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中3数学因数分解の数の組—積と和の条件を表にして符号の選択を確かめる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.14更新 2026.11.14武蔵野個別指導塾の特徴中学数学を単元ごとに掘り下げる中3

積と和の条件を候補表で照合し、正負の組を選んでから展開して元の式に戻す手順を確かめられます。

よくあるのは、積が合う2数を見つけてかっこに入れたものの、和の符号が逆になっている場面です。たとえば積が正なら2数は同じ符号ですが、正どうしと負どうしの両方が候補になります。積だけで決めると、元の式の真ん中の項が変わることがあります。候補を書き、積と和の両方を照らし合わせてから、展開で元に戻しましょう。

要点（結論から）

2数の積は定数、和はxの係数に合わせます。
積が正なら同符号、負なら異符号、0なら少なくとも一方が0です。
候補を漏れなく並べ、積と和の両方で選びます。

何を選ぶ問題か

扱う中心は、x²の係数が1の式 x²+bx+c を、(x+p)(x+q) の形に因数分解することです。ここでは整数の組を探します。積がc、和がbとなる整数p、qを探し、その2数が両方の条件を満たす理由を説明します。

問われ方には、式から数の組を見つける型、符号の異なる候補から正しいものを選ぶ型、係数に文字がある式で条件を満たす値を求める型があります。いずれも「積が合う」と「和が合う」は別の判定です。どちらか一方だけで答えを決めないことが到達点です。

候補が見つからないときにも意味があります。整数の組を漏れなく調べて和が合わなければ、この形に整数を入れる方法では因数分解できません。探した範囲を明示しないまま、あらゆる方法で因数分解できないと結論することは避けます。

かっこを開いて条件を作る

まず文字のまま分配法則を使います。xにかける2つの数と、定数どうしの積を順に書きます。

(x+p)(x+q)
= x²+qx+px+pq
= x²+(p+q)x+pq

したがって x²+bx+c と比べると、p+q=b、pq=c が必要です。逆にこの2条件が成り立つ数を入れて展開すれば、元の式になるので十分でもあります。順序を入れ替えた (x+q)(x+p) は同じ積ですから、候補表では並べる順序を区別しなくてかまいません。

図1のように、積と和は別々の場所に現れます。かっこの中の符号も数の一部です。たとえば x-3 は x+(-3) と考えれば、表に書く数を -3 と読めます。

図1では2数をp、qとし、和がxの係数、積が定数になる関係を示しています。表を作る前に、どちらの条件をどこから読むかを確認しておくと、数字を取り違えにくくなります。

積が正のときは2数がともに正か、ともに負です。正どうしの和は正、負どうしの和は負なので、和の符号から2つを区別できます。積が負なら一方が正、他方が負です。この場合は絶対値の大きい方の符号が和の符号を決めます。絶対値が等しければ和は0です。

積が0のときは少なくとも一方が0です。和がbになるには、もう一方をbとすればよく、x²+bx=x(x+b) です。0を含む場合を、正負の組だけを並べる表から落とさないようにしましょう。

基本と標準の問題

次の2題を先に考えます。どちらも整数を使い、かっこの積の形で答えてください。

基本: x²+7x+12 を因数分解する。
標準: x²-2x-15 を因数分解する。

基本の答えと考え方

積が12の整数の組を、順序の入れ替えを除いて表にします。正の組だけでなく負の組も必要です。

2数	積	和
1, 12	12	13
2, 6	12	8
3, 4	12	7
-1, -12	12	-13
-2, -6	12	-8
-3, -4	12	-7

和が7になるのは3と4です。図2のように、表から選んだ2数をそれぞれのかっこに入れます。

図2の候補は積と和の両方を満たしています。展開して、元の3つの項が戻ることを確かめます。

x²+7x+12
= (x+3)(x+4)

(x+3)(x+4)
= x²+4x+3x+12
= x²+7x+12

積だけなら -3 と -4 も候補です。しかしその和は -7 です。元の式の係数は正の7なので、負の組を選ぶことはできません。表の積の列だけでなく、和の列まで見る理由がここにあります。

標準の答えと考え方

積が -15 なので、正と負を組み合わせます。正の数を先にして、絶対値の組を漏れなく並べます。

2数	積	和
1, -15	-15	-14
3, -5	-15	-2
5, -3	-15	2
15, -1	-15	14

和が -2 になるのは3と -5です。負の数の絶対値の方が2大きいので、和も負になります。答えは次のとおりです。

x²-2x-15
= (x+3)(x-5)

(x+3)(x-5)
= x²-5x+3x-15
= x²-2x-15

5と -3 を選ぶと積は同じ -15 でも、和は2です。展開すると x²+2x-15 となり、真ん中の符号が変わります。積が負という条件から正負の組までは決まりますが、どちらが大きいかは和を見て決めます。

文字の値で分かれる発展問題

整数nについて、x²+nx+20 を (x+a)(x+b) と因数分解できるとします。ただしa、bは整数です。nが負となる値をすべて求め、各値に対応する因数分解をかっこの積の形で答えてください。

