中2数学 連立方程式の加減法—消したい文字を選び二つの等式をまとめて扱う｜武蔵野個別指導塾

係数をそろえる操作と符号の選び方を、両辺を倍にする理由からたどる連立方程式の加減法です。

よくあるのは、文字の係数をそろえようとして、片方の辺だけを何倍かして計算を続ける場面です。見た目は二つの式がそろっていても、右辺が元のままなら、初めの条件とは別の条件に変わってしまいます。どの文字を消すかを選ぶ前に、一つの等式の左右がつり合っていることを思い出しましょう。二つの式を使う理由が見えると、加えるか引くかの選択にも根拠が生まれます。

二つの条件を同時に満たす組

連立方程式の解は、二つの方程式を同時に成り立たせる文字の値の組です。例えば、x + y = 7 と x − y = 1 なら、x = 4、y = 3 は両方を成り立たせます。一方、x = 5、y = 2 は最初の式を満たしますが、二つ目の左辺は 3 なので解ではありません。一方だけに合う組と、両方に共通する組を区別します。

出方には、消す文字の係数が初めから等しい型、符号が反対の型、何倍かして係数をそろえる型があります。等しい係数なら一方の式全体から他方を引き、反対の係数なら二つを加えると、その文字の項が 0 になります。係数がそろっていなければ、各式の両辺に同じ 0 でない数を掛けて準備します。

必要なのは、正負の数の加減、文字の項をまとめる計算、一次方程式の解き方です。文字を消す操作がうまくいっても、残った一文字の方程式で符号を取り違えることがあります。式を組み合わせる段階と、残った式を解く段階を分けて見直すと、原因を探しやすくなります。

左右のつり合いを組み合わせる

図1のように、二つの等式がそれぞれ成り立つとき、左辺同士と右辺同士を加えた等式も成り立ちます。引く場合も同じです。左右に等しい量をそれぞれ加える、または等しい量をそれぞれ引くからです。これは二つの条件から新しい条件を作る操作です。

図1では、A = B と C = D から A + C = B + D を作っています。A、B、C、D はそれぞれ式を表す記号です。例えば A と B が同じ値、C と D が同じ値なら、対応する和も同じ値です。右辺を加え忘れると、この対応が崩れます。

ただし、新しく作った一つの式だけで元の二条件の代わりになるとは限りません。最初の x + y = 7 と x − y = 1 を加えると 2x = 8 ですが、この式は x = 4 なら y がどんな値でも成り立ちます。元の二つの式に共通する解は新しい式を満たしますが、新しい式を満たす組が元の両方を満たすとは限らないのです。そこで、残った文字の値を元の一方に戻し、最後に両方へ代入します。

係数をそろえるために式を倍にするときも、両辺に同じ数を掛けます。0 でない数を掛けた式は、その数で両辺を割れば元に戻せるため、元の式と同じ解の組を持ちます。0 を掛けると 0 = 0 となって元の条件を取り戻せないため、係数をそろえる操作には使いません。

どちらを消すかは、計算が短くなる方を選べます。係数の絶対値が 2 と 3 なら、どちらにも割り切れる最小の正の整数は 6 です。この最小公倍数を使えば、一方を 3 倍、他方を 2 倍にして係数の絶対値をそろえられます。最小公倍数以外の共通の倍数でも消去できますが、数が大きくなりやすいので、途中の計算量を比べて選びます。

基本例題：等しい係数を引く

次の連立方程式を解き、x と y の値をそれぞれ答えてください。

2x + y = 11  …①
x + y = 7    …②

図2のように、y の係数はどちらも 1 です。①の左辺から②の左辺を引き、同時に①の右辺から②の右辺を引けば、y が消えます。引く側の式は一つのまとまりとして扱います。

(2x + y) - (x + y) = 11 - 7
2x + y - x - y = 4
x = 4

図2の矢印は、二式の差から一文字の式を得る流れを表しています。x = 4 を②に入れて、残った値を求めます。

4 + y = 7
y = 3

答えは x = 4、y = 3 です。元の①へ戻すと 2・4 + 3 = 11、②へ戻すと 4 + 3 = 7 です。どちらも右辺に一致します。この確認は、引き算の答えだけを見るのではなく、元の条件を満たすかを見るために行います。

