その後で円周角の定理の逆を使えば、結論へ進めます。

図3のように、同じ側という条件も省けません。AとBを水平に置き、CをABの上側に、Dを下側に取ります。AC = BC = 5、AB = 6とし、DはCの直線ABに関する対称な点とします。対称なので∠ACB = ∠ADBですが、この4点は同じ円周上にはありません。

この反例を数で確かめます。ABの中点をHとすると、直角三角形AHCでAH = 3、AC = 5なので、三平方の定理よりCH = 4です。対称性からDH = 4、AD = BD = 5です。もし4点が同じ円周上にあるなら、対角∠ACBと∠ADBの和は180°です。しかも両角は等しいので、それぞれ90°でなければなりません。しかし三角形ACBでAC² + BC² = 25 + 25 = 50、AB² = 36です。90°なら三平方の定理により両者は等しいはずなので、90°ではありません。よって同一円周上という仮定は成り立ちません。

もう1つの誤りは、等角の頂点だけを見て、見込む端点を確認しないことです。∠ACB = ∠ADEなら、前者はAB、後者はAEを見込みます。BとEが異なる場合、同じ線分を見込むという条件は得られていません。角の記号の両端を並べてから、直線の同じ側という位置を確認します。条件が足りないときは、円に乗ると断定せず、何が不足するかを書くことも正しい判断です。

練習：円に乗るための条件を探す

角度は度を単位とする整数で答え、理由も書いてください。A、Bなどの点は各問で独立に取ります。

1. A、Bを異なる点とし、C、Dは直線ABの同じ側の異なる点です。∠ACB = 54°、∠ADB = 54°です。4点が同じ円周上にあるか答えてください。
2. A、B、C、Dは同じ円周上にあり、CとDは直線ABの同じ側です。∠ACB = 63°のとき∠ADBを求め、どちらの向きの定理を使ったか答えてください。
3. A、Bを異なる点とし、C、Dは直線ABの同じ側の異なる点です。∠ACB = 71°です。4点が同じ円周上にあるために必要な∠ADBを求め、その値なら十分か答えてください。
4. A、B、Cは同一直線上にない3点です。Dは直線ABのCと反対側にあり、∠ACB = ∠ADB = 90°です。4点は同じ円周上にあるか答えてください。
5. A、Bを異なる点とし、C、Dは直線ABの同じ側の異なる点です。∠ACB = 57°、∠DAB = 61°、∠ABD = 62°です。4点が同じ円周上にあるか示してください。

練習の答えと解き方

1. 同じ円周上にあります。両方がABを見込む角で、CとDが直線ABの同じ側にあり、54°同士で等しいからです。円周角の定理の逆を適用できます。得られた円で同じ弧ABに対する角は等しいので、54°という条件にも戻ります。

2. 63°です。円周上の所属を前提に、同じ弧に対する円周角は等しいという向きを使います。逆ではありません。両頂点が同じ側にあるため、どちらもC、Dを含まない方の弧ABを見込みます。63°と63°は与えられた同じ弧の条件に一致します。

3. 71°が必要であり、十分です。必要性は、同じ円周上なら同じ弧ABに対する円周角が等しいことから得ます。十分性は、同じ側の2点がABを見込む角を71°にしたとき、円周角の定理の逆を使って得ます。2つの向きの理由を別々に書くと、必要と十分を混同しません。

4. 同じ円周上にあります。直角三角形ACBとADBの斜辺は共通のABです。ABの中点を中心、ABの半分を半径とする円に、直角三角形の斜辺の中点の性質からCとDがそれぞれ乗ります。反対側だから必ず乗らないのではありません。直径に対する円周角は90°なので、両方の条件にも戻ります。

5. 三角形ADBの内角の和から、∠ADB = 180° − 61° − 62° = 57°です。∠ACBと∠ADBは等しく、CとDは直線ABの同じ側なので、円周角の定理の逆から4点は同じ円周上です。円周上に乗った後、同じ弧ABに対する円周角が57°ずつとなり、元の条件に戻ります。

要点を手元に残す

同じ側の2点が同じ線分を等しい角で見込めば、4点は同じ円周上です。
円周上の所属を示す前には、その円の円周角を理由に使いません。
反対側なら等角だけでは判断できず、直径などの条件を調べます。
円に乗った後は、見込む弧と点の側を確かめて角を比べます。

答案のどこから戻るか

お子さまが「円周角だから等しい」と書いたときは、その行の直前に4点の所属が仮定または証明として現れているか確認します。なければ、問題の等角、角の両端、2点の側を順に印で対応させます。所属が示された後に角度を求めている場合は、同じ弧を見ているのか、反対側で補い合う角なのかを図に戻して確認します。

個別指導では、結論を使った行を消し、与条件だけで書き直してもらうと、角の名前と根拠のどちらで止まるか見分けられます。図に円を描くときも、その円が仮定なのか、証明した結果なのかを横に記します。等しい角と点の位置がそろったところから、円への所属を確実にたどれます。