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中3数学相似条件と対応する辺—角と辺の情報を選んで比の順序を説明する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.14更新 2026.11.14武蔵野個別指導塾の特徴中学数学を単元ごとに掘り下げる中3

二辺の比だけでは形が定まらない反例を比べ、はさまれた角と頂点の対応を確認します。

よくあるのは、2組の辺の比が等しいことを見つけ、もう十分だと考える場面です。辺を2本ずつ同じ割合に伸ばしても、その開き方が変われば三角形の形は変わります。どの角が辺にはさまれているかを調べ、対応する頂点を同じ順に並べると、相似を判断するための情報と、まだ足りない情報が見えてきます。

要点（結論から）

相似条件は3組の辺の比、2組の辺の比と間の角、2組の角の3通りです。
頂点の対応を同じ順に並べ、その順に対応する辺の比を作ります。
二辺の比だけでは不足し、間の角が等しいかが分かれ目です。

相似を判断する3つの場面

相似条件が使われる場面には、与えられた辺や角から相似かどうかを判定する型、相似な三角形の対応順を書いて未知の辺を求める型、情報が不足していることを反例で示す型があります。どの型でも、図の向きや見た目の大きさではなく、問題文に書かれた等しい角と辺の比を根拠にします。

目標は、条件の名前を覚えるだけでなく、どの辺と角がその条件に当たるのかを指し示すことです。比が等しい辺を2組見つけたときには、その2辺にはさまれた角も等しいかを確かめます。等しいと書かれていなければ、見た目から補ってはいけません。

頂点の対応から条件を読む

2つの図形が相似であるとは、一方を一定の倍率で拡大または縮小すると、もう一方とぴったり重ねられることです。回転したり裏返したりして重ねてもかまいません。対応する角はそれぞれ等しく、対応する辺の比は一定です。

三角形については、次のいずれかが成り立てば相似と判断できます。

3組の辺の比がすべて等しい。
2組の辺の比と、その間の角がそれぞれ等しい。
2組の角がそれぞれ等しい。

2つ目の条件でいう「間の角」は、比べた2辺が出会う頂点の角です。例えばABとACの間の角は∠Aです。∠BはABに接していますが、ACとの間の角ではありません。3つ目は、三角形の内角の和が180°なので、2組が等しければ残る1組も等しくなります。

図1のように、△ABCと△DEFでAとD、BとE、CとFが対応するとします。図を回転して置いても、対応は位置の近さではなく角や辺の条件から決めます。

図1ではABに対応する辺はDE、BCに対応する辺はEF、CAに対応する辺はFDです。相似を△ABC∽△DEFと書くと、同じ位置の文字が対応します。例えば△ABC∽△DFEと書くとBとFが対応することになり、別の主張になります。

対応する辺の比がAB:DE = BC:EF = CA:FD = 2:3なら、左側の三角形から右側への拡大率は3/2です。一方、相似比を△ABC:△DEFの順に書けば2:3です。倍率と比の順を取り違えないよう、先に三角形の順を書きます。対応する辺の長さが全部わかっていない場合でも、条件がそろえば相似を判断し、残りの辺の比を使えます。

基本と標準の問題

次の2問を先に考え、どの条件を使うかと対応順を紙に書いてみましょう。長さはcmで、答えもcmの整数または分数で表します。

例題1（基本）　△ABCと△DEFで、AB = 4、AC = 6、DE = 6、DF = 9、∠A = ∠Dです。2つの三角形が相似であることを説明し、BC = 8のときEFを求めてください。

例題2（標準）　△PQRと△XYZで、∠P = ∠Z、∠Q = ∠Xです。PQ = 6、QR = 10、PR = 8、ZX = 9とします。相似な三角形を対応順に書き、XYとYZを求めてください。

例題1の考え方

図2のように、ABとACの間は∠A、DEとDFの間は∠Dです。まず辺の比が同じか、同じ三角形を左側に置いて調べます。

AB:DE = 4:6 = 2:3
AC:DF = 6:9 = 2:3

さらに∠A = ∠Dです。2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、△ABC∽△DEFです。したがってBCとEFが対応します。EFをx cmとすると、図2の対応から次のように求めます。

BC:EF = 2:3
8:x = 2:3
2x = 24
x = 12

答えは12 cmです。逆に、4:6、6:9、8:12はいずれも2:3です。求めた長さを元の辺の組に戻して、3組が同じ比になることを確かめられます。図に長さが書かれた位置も、辺の名前と照らして確認します。

ここで∠B = ∠Eという情報に入れ替えると、上の2辺の間の角が等しいとはいえません。別の条件から相似を示せる場合はありますが、この情報だけで先ほどの条件を使うことはできません。条件の文章にある「間」を読み落とさないことが分かれ目です。

例題2の考え方

∠Pに∠Z、∠Qに∠Xが対応します。残る∠Rと∠Yも、内角の和から等しくなります。よって2組の角がそれぞれ等しいので、対応順をそろえると△PQR∽△ZXYです。図形を頭の中で回転しても裏返しても、この文字の対応は変わりません。

PQに対応するのはZXなので、最初の三角形と次の三角形の相似比は6:9 = 2:3です。QRに対応するXYをa cm、PRに対応するZYをb cmとして計算します。

10:a = 2:3
2a = 30
a = 15
8:b = 2:3
2b = 24
b = 12

答えはXY = 15 cm、YZ = 12 cmです。6:9、10:15、8:12はそれぞれ2:3です。長さを元の対応に戻すと、PQとZX、QRとXY、PRとZYで同じ比になるため、計算結果も条件と一致します。

