中2数学 連立方程式の代入法—等しい式を置き換えて括弧と符号の役割を確かめる｜武蔵野個別指導塾

括弧の前の負号を各項に掛ける場面を追い、式全体の置き換えから分数の解の検算までつなぎます。

よくあるのは、代入した式の括弧を外す行で符号がずれる場面です。最初の式から文字を表し、もう一方へ正しく書き写せたのに、括弧の中の後ろの項が元の符号のまま残ることがあります。答えが出た後に二つの式へ戻すと、そのずれに気づけます。どこを一まとまりとして置き換えたかを追い、計算の途中から確かめ直しましょう。

どの文字を置き換えるか

代入法で求めるのは、どちらの方程式にも当てはまる文字の値の組です。このように二つの式をともに満たす組を、連立方程式の解といいます。片方に合う値の組でも、もう片方に合わなければ解ではありません。代入法は、一方の式で表した文字をもう一方の式に入れ、一文字の方程式にする方法です。

出方には、すでに「y = 文字を含む式」と書かれた形、どちらかの式を変形して文字を表す形、表した式の前に負の係数が付く形があります。どの形でも、等式の両辺に同じ数を加減すること、0でない数で両辺を割ること、括弧を含む計算が土台です。まず係数が1や-1の文字を探すと、分数を増やさずに表せる場合があります。

学習範囲は中2の連立方程式です。加減法も二つの式を使う方法ですが、ここでは置き換える前後の対応を詳しく見ます。選んだ文字を表す式が長くても、その式全体が一つの文字の値を表すことは変わりません。

等しいものをひとまとまりにする

たとえば、ある組の値が y = 3x − 2 を満たすなら、その組では y と 3x − 2 は同じ数です。もう一つの条件が x − 2y = 7 なら、そこにある y を 3x − 2 に替えて x − 2(3x − 2) = 7 と書けます。図1のように、文字1個の場所に式全体が入ります。

図1の括弧は、-2を式の両項に掛ける範囲を示しています。-2(3x − 2) は -6x + 4 です。後ろの項を -2 のまま残すと、y全体を2倍して引くという元の意味が壊れます。括弧を付けた行をいったん残せば、置換の間違いと括弧を外す計算の間違いを別々に探せます。

置き換えは、二つの式を同時に満たす組を探すために行います。元の二式を満たす組なら、表した文字と式は等しいので、置換後の式も満たします。逆に、置換後の式を満たす値から、最初に表した式を使ってもう一方の文字を決めれば、その組は最初の式を満たし、置換先の式も満たします。この往復を保つため、最後には求めた一文字を表した式に戻します。

文字を表すときに両辺を割るなら、割る数が0でないことを確かめます。たとえば 2y = 4x − 6 なら2で割って y = 2x − 3 とできます。0で割る操作は使えません。また、xについて表すかyについて表すかは選択できますが、選んだ式を同じ式に戻すと一文字を決める新しい条件が得られません。もう一方の式へ入れることが必要です。

基本例題：引く範囲を残す

次の連立方程式を解き、xとyの組を整数で答えましょう。

y = 2x - 1
3x - y = 5

1本目はすでにyを表しています。図2のように、2本目のyを括弧付きの 2x − 1 に替えます。

3x - (2x - 1) = 5
3x - 2x + 1 = 5
x + 1 = 5
x = 4

2行目では括弧全体を引くため、2xも-1もそれぞれ符号が変わります。両辺から1を引くと x = 4 です。求めたxを1本目に戻します。

y = 2・4 - 1
y = 8 - 1
y = 7

答えは x = 4、y = 7 です。元の1本目は 7 = 2・4 − 1、2本目は 3・4 − 7 = 5 となり、両方の条件に合います。片方の式だけで検算すると、もう片方に戻したときの符号のずれを見逃すことがあります。

式の順番を変えて、2本目から y = 3x − 5 と表し、1本目に入れることもできます。ただし今回の1本目はすでにyについて解かれているため、そのまま使うほうが変形を一段減らせます。どちらを選んでも、元の二式に戻して確かめる点は同じです。

標準例題：文字を表す式を自分で作る

次の連立方程式を解き、xとyの組を整数で答えましょう。

x + y = 8
2x - 3y = 1

1本目はxとyの係数がともに1です。ここでは y = 8 − x と表し、2本目へ入れます。両辺からxを引いているので、右辺のxは負になります。

y = 8 - x
2x - 3(8 - x) = 1
2x - 24 + 3x = 1
5x - 24 = 1
5x = 25
x = 5

-3を8と-xの両方に掛けると -24 + 3x です。x = 5 を y = 8 − x に入れると y = 3 です。元に戻すと 5 + 3 = 8、2・5 − 3・3 = 1 で、どちらも成り立ちます。