②から①を引いても、-x = -4 となり、同じ x = 4 が得られます。引く順番は自由ですが、左辺で①から②を引いたなら、右辺でも 11 から 7 を引く必要があります。順番を左右で逆にすると、等式として対応しなくなります。

標準例題：反対の符号なら加える

次の連立方程式を解き、x と y の値をそれぞれ答えてください。

3x + 2y = 16  …③
x - 2y = 0    …④

y の係数は 2 と -2 です。③と④を加えれば、2y と -2y の和が 0 になります。

3x + 2y + x - 2y = 16 + 0
4x = 16
x = 4

④に x = 4 を入れます。

4 - 2y = 0
-2y = -4
y = 2

答えは x = 4、y = 2 です。③では 3・4 + 2・2 = 16、④では 4 − 2・2 = 0 となります。元の二条件に戻して、組が共通の解であることを確かめました。

ここで③から④をそのまま引くと、y の項は 2y − (-2y) = 4y となり、消えません。引くこと自体が誤りなのではなく、文字を消したいという目的に合わない操作です。先に係数の符号を見て、和が 0 になるか差が 0 になるかを判断します。

別の選び方として、④を 3 倍して x の係数をそろえることもできます。3x − 6y = 0 を③から引けば 8y = 16 です。この方法でも解は同じですが、初めから反対の係数になっている y を加えて消す方が短く進みます。代入法は一方の文字をもう一方で表して置き換える方法ですが、この例では係数を見て加える方法を使います。

発展例題：両方を倍にしてそろえる

次の連立方程式を解き、x と y の値をそれぞれ答えてください。

2x + 3y = 12  …⑤
3x - 2y = 5   …⑥

x の係数 2 と 3 の最小公倍数は 6 です。⑤を 3 倍、⑥を 2 倍すると、どちらも x の係数が 6 になります。それぞれの式で、左辺の各項と右辺を同じ数で倍にします。

6x + 9y = 36   …⑤の3倍
6x - 4y = 10   …⑥の2倍

上の式から下の式を引きます。下の式の左辺全体を引くので、-4y を引く箇所は +4y になります。

(6x + 9y) - (6x - 4y) = 36 - 10
6x + 9y - 6x + 4y = 26
13y = 26
y = 2

⑤に戻して x を求めます。

2x + 3・2 = 12
2x + 6 = 12
2x = 6
x = 3

答えは x = 3、y = 2 です。⑤は 2・3 + 3・2 = 12、⑥は 3・3 − 2・2 = 5 となり、両方が成り立ちます。途中の 13y = 26 が合っていても、元の二式に戻るまでは元の条件を満たす組だと確定できません。

y を消す道もあります。⑤を 2 倍すると 4x + 6y = 24、⑥を 3 倍すると 9x − 6y = 15 です。今度は係数が反対なので加え、13x = 39 から x = 3 を得ます。二つの道は、消す文字と加減の向きが違っても、両辺に対応する操作を行う点で同じです。途中で大きな数が出るときは、最初に両方の係数を見比べると選びやすくなります。

誤りを式の意味まで戻して直す

図3は⑤を 3 倍するときの二つの書き方です。誤りでは左辺が 3 倍になっているのに、右辺は 12 のままです。正しくは右辺も 36 にします。元の解 x = 3、y = 2 を誤った式に入れると、左辺は 36 で右辺の 12 と一致しません。元の解が失われたことが、計算の途中でも確認できます。

この誤答の原因は、そろえたい係数に目が向き、等号の右側を操作の対象から外してしまうことです。図3のように、倍にする式を丸ごと見て、左辺の各項と右辺に同じ数を掛けます。数字を書き終えた後に、元の式のどの項から生まれたかを一つずつ指で追うのも有効です。

もう一つの誤りは、発展例題で下の式を引く際に、9y − 4y とすることです。引く対象は -4y なので、正しくは 9y − (-4y) = 13y です。原因は、引く式全体を括弧で囲まず、先頭の項だけを引いたつもりになることにあります。まず (6x + 9y) − (6x − 4y) と書けば、括弧の前のマイナスが両方の項に作用することを追えます。

逆に、どちらも正の係数である項を加えて消そうとすると、その項は残ります。例えば 5y と 5y の和は 10y で、差が 0 です。操作の後で消したい項が本当に 0 になったかを調べ、残っていれば符号と加減の選択に戻ります。答えが整数らしく見えることだけでは、操作の正しさは判定できません。

