中2数学 一次関数の変化の割合—増加量の比から傾きと切片の役割を分ける｜武蔵野個別指導塾

二点のxとyの増加量を対応させると、等間隔でないデータや負の傾きからも、変化の割合と切片の役割を読み取れます。

よくあるのは、グラフ上の二点のyの差だけを傾きだと思っている場面です。横に1進んだときならその差が傾きになりますが、横にいくつ進んだかが違えば、縦の差もその分だけ変わります。例えば同じ直線上でも、横に2進む場合と5進む場合では縦の変化をそのまま比べられません。横の変化で割って、1あたりにそろえる必要があります。

一次関数は中2の関数の学習範囲に含まれます。ここでは式と2点の値を使い、変化の割合と切片の意味を区別します。表の空欄を埋める作業にとどまらず、どの差をどの差で割るかを説明できることを目指します。

要点（結論から）

• 変化の割合は、yの増加量を0でないxの増加量で割ります。
• 2つの差は同じ点から同じ点への順に取ります。
• y = ax + bのaが傾き、bがx = 0での値です。

何を比べる問題か

出方の1つは、2点の座標から変化の割合を求める問題です。2つのxの差が1とは限りません。対応するyの差も同じ向きで取り、yの増加量をxの増加量で割ります。座標の順序を逆にすることはできますが、両方の差の順序をそろえます。

もう1つは、式の係数とグラフの位置を読み分ける問題です。傾きが同じでも切片が違えば直線の位置は変わります。反対に切片が同じでも傾きが違えば、そこからの進み方が変わります。式の数字を見てすぐ名前を付ける前に、どの量が変化し、どの値が出発点を表すのかを考えます。

さらに、変化の割合が同じという条件から関係を判断する問題もあります。2組の差をそれぞれ割り、同じ1あたりの値になるか調べます。ただし、限られた点で比が同じという事実だけで、その間も含む関係全体が一次関数と決まるわけではありません。問題で一次関数と指定されているかも確認します。

必要な既習事項は、正負の数の引き算と割り算、座標の読み方です。引き算は「後の値 − 前の値」として、負の数を引くときの符号にも注意します。座標は必ず同じ点のxとyを組にして読みます。

1あたりにそろえる意味

一次関数は、aを0でない定数、bを定数として、y = ax + bと表される関数です。xの値を決めるとyの値が1つ決まります。aは変化の割合で、直線の傾きとも呼びます。bはx = 0のときのyの値で、切片と呼びます。切片は縦軸と直線が交わる点のy座標です。

図1のように、xが2から5へ増えるとき、yが1から7へ増える関係を考えます。横の増加量は5 − 2 = 3、縦の増加量は7 − 1 = 6です。横に3進む間に縦に6増えるので、横に1進むあたりでは6 ÷ 3 = 2です。この2が変化の割合です。

図1の2点を逆にたどると、xの増加量は2 − 5 = -3、yの増加量は1 − 7 = -6です。どちらも負になりますが、(-6) ÷ (-3) = 2で、割合は変わりません。一方、xの差を3、yの差を-6と別向きに取れば-2となり、同じ直線の傾きを表せません。

一般にxがpからqへ変わるとします。pとqは異なる値です。y = ax + bでは、対応するyはそれぞれap + b、aq + bなので、yの増加量は(aq + b) − (ap + b) = a(q − p)です。xの増加量q − pは0でないため、これで割るとaが残ります。bは2つの値の両方に同じだけ加わっているので、差を取ると消えます。これが、どの2点を選んでも変化の割合が一定である理由です。

aが正なら、xが増えるとyも増えます。aが負なら、xが増えるとyは減り、変化の割合は負です。減った量を正の数で表してから割ると符号が失われるので、最後の値から最初の値を引きます。増加量という名前でも、実際に減るときは負の数になります。

b = 0ならy = axとなり、原点を通る比例の関係です。bが0でなければ、変化の割合は一定でも比例ではありません。なおa = 0のy = bは一定の関数で、変化の割合は0です。ここで扱う一次関数の定義ではaを0にしないため、この場合は区別します。

基本例題：離れた2点から読む

ある一次関数のグラフは点A(-1, -2)と点B(2, 4)を通ります。変化の割合と切片をそれぞれ整数で求め、式を答えてください。

図2のようにAからBへ進むと、xは3増え、yは6増えます。縦の増加量を横の増加量で割ることで、横に1進む場合にそろえます。

xの増加量 = 2 - (-1)
             = 3
yの増加量 = 4 - (-2)
             = 6
変化の割合 = 6 ÷ 3
             = 2