別の選択として x = 8 − y を使うと、2(8 − y) − 3y = 1 から y = 3 と求まります。その後 x = 5 です。選び方の違いは途中で残る文字を変えますが、二つの条件を満たす組は同じです。どちらの式も表すのが面倒な場合は、係数を見て加減法を選ぶこともできます。代入法を使うと決めた場合も、変形の少ない文字を探してから進むと見通しが立ちます。

発展例題：分数が出ても二つの条件へ戻す

次の連立方程式を解き、xとyの組を分数で答えましょう。整数はそのまま書いてかまいません。

x - 2y = 1
3x + y = 10

1本目のxの係数は1なので、x = 2y + 1 と表せます。2本目の3xはxの3倍ですから、式全体を3倍します。

x = 2y + 1
3(2y + 1) + y = 10
6y + 3 + y = 10
7y + 3 = 10
7y = 7
y = 1
x = 2・1 + 1
x = 3

この組は x = 3、y = 1 です。元の条件は 3 − 2・1 = 1、3・3 + 1 = 10 で確かめられます。割り切れる場合でも、最後に元の二式へ戻す習慣を保ちます。

次に右辺を変えた x − 2y = 1、3x + y = 8 を考えます。最初の式から x = 2y + 1、これをもう一方に入れると 7y + 3 = 8 なので y = 5/7、x = 17/7 です。検算は 17/7 − 2・5/7 = 1、3・17/7 + 5/7 = 8 となります。小数に丸めず分数のまま計算すると、等号が正確に成り立つかを見られます。整数にならないこと自体は失敗ではありません。

同じ文字が両辺に残るとき

代入した直後に文字が両辺にあっても、置き換えが失敗したとは限りません。たとえば y = x − 3 と 2y + 1 = x を考えます。前者のyを後者に入れ、等式の両辺に同じ操作をします。

2(x - 3) + 1 = x
2x - 6 + 1 = x
2x - 5 = x
x - 5 = 0
x = 5
y = 5 - 3
y = 2

元へ戻すと 2 = 5 − 3、2・2 + 1 = 5 です。右辺にもxがあるので、両辺からxを引きました。片方からだけ引くと等式が保たれません。置き換えた時点で残る文字が一種類なら、両辺に現れていても一文字の方程式として整理できます。

一方、置換後に 2x − 6 + 1 = y と書いてしまったなら、元の右辺xをyに変えてしまっています。これは整理を進める前に直します。代入で替えるのは選んだ文字の場所です。ほかの文字や数まで一緒に変える操作ではありません。置換前と後を上下に書き、変えた部分以外が同じか確認できます。

文字を表す前の判断

2本のうち、どちらの式から文字を表してもよいのですが、計算の見通しは異なります。たとえば 4x + y = 9 と x − 2y = 3 なら、前者から y = 9 − 4x、または後者から x = 3 + 2y と整数係数のまま表せます。前者からxを表すには4で割るので、分数を扱う段階が早く訪れます。分数を使う方法も正しいものの、符号の確認に集中したいときは係数1の文字が便利です。

ここで前者のyを後者へ入れると、x − 2(9 − 4x) = 3、9x − 18 = 3、x = 7/3 です。y = 9 − 4・7/3 = -1/3 となります。元の条件は 4・7/3 + (-1/3) = 9、7/3 − 2・(-1/3) = 3 です。答えが整数でなくても、二式に正確に戻れば条件を満たしています。

後者から x = 3 + 2y とした場合には、4(3 + 2y) + y = 9 から 9y = -3、y = -1/3 と求まります。二つの道筋を比べると、先に求まる文字は違います。それでも表した式を使って組に戻すと同じ答えに着きます。別の道筋は計算の確認に役立ちますが、途中の二つの式が元の式から正しく得られたことも確かめます。

検算が合わなかったら

検算の結果には、どの行を見直すかの手がかりがあります。文字を表した式からyを求め、その元になった方程式には合うのに、代入先の方程式には合わない場合、置換またはその後の計算を優先して調べます。反対に、元の両方に合わないときは、文字を表す変形や、最後に値を書き写した箇所も候補です。これは探す順番の目安であり、合わなかった式だけに誤りがあると決めつけることはできません。

