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中3数学関数y=ax²と直線の交点—二つの式と座標の面積を条件へ戻して確かめる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.14更新 2026.11.14武蔵野個別指導塾の特徴中学数学を単元ごとに掘り下げる中3

放物線と直線の両式に交点を戻し、座標の差から三角形の面積を確かめる手順をたどれます。

よくあるのは、放物線と直線の交点を求め、一方の式にだけ座標を戻して答えを確かめたつもりになる場面です。交点は2つのグラフの両方に属する点なので、片方に合うだけでは足りません。さらに、交点を頂点とする三角形では、座標の差がどの長さを表すかも確かめます。式と図を行き来しながら、答えが元の条件を満たすところまで追いかけましょう。

要点（結論から）

交点では同じxについて2つのyが等しくなります。
求めた座標は放物線と直線の両方へ代入します。
軸に平行な線分の長さは座標の差から求めます。

交点から面積へ進む3つの型

1つ目は、放物線と直線の式が与えられ、交点の座標を求める型です。同じ点ではxもyも共通です。2つのyを等しいと置き、二次方程式を解いてxを求めます。その後にyを求めて、座標を組にします。

2つ目は、交点と座標軸に平行な線分から三角形の面積を求める型です。例えば2点のx座標が同じなら、その2点を結ぶ線分は縦向きです。縦の長さはy座標の差から求め、そこに垂直な横向きの高さはx座標の差から求めます。見た目の斜めの辺を高さと取り違えないことが大切です。

3つ目は、面積の条件から直線の係数を決める型です。交点の位置が未定でも、縦の辺や横の高さを文字で表せます。ただし、長さには負の値を使えません。点の位置が条件で決まっているかを先に確認し、求めた値を図と式の両方に戻します。

この範囲の学習には、関数y=ax²と二次方程式の知識を使います。文部科学省の平成29年告示の中学校学習指導要領解説数学編では、いずれも第3学年の内容として扱われています。

交点は2つの条件を同時に満たす点

関数y=ax²のグラフは、aが0でないとき放物線になります。直線をy=bx+cとすると、交点のx座標はax²=bx+cを満たします。これは「同じxに対する2つのyが等しい」という条件です。移項して右辺を0にし、二次方程式として解きます。

図1のように、交点では放物線と直線が同じ場所を通ります。図の放物線はy=x²、直線はy=x+2です。x=-1では両方のyが1、x=2では両方のyが4です。座標を(-1, 1)、(2, 4)と組にすると、どちらも両方の条件を満たします。

図1の2点以外にも、直線上には点があります。例えば(0, 2)は直線の式に合いますが、放物線の式ではx=0のときy=0です。したがって交点ではありません。一方の式に代入して合ったことは、そのグラフ上にある根拠にはなりますが、もう一方にある根拠にはならないのです。

座標から長さを求めるときは、符号付きの座標と、0以上の長さを区別します。例えば縦の線分の両端のy座標が-2と3なら、上の値から下の値を引いて3-(-2)=5です。横の線分なら、右のx座標から左のx座標を引きます。引く順序がわからないときは、座標軸に数を並べて左右や上下を決めると誤りを見つけやすくなります。

三角形の面積は底辺×高さ÷2です。縦の辺を底辺に選んだときの高さは、その辺を含む縦の直線から残りの頂点までの横の距離です。高さの足が辺の延長上に落ちる場合も、垂直な距離を使います。軸に平行な辺があると、座標の差から底辺と高さを読み取れます。

基本：交点の座標を1組ずつ戻す

【基本例題】放物線y=x²と直線y=x+2の交点をすべて求め、座標を整数で答えます。また、2つの式への代入で確かめます。

交点では2つのyが等しいので、次のように解きます。

x² = x+2
x²-x-2 = 0
(x-2)(x+1) = 0
x = 2 または x = -1

x=2を直線に代入するとy=2+2=4です。x=-1を代入するとy=-1+2=1です。候補は(2, 4)と(-1, 1)です。xの値だけで終えると、点の位置を表す座標の組が完成しません。

図2のように、それぞれの座標を放物線と直線の両方に戻します。(2, 4)では2²=4、2+2=4です。(-1, 1)では(-1)²=1、-1+2=1です。どちらの点も2つの式を満たします。答えは(-1, 1)、(2, 4)です。

図2では、2点が両方の曲線上にあることも見えます。ただし図は計算の代わりになりません。点の見た目が重なっていても正確な座標は式で確かめます。また、二次方程式の解を1つ見つけたところで止めると、もう1つの交点を落とすことがあります。因数ごとに0となる場合を調べます。

標準：縦の底辺と横の高さを分ける

【標準例題】放物線y=x²と直線y=-x+6の交点をA、Bとします。Aのx座標は負、Bのx座標は正です。点Cを、Aと同じx座標、Bと同じy座標をもつ点とします。A、B、Cの座標を整数で求め、三角形ABCの面積を求めます。座標の1目盛りを1として、面積を平方単位で答えます。

まず交点のx座標を求めます。

x² = -x+6
x²+x-6 = 0
(x+3)(x-2) = 0
x = -3 または x = 2

負のxをもつAは、y=(-3)²=9よりA(-3, 9)です。正のxをもつBは、y=2²=4よりB(2, 4)です。直線にも戻すと、Aでは-(-3)+6=9、Bでは-2+6=4です。したがって両点は両方のグラフ上にあります。

CはAとx座標が同じで、Bとy座標が同じですからC(-3, 4)です。ACは縦の線分で、長さは9-4=5です。BCは横の線分で、長さは2-(-3)=5です。ACを底辺にするとBCはそれに垂直な高さです。