発展の答えと考え方

ab=20、a+b=n です。積が正なので、aとbは同じ符号です。和が負になるのは2数がともに負のときです。20の正の約数の組は1と20、2と10、4と5です。それぞれ両方を負にすると、積は20のまま、和は負になります。

a, b	積	和 n
-1, -20	20	-21
-2, -10	20	-12
-4, -5	20	-9

したがって n は -21、-12、-9 です。対応する式は順に次のようになります。

x²-21x+20 = (x-1)(x-20)
x²-12x+20 = (x-2)(x-10)
x²-9x+20 = (x-4)(x-5)

各行で定数は順に (-1)・(-20)=20、(-2)・(-10)=20、(-4)・(-5)=20 です。また和はそれぞれ -21、-12、-9 ですから、展開すると問題の係数に戻ります。正どうしの組は和が正なので、今回の条件から外れます。積が20となる正の約数の組を尽くしてから符号をつけたため、負のnの候補に漏れはありません。

別の考え方では、先に20の約数の組を正の数で並べ、それぞれの和を21、12、9と求めます。負のnが必要なので両方の符号を変え、和も -21、-12、-9 にします。どちらの方法も、積の条件で候補を作り、和の条件で残す点は同じです。整数という条件がない場合の候補を、この表だけで数えたことにはなりません。

似た形との見分け

同じ数が2回現れる場合も、積と和で調べられます。たとえば x²+10x+25 では5と5の積が25、和が10なので、(x+5)(x+5)、すなわち (x+5)² です。定数が平方数というだけでは足りず、真ん中の係数が2つの数の和と一致することも必要です。

一方、x²-49 は7と -7 の積が -49、和が0なので、(x+7)(x-7) です。和が0の項は書かれていませんが、係数は0と読めます。平方の差の形と見ても、積と和で見ても同じ結果に到着します。x²+49 と符号を混同すると、展開した定数が違ってしまいます。

整数の候補がない例も見ます。x²+x+1 で積が1の整数の組は、順序を除くと1と1、-1と -1です。和はそれぞれ2、-2で、1にはなりません。したがって整数a、bを用いる (x+a)(x+b) の形では表せません。これは候補表についての結論であり、他の範囲の数まで調べたという主張ではありません。

符号を誤った答案を直す

x²-7x+12 を (x+3)(x+4) とした答案を考えます。3と4の積は12なので、定数の条件は合っています。しかし和は7であり、必要な -7 とは異なります。図3のように、合っている積を残したまま、和を点検します。

図3の正の組を展開すると x²+7x+12 です。真ん中の項が元と異なるので誤答です。負の組 -3、-4 なら積は12、和は -7 となります。修正した答えと確認は次のとおりです。

x²-7x+12
= (x-3)(x-4)

(x-3)(x-4)
= x²-4x-3x+12
= x²-7x+12

原因は、定数の符号を見て「同符号」と判断した後、和の符号を見ずに正の組を選んだことです。直すときは答え全体を消す前に、表の和の欄へ戻ります。正どうしと負どうしを比較すれば、積は同じでも和が逆になると見えます。

反対に、和だけが合う組も危険です。3と -10 の和は -7 ですが、積は -30 で、必要な12ではありません。和を先に満たす組を選んだときも、積まで照合します。2条件を満たした後で展開することが、途中の符号の写し間違いを見つける最後の点検になります。

練習: 条件を表にして選ぶ

次の5問を、整数を使って考えてください。1から4はかっこの積の形で答え、5は指定された整数をすべて答えます。問題を一通り考えてから、下の解答で積と和を照合しましょう。

x²+9x+14 を因数分解する。
x²-11x+24 を因数分解する。
x²+4x-21 を因数分解する。
x²-16 を因数分解する。
整数kについて、x²+kx+18 が整数a、bを用いて (x+a)(x+b) と表せるとき、正のkをすべて求める。

練習の答えと照合

積14の正の組は1と14、2と7です。和は順に15、9です。負の組の和は負なので、和9に合うのは2と7です。答えは (x+2)(x+7) です。展開すると x²+7x+2x+14=x²+9x+14 で、元に戻ります。
積24、和 -11 なので2数は負です。正の約数の組1と24、2と12、3と8、4と6の和は順に25、14、11、10です。両方を負にしたとき和が -11 になるのは -3 と -8 です。答えは (x-3)(x-8) です。展開すると x²-8x-3x+24=x²-11x+24 です。
積 -21 の候補は、正の数を先にして1と -21、3と -7、7と -3、21と -1です。和は順に -20、-4、4、20です。7と -3 を選び、答えは (x+7)(x-3) です。展開すると x²-3x+7x-21=x²+4x-21 となります。負の組の絶対値の差を見ても符号を決められますが、和を計算して照合します。
真ん中の係数を0と読みます。積 -16、和0となるのは4と -4です。答えは (x+4)(x-4) です。展開すると x²-4x+4x-16=x²-16 で、xの項が打ち消されます。
積18が正で和kが正なので、aとbはともに正です。約数の組は1と18、2と9、3と6です。和は19、11、9ですから、kは9、11、19です。それぞれ (x+3)(x+6)、(x+2)(x+9)、(x+1)(x+18) を展開すると、定数は18、xの係数は指定したkに戻ります。負どうしの組は和が負なので条件に合いません。

解答を見た後は、正解の組だけを眺めず、自分の表から選んだ行に戻ってください。積の計算が合っても和が違う場合は符号や組の順ではなく、2条件の照合に戻ります。積も違う場合は約数の拾い方から見直します。因数分解後の展開が一致しない場合は、かっこへの転記と分配の4つの積を順に確かめます。