途中で確かめる場所を分ける

計算が途中で食い違ったときは、最後の答えだけを消して書き直すより、変形する前後の一行を比べると原因を探せます。まず、倍にした式の各項が同じ倍率になっているかを確かめます。次に、二式を引いた行では右辺の順番と、括弧の中の各項の符号を照合します。ここまで正しければ、残った一文字の方程式を独立に解き直します。

たとえ途中で文字が消えても、それだけでは操作が正しかった証拠になりません。例えば、右辺を倍にし忘れた式でも、左辺の係数だけはそろうため、引き算で文字を消せます。そこで元の条件へ戻す確認が必要です。両方とも一致したら解として認められ、どちらかが一致しなければ、最初に不一致が現れた操作まで戻ります。

一方、二式を加えた後の式に合う組を見つけた場合は、もう一つ元の式に当てはめる必要があります。加える操作で二条件の一部がまとめられるため、片方の文字に関する情報が消えるからです。元の一方で残りの文字を求め、両方で確認する手順は、その失われた情報を取り戻すためにあります。

練習：消す文字と操作を決める

それぞれ x と y の値を答え、元の二式に戻して確かめてください。必要に応じて分数のまま答えます。

1. 4x + y = 14、2x + y = 8
2. 2x + 3y = 13、x − 3y = 2
3. 3x + 2y = 12、2x − y = 1
4. 5x − 2y = 1、3x + 2y = 15
5. 2x + y = 2、x − y = 0

練習の答えと確かめ

1. 二式の差で y を消します。

(4x + y) - (2x + y) = 14 - 8
2x = 6
x = 3
2・3 + y = 8
y = 2

答えは x = 3、y = 2 です。元に戻すと 4・3 + 2 = 14、2・3 + 2 = 8 です。引く順番は左右でそろえています。

2. y の係数が反対なので加えます。

(2x + 3y) + (x - 3y) = 13 + 2
3x = 15
x = 5
5 - 3y = 2
-3y = -3
y = 1

答えは x = 5、y = 1 です。2・5 + 3・1 = 13、5 − 3・1 = 2 と両方を満たします。最後の割り算では負の数同士を割っています。

3. 二つ目の式を 2 倍し、最初の式と加えます。

4x - 2y = 2
(3x + 2y) + (4x - 2y) = 12 + 2
7x = 14
x = 2
2・2 - y = 1
y = 3

答えは x = 2、y = 3 です。3・2 + 2・3 = 12、2・2 − 3 = 1 です。2 倍した式では右辺も 2 倍しています。

4. 二式を加えると y が消えます。

(5x - 2y) + (3x + 2y) = 1 + 15
8x = 16
x = 2
3・2 + 2y = 15
2y = 9
y = 9/2

答えは x = 2、y = 9/2 です。5・2 − 2・(9/2) = 1、3・2 + 2・(9/2) = 15 と、分数のまま正確に確認できます。整数にならないからといって、計算を途中で変える必要はありません。

5. 二式を加えて y を消します。

(2x + y) + (x - y) = 2 + 0
3x = 2
x = 2/3
2/3 - y = 0
y = 2/3

答えは x = 2/3、y = 2/3 です。2・(2/3) + 2/3 = 2、2/3 − 2/3 = 0 となります。分数も値の組としてそのまま扱い、近似せず元の条件に戻せます。

手元に残す要点

• 共通の解は、元の二式を同時に満たす組です。
• 式を倍にするときは、0 でない同じ数を両辺に掛けます。
• 係数が等しければ引き、反対なら加えると文字が消えます。
• 引く式は全体を括弧に入れ、各項の符号を確かめます。
• 求めた組を元の二式に戻します。

どこで止まったかを見つける

お子さまが答えを出せないときは、最初から計算をやり直す前に、消す予定の文字とその係数を尋ねてみてください。係数を指せるのに式が変わってしまうなら、倍にする行で左右の各項を追います。文字を消せた後に値が違うなら、一文字の方程式に分けて符号と割り算を見ます。

個別指導で確かめるときも、答えの正誤に加えて、なぜ加えるのか、引く式をどの範囲で捉えたかを本人の言葉で聞くと、次の一手を選びやすくなります。元の両式への代入まで書けるかを見れば、片方の条件だけに合う組を見落としていないかも調べられます。二つの等式を左右そろえて扱うことが、加減法の出発点です。