発展：条件を選んで不足を見抜く

例題3（発展）　△JKLと△MNOで、JK = 6 cm、JL = 9 cm、MN = 10 cm、MO = 15 cmです。∠Jと∠Mが等しい場合と、これらの角について何も与えられていない場合に分けて、相似と判断できるか説明してください。等しい場合、KL = 12 cmならNOを整数または分数で求めてください。

まず、対応の候補をJとM、KとN、LとOとして比べると、JK:MN = 6:10 = 3:5、JL:MO = 9:15 = 3:5です。∠Jと∠Mが等しい場合は、比べた2辺の間の角も等しいので、△JKL∽△MNOです。したがってKL:NO = 3:5です。NOをx cmとすると、

12:x = 3:5
3x = 60
x = 20

答えは20 cmです。6:10、9:15、12:20はいずれも3:5で、求めた辺を元の三角形の対応に戻しても一致します。別の見方では、6を10にする倍率が5/3なので、12にも5/3をかけて20と求められます。こちらでも、最初に対応を確定することが必要です。

角について何も与えられていない場合、上の比だけから相似とは判断できません。例えばJKとJLをそれぞれ6 cm、9 cmに保ったまま、∠Jを60°にも90°にもできます。MNとMOを10 cm、15 cmに保って∠Mを60°にした三角形と比べると、∠Jが60°の場合は相似ですが、90°の場合は相似ではありません。

同じ辺の比でも結論が変わることは、辺の長さでも確かめられます。JK = 6、JL = 9、KL = 12とし、MN = 10、MO = 15、NO = 20とすれば3組の比が3:5で相似です。一方、NOを16に変えても10、15、16は三角形を作れますが、辺を小さい順に比べると6:10、9:15、12:16はそろいません。したがってこちらは相似ではありません。どちらも与えられた2組の辺の比を満たします。 2つの三角形の辺をそれぞれ3、4、5と6、8、8とします。3:6 = 4:8ですが、最初の3辺を2倍すると6、8、10となり、後者の6、8、8とは一致しません。辺の長さを小さい順に比べても比は1:2、1:2、5:8でそろわないため、どの対応でも相似ではありません。どちらも三角形を作れる辺の長さです。この反例は、二辺の比だけでは条件が不足することを示します。

誤答を条件へ戻す

図3のように、辺の比が2組そろったところで「相似」と結論した答案を考えます。3と4に対応させた辺が6と8であっても、残る辺は5と8です。対応する3組目の比が一致しないので、この2つは相似ではありません。

誤答の原因は、相似なら対応する辺の比が等しいという性質を、条件の確認なしに逆向きに使うことです。二辺の比がそろったら、その間の角が等しいかを探します。与えられていなければ、3組目の辺の比や2組の角など、別の相似条件がそろうかを調べます。

角が等しい場合でも、比の順を交差させる誤りがあります。例えば例題1で4:6と9:6を比較しても、前者は左の三角形:右の三角形、後者は右:左です。同じ順に直してから比べます。長さを求めた後には、元の辺の名前に答えを戻し、対応する辺の比が共通かを確認します。

もう1つの失敗は、角の等しさが1組しか示されていないのに、残りも等しいと決めることです。三角形の内角の和だけでは、残り2角の和が等しいことしか言えません。それぞれの角まで等しいとするには、もう1組の等角か別の十分な条件が必要です。

練習：対応を自分で決める

次の5問は互いに独立しています。長さはcmとし、求める長さはcmの整数または分数で答えてください。相似の判定では、使う条件と頂点の対応も書きます。

△ABCと△DEFで、AB = 5、BC = 7、CA = 8、DE = 15、EF = 21、FD = 24です。相似かを判断し、対応順と相似比を答えてください。
△GHIと△JKLで、GH = 8、GI = 12、JK = 6、JL = 9、∠G = ∠Jです。HI = 14のときKLを求めてください。
△MNPと△RSTで、∠M = ∠T、∠N = ∠R、MN = 10、NP = 12、TR = 15です。相似な三角形を対応順に書き、RSを求めてください。
辺が4、5、6の三角形と、辺が8、10、11の三角形があります。4:8 = 5:10であることから、相似と判断できますか。理由も書いてください。
△UVWと△XYZで、UV:XY = UW:XZ = 3:4、∠V = ∠Yという情報があります。2組の辺の比とその間の角の条件を使えますか。使えない場合、どの角が等しいと追加されれば、その条件を使えるか答えてください。

解答と確かめ方

AB:DE = 5:15 = 1:3、BC:EF = 7:21 = 1:3、CA:FD = 8:24 = 1:3です。3組の辺の比が等しいので、△ABC∽△DEF、相似比は1:3です。元の3組に戻しても、右側の辺はいずれも左側の3倍です。
GH:JK = 8:6 = 4:3、GI:JL = 12:9 = 4:3です。間の角も等しいので△GHI∽△JKLです。HI:KL = 4:3より、KL = 14・3/4 = 21/2 cmです。14:(21/2) = 4:3であり、与えられた2組の比とも一致します。
2組の角が等しいので△MNP∽△TRSです。MN:TR = 10:15 = 2:3で、NPに対応するRSは12・3/2 = 18 cmです。12:18 = 2:3と、元のMN:TRに戻して一致します。文字を順に並べれば、NPの相手を取り違えにくくなります。
相似とは判断できません。小さい順の辺の比は4:8 = 1:2、5:10 = 1:2ですが、6:11は1:2ではありません。相似なら小さい順に対応させた3組の比も等しいはずなので、この2つは相似ではありません。2つとも最大の辺が他の2辺の和より短く、三角形として作れます。
使えません。UVとUWの間は∠U、XYとXZの間は∠Xです。∠Vと∠Yは指定された2辺の間の角ではありません。∠U = ∠Xが追加されれば、2組の辺の比とその間の角の条件を使え、△UVW∽△XYZと判断できます。