傾きが2なので、式をy = 2x + bと置きます。点Bのx = 2、y = 4を同時に代入してbを求めます。

4 = 2・2 + b
4 = 4 + b
b = 0

したがって変化の割合は2、切片は0、式はy = 2xです。この直線は原点を通り、比例の関係でもあります。点Aへ戻すと2・(-1) = -2、点Bへ戻すと2・2 = 4なので、どちらの条件も満たします。xが-1から2へ3増えるとyは-2から4へ6増え、その比も2です。

点Aを使ってbを求めても、-2 = 2・(-1) + bからb = 0です。片方の点で式を決めたら、もう片方の点を検算に使えます。切片は選んだ点のy座標そのものとは限りません。x = 0の点を使う場合に限って、そのy座標が直接切片になります。

標準例題：減る向きを含める

水そうに水が入っています。一定の割合で水を抜き始めてからx分後の水量をy Lとすると、yは一次関数です。2分後に17 L、6分後に9 Lでした。変化の割合を整数で、抜き始めの水量を整数のLで求め、式も答えてください。考える範囲は水が残っている間です。

時間は2分から6分へ4分増え、水量は17 Lから9 Lへ8 L減ります。yの増加量は9 − 17 = -8 Lです。したがって変化の割合は(-8) ÷ 4 = -2で、1分あたり2 Lずつ減ることを表します。単位を付ければL/分です。

式をy = -2x + bとして、2分後の条件を入れます。

17 = -2・2 + b
17 = -4 + b
b = 21

答えは変化の割合が-2、抜き始めの水量が21 L、式がy = -2x + 21です。場面に戻すと、最初の21 Lから2分で4 L抜くと17 L、6分で12 L抜くと9 Lです。両方の水量と、4分間で8 L減るという差が合います。

別の見方では、2分後の17 Lへ2分分の4 Lを戻せば、抜き始めは21 Lです。この戻し方も、一定の割合で抜くという条件を使っています。時間をさかのぼると水量は増えるため、17から4を引くのではありません。水量が負になる時刻まで式の意味を広げることも、この場面ではできません。

発展例題：割合と位置を別に判断する

2本の一次関数の直線P、Qがあります。Pは点(1, 5)と点(5, 11)を通り、Qは点(-2, -1)と点(4, 8)を通ります。それぞれの変化の割合を分数で、切片を整数または分数で求めて式を答えてください。また、2本が同じ直線かどうか理由を述べてください。

Pではxの増加量が5 − 1 = 4、yの増加量が11 − 5 = 6です。変化の割合は6/4 = 3/2です。Qではxの増加量が4 − (-2) = 6、yの増加量が8 − (-1) = 9なので、割合は9/6 = 3/2です。増加量そのものは異なっても、1あたりに直すと同じです。

Pをy = (3/2)x + bとし、点(1, 5)を代入します。

5 = 3/2 + b
b = 5 - 3/2
b = 7/2

Qをy = (3/2)x + cとし、点(-2, -1)を代入します。

-1 = (3/2)・(-2) + c
-1 = -3 + c
c = 2

Pはy = (3/2)x + 7/2、Qはy = (3/2)x + 2です。傾きはどちらも3/2ですが、切片が7/2と2で違うため同じ直線ではありません。x = 0でのyが異なるので、同じxに対する値を比べるだけでも別の直線だと判断できます。傾きが同じ2本は平行です。

点を戻して確かめます。Pはx = 1で3/2 + 7/2 = 5、x = 5で15/2 + 7/2 = 11です。Qはx = -2で-3 + 2 = -1、x = 4で6 + 2 = 8です。4点とも元の条件に合います。

別の判断として、Pの式にQの点(4, 8)を入れると、x = 4でy = 6 + 7/2 = 19/2となり8ではありません。この点はP上にないので2本は同じ直線ではありません。ただし、点を1つ入れて一致しただけでは、傾きの違う直線がその点で交わる可能性もあります。同じ直線と結論するには傾きと切片の両方を確かめます。

間違いの場所を特定する

図3のように、点(1, 2)から点(4, 8)へ進む場合を考えます。yの差が6だから傾きも6、という答えは誤りです。xの差も3あるため、6 ÷ 3 = 2が正しい割合です。xの差がたまたま1ならyの差と割合は同じ数になりますが、それを一般化すると間違えます。