面積 = 5×5÷2
面積 = 25/2

答えは25/2平方単位です。Cの座標へ戻ると、ACの上下の差は5、BCの左右の差も5です。座標から復元した長さを面積の式に使ったので、図の条件と答えがつながります。BCを底辺、ACを高さに選んでも同じ面積です。斜めのABを高さとして使う必要はありません。

発展：面積から直線を決めるときの分かれ目

【発展例題】放物線y=x²上の点Pのx座標をtとします。ただしtは2より大きい数です。点Qを(2, 4)とし、PとQを通る直線を考えます。点Rを、Pと同じx座標、Qと同じy座標をもつ点とします。三角形PQRの面積が12平方単位となるとき、tと直線の式を求めます。tは整数または分数で、直線の式はy=の形で答えます。

P(t, t²)、Q(2, 4)、R(t, 4)です。t>2なので、横のQRはt-2です。またt²>4なので、縦のPRはt²-4です。この大小の確認がないまま差を長さとすると、負の数を面積に使うおそれがあります。

面積の条件から、(t-2)(t²-4)÷2=12です。t=4を代入すると、(4-2)(16-4)÷2=12となり、条件を満たします。さらにt>2でtが大きくなると、t-2もt²-4も正のまま大きくなるので、その積も大きくなります。よって面積が12になるtは4より小さくても大きくてもなく、t=4です。これは数例だけで一意性を判断したのではなく、2つの正の長さがともに増えることによる説明です。

P(4, 16)、Q(2, 4)を通る直線の傾きは(16-4)÷(4-2)=6です。y=6x+cにQを入れると4=12+cよりc=-8です。直線はy=6x-8です。Pを戻すと16=24-8、Qを戻すと4=12-8です。面積も(4-2)×(16-4)÷2=12となり、元の条件に一致します。

この例から、点の範囲を指定する意味が見えます。t=2ならPとQが重なり、三角形の面積は0です。t<2では横の長さの引き算の順序が変わります。面積だけから位置を決める問題では、範囲によって場合分けが必要です。問題に書かれた条件と、途中で使う長さの正負を対応させます。

誤答を両方の式と図へ戻して直す

図3のように、y=x²とy=x+2について、(0, 2)を交点とする誤りを考えます。直線に代入すると2=0+2で合います。しかし放物線では0²=0なので、y=2とは一致しません。原因は、直線上の点であることを、2つのグラフ上にあることと取り違えた点です。

図3では、同じx=0に対して放物線のyは0、直線のyは2です。2つの値が違うので、そこに交点はありません。修正するには、先にx²=x+2を解き、得たxごとにyを求めた後、座標の組を両方の式へ代入します。負のxを二乗する行では、(-1)²=1のように括弧を付けると符号を追いやすくなります。

もう1つの誤りは、座標が負であることから長さまで負にすることです。例えばx=-3からx=2までの横の長さは、-3-2=-5ではなく2-(-3)=5です。長さは位置の差の大きさです。どちらが右かを図や数直線で確かめてから引きます。点の名前の順序に合わせて機械的に引く方法では、点の配置が逆になると失敗します。

面積の条件を使う場合は、線分が底辺に垂直かも検査します。2点のx座標が同じなら縦、y座標が同じなら横です。この条件がない斜めの線分を、見た目だけで高さにしてはいけません。計算した値が正しくても、元の図の底辺と高さに対応していなければ、求めたい三角形の面積とは限りません。

練習：交点と長さを自分で結ぶ

次の5問は、座標は整数または分数、面積は平方単位で答えます。交点は両方の式に戻し、面積は底辺と高さを座標から確かめます。

放物線y=x²と直線y=2x+3の交点をすべて求めます。
放物線y=(1/2)x²と直線y=x+4の交点をすべて求めます。
放物線y=x²と直線y=-2x+3の交点のうち、x座標が負の点をA、正の点をBとします。CをAと同じx座標、Bと同じy座標の点とするとき、三角形ABCの面積を求めます。
点D(1, 3)は放物線y=x²と直線y=2x+1の交点ですか。両方の式を使って理由を答えます。
放物線y=x²上の点E(3, 9)と原点Oを通る直線の式を求めます。さらに点F(3, 0)をとり、三角形OEFの面積を求めます。

練習の答えと考え方

x²=2x+3よりx²-2x-3=0、(x-3)(x+1)=0です。x=3または-1なので、直線からy=9または1です。答えは(3, 9)、(-1, 1)です。放物線では3²=9、(-1)²=1、直線では2・3+3=9、2・(-1)+3=1となります。
(1/2)x²=x+4の両辺を2倍してx²=2x+8、x²-2x-8=0です。(x-4)(x+2)=0よりx=4または-2です。直線からy=8または2なので、答えは(4, 8)、(-2, 2)です。放物線では(1/2)・4²=8、(1/2)・(-2)²=2で、直線でも4+4=8、-2+4=2です。
x²=-2x+3よりx²+2x-3=0、(x+3)(x-1)=0です。A(-3, 9)、B(1, 1)で、C(-3, 1)です。直線に戻してAは6+3=9、Bは-2+3=1となり、放物線でもそれぞれ9と1です。AC=9-1=8、BC=1-(-3)=4です。面積は8×4÷2=16平方単位です。
直線には3=2・1+1で合いますが、放物線では1²=1であり3ではありません。したがってDは交点ではありません。片方に合うという結果を、両方に合うという結論へ広げないことがポイントです。
Oを通るので直線の切片は0です。Eを通る傾きは9÷3=3で、直線はy=3xです。OとEを代入すると、それぞれ0=3・0、9=3・3です。Eは放物線にも9=3²で合います。EFは縦に9、OFは横に3なので、面積は9×3÷2=27/2平方単位です。