たとえば x = 4、y = 7 を基本例題の2本目に入れるとき、3・4 − 7 を 3・(4 − 7) と計算すると、正しい組でも検算が合いません。元の式はxの3倍からyを引く形です。検算も元の係数と演算の順序を保ち、左辺と右辺を別々に計算します。計算し直した後に両辺が等しければ、その式の条件を満たします。もう一方も同じように確かめて初めて、連立方程式の答えとして確認できます。

誤った行から原因を探す

基本例題の置換後に、3x − (2x − 1) = 5 を 3x − 2x − 1 = 5 とした場合を考えます。図3のように、括弧の前の負号は両項に作用します。

図3の正しい行は 3x − 2x + 1 = 5 です。誤った行からは x = 6、y = 11 と進みますが、元の2本目では 3・6 − 11 = 7 となり5に合いません。検算で合わなかったら、最後の計算を繰り返す前に、括弧を外す直前と直後を比べます。

別の誤りは、標準例題で y = 8 − x を 2x − 3y = 1 のyへ入れるとき、2x − 3・8 − x = 1 と書くことです。これでは-xにも-3を掛けるという条件が消えます。2x − 3(8 − x) = 1 と書き直し、括弧の中の2項にそれぞれ-3を掛けます。どちらの誤りも、式全体が元の文字の値であることを見失うと起こります。

また、求めたxを代入した式だけで確かめ、yを求め忘れることもあります。一文字の方程式は途中の道具であり、答えは二文字の組です。最後に x = 、y = と並べ、値をそれぞれ元の二式に入れる欄を作ると、未完成の答えを見分けられます。

練習：置換の場所を印で追う

次の5問を解き、各組を分数または整数で答えましょう。問題ごとに、どちらの文字をどの式から表したかも書きます。

1. y = x + 4、2x + y = 13。
2. x = 3 − y、2x − y = 0。
3. x + y = 11、3x − y = 5。
4. 2x + y = 4、x − 2y = 7。
5. x − 3y = 2、2x + y = 9。

答えとたどり方

1. 1本目のyを2本目に入れます。2x + (x + 4) = 13、3x = 9、x = 3、y = 7 です。元へ戻すと 7 = 3 + 4、2・3 + 7 = 13 です。

2. 1本目のxを2本目に入れます。2(3 − y) − y = 0、6 − 3y = 0、y = 2、x = 1 です。元では 1 = 3 − 2、2・1 − 2 = 0 となります。2を括弧の両項に掛けます。

3. 1本目から y = 11 − x と表し、3x − (11 − x) = 5 とします。4x − 11 = 5、x = 4、y = 7 です。元の和は 4 + 7 = 11、差は 3・4 − 7 = 5 です。引く括弧の中の-xは+xに変わります。

4. 1本目から y = 4 − 2x と表します。x − 2(4 − 2x) = 7、5x − 8 = 7、x = 3、y = -2 です。元へ戻すと 2・3 + (-2) = 4、3 − 2・(-2) = 7 です。負の値も括弧に入れると符号を追えます。

5. 1本目から x = 3y + 2 と表します。2(3y + 2) + y = 9、7y + 4 = 9、y = 5/7、x = 29/7 です。元では 29/7 − 3・5/7 = 2、2・29/7 + 5/7 = 9 です。分母をそろえたまま確かめると、丸めずに両条件へ戻せます。

手元に残す要点

• 一方の式で一文字を表し、もう一方に式全体を入れます。
• 括弧の前の数や符号を中の各項に掛けます。
• 一文字を求めたら、表した式に戻してもう一文字を求めます。
• 答えの組を元の二式に代入し、両方の等号を確かめます。

答えが合わないときに見る場所

お子さまが一文字の値までは出せる場合、置換した行と括弧を外した行を並べ、どの項に何を掛けたかを指でたどると原因を特定できます。最初の行から異なる場合は、表した文字と置換先の文字が一致しているかを見ます。答えが分数なら、近似値に直す前に分母をそろえて検算します。

個別指導で確かめるなら、「この括弧は元のどの文字を表すか」「この組は二つの条件を満たすか」を式を指しながら説明してもらいます。正しい答えにたまたま届いた場合も、置き換えの範囲を言葉で示せるかが次の問題への手がかりです。等しい式をひとまとまりとして扱えば、符号の行にも根拠が残ります。