図3では、横の差と縦の差を別々に書いてから割っています。例えばxの差を見落として6と答えた場合、横に3進む間に縦に18進むことになり、元の2点に合いません。求めた割合に横の差を掛けて、元の縦の差に戻るかを検査すると誤りを見つけられます。

別の誤りは、xを1から4への順で引きながら、yを8から2への順で引くことです。3と-6を割って-2とすると、右へ進むと下がる直線を表してしまいます。2つの座標の組にA、Bと名前を付け、両方ともBの値 − Aの値と書けば向きがそろいます。逆に両方をA − Bとしても結果は同じです。

もう1つの誤りは、y = 2x + 5の5を傾きとすることです。x = 0ではy = 5、x = 1ではy = 7なので、1増えたときのyの増加量は2です。5は縦軸上の位置を決め、2はその後の進み方を決めます。2つのxの値を実際に入れると、役割を取り違えたことが見えます。

練習：差と出発点を読む

次の5問はそれぞれ独立です。式が必要な場合はyをxで表してください。分数は約分した形で答えてください。

1. 一次関数のグラフが点(2, 3)と点(7, 13)を通ります。変化の割合を整数で求めてください。
2. 一次関数のグラフが点(-3, 10)と点(1, -2)を通ります。変化の割合と切片を整数で求め、式を答えてください。
3. あるろうそくの長さy cmは、火をつけてからx分の間、一定の割合で短くなります。1分後に19 cm、4分後に16 cmでした。残っている間の式と、火をつけたときの長さを整数のcmで答えてください。
4. 一次関数y = (2/3)x − 4について、xが-3から6に変わるときのxとyの増加量を整数で求め、変化の割合を分数で答えてください。
5. 直線Rはy = -3x + 2、直線Sはy = -3x − 1です。傾きと切片をそれぞれ整数で答え、同じ直線かどうか理由を述べてください。

練習の答えと考え方

1. xの増加量は7 − 2 = 5、yの増加量は13 − 3 = 10です。10 ÷ 5 = 2なので、答えは2です。横に5進むと縦に2・5 = 10進み、3 + 10 = 13となって元の点へ戻ります。

2. xの増加量は1 − (-3) = 4、yの増加量は-2 − 10 = -12です。割合は-12 ÷ 4 = -3です。y = -3x + bに(1, -2)を入れると、-2 = -3 + bよりb = 1です。答えは割合-3、切片1、式y = -3x + 1です。x = -3で9 + 1 = 10、x = 1で-3 + 1 = -2となり、両点に合います。

3. 3分間の長さの増加量は16 − 19 = -3 cmなので、割合は-3 ÷ 3 = -1 cm/分です。y = -x + bにx = 1、y = 19を入れると、19 = -1 + bからb = 20です。式はy = -x + 20、火をつけたときの長さは20 cmです。1分で1 cm短くなるので、20 cmから1分後に19 cm、4分後に16 cmとなり、観察条件に戻ります。

4. xの増加量は6 − (-3) = 9です。x = -3ではy = (2/3)・(-3) − 4 = -6、x = 6ではy = (2/3)・6 − 4 = 0です。yの増加量は0 − (-6) = 6、割合は6/9 = 2/3です。9に2/3を掛けると6となり、元の縦の増加量へ戻ります。

5. Rの傾きは-3、切片は2、Sの傾きは-3、切片は-1です。切片が異なるので同じ直線ではありません。例えばx = 0ではRのyは2、Sのyは-1です。x = 1ではそれぞれ-1、-4となり、どちらもxが1増えるとyが3減るという元の式の条件に合います。

要点を手元に残す

• 変化の割合は、yの増加量を0でないxの増加量で割ります。
• 2つの差は同じ点から同じ点への順に取ります。
• y = ax + bのaが傾き、bがx = 0での値です。
• b = 0なら比例、bが0でなければ比例ではありません。
• 答えを元の2点や場面に戻して確かめます。

つまずきを見分けるには

お子さまが6を傾きと答えたときは、すぐに割り算を指示する前に、その6がどの2つの値の差なのかを尋ねます。縦の差を正しく取れていれば、次は横の差を示し、横に1進むあたりにそろえる意味を図で確認できます。差そのものが違う場合は、2点の座標を組に戻して引く順を確認します。

個別指導で確かめる箇所は、2つの引き算の向き、割る数が0でないこと、式への同じ点の座標の代入、求めた値の元の条件への戻し方です。負の割合を正にしてしまう場合は、右へ進むと水量やyが増えるのか減るのかを言葉にします。式の数字を指さすだけでなく、x = 0とx = 1の値を比べると、切片と傾きの役割が見えてきます。