中2数学 等式の変形—求める文字を決めて両辺に同じ操作を順に行う｜武蔵野個別指導塾

周の長さや平均の式から目的の文字を取り出し、両辺に同じ文字がある場合の整理と、0で割れない理由を確かめます。

よくあるのは、求める文字を左辺に移したつもりなのに、右辺にも同じ文字が残ってしまうという場面です。たとえば右辺にある文字を左辺へ集める途中で、片側の項を書き残してしまうことがあります。答えに求める文字が残ると、その文字をほかの量から求める式にはなりません。どちらの辺に何をしたのかを1行ずつ見える形にすると、残った理由を探せます。

何を求める形にするか

等式の変形では、等しいという関係を保ったまま、目的に合う形へ書き換えます。求める文字が x なら、最後に左辺を x とし、右辺を x を含まない式にすることが目標です。右辺の文字は、値がわかれば x を計算するための材料になります。

出方には、求める文字に数をかけて別の数を足した式から戻る型、分母のある式から戻る型、求める文字が両辺にある型があります。周の長さや平均の関係も、まず数量の関係を等式にしてから同じ考えで扱えます。いずれも、目的の文字と、残してよい文字を先に区別します。

前に学んだ等式の性質、符号を含む加減、分配法則を使います。式の値を求める問題は、文字に数を代入して数を出すのが目的です。一方、文字を表す問題では、具体的な値が与えられなくても、ほかの文字を使った式を答えにします。数が指定されていないのに、勝手に代入した結果を答えにはできません。

中2の数と式では、目的に応じて簡単な式を変形します。ここでは加減と0でない定数による乗除を使い、周の長さと平均にも結びつけます。

左辺と右辺に同じ手当てをする

等式は、等号の左側の式と右側の式の値が等しいことを表します。左辺と右辺に同じ数や同じ式を加える、または引くと、等しい関係は保たれます。同じ数をかけても等しさは保たれますが、もとの関係へ戻れる変形として使うには、その数が0でないことが必要です。両辺を同じ数で割るときも、割る数は0であってはいけません。

図1のように、左右に同じ操作を行い、その逆の操作で戻せるかを考えます。たとえば両辺に 5 を足す操作は、両辺から 5 を引けば戻せます。両辺を 3 倍する操作は、両辺を 3 で割れば戻せます。このように行き来できれば、変形前を満たす組と変形後を満たす組は同じです。

図1の左右は等号の両側です。片方だけに加えたり、片方だけを割ったりすると、一般には等しさが壊れます。また、両辺に0をかけると、もとの左右が違う値でも 0 = 0 になります。0倍した後からは、もとの左右の値が等しかったかを判定できません。0で割る操作も定義されないため、求める文字の係数が0なら、割らずに元の関係を調べます。

教室で「移項」と呼ぶ操作も、両辺に同じ式を加減した結果です。右辺に +3x があるとき、両辺から 3x を引けば、右辺の +3x と -3x が消え、左辺には -3x が加わります。符号を変えて飛び移ると覚える前に、右辺でも引いて消していることを確かめると、片側への書き残しを防げます。

基本例題：周の長さから横を表す

縦が a cm、横が b cm の長方形の周の長さを P cm とします。P = 2a + 2b を、横の長さ b について解き、P と a を使う式で表してください。実際に長方形が作られる場合の長さは正とします。

求めるのは b です。2a が b を含まない項なので、まず両辺から 2a を引きます。その後、b にかかっている 2 を取り除くために両辺を 2 で割ります。2 は0でないので、逆向きに2をかけて元へ戻せます。

P = 2a + 2b
P - 2a = 2a + 2b - 2a
P - 2a = 2b
(P - 2a)/2 = b
b = (P - 2a)/2

図2のように、周から縦2辺の合計を引けば、横2辺の合計が残ります。その合計を2等分すると横1辺です。左辺と右辺を最後に入れ替えても、等しい関係は変わりません。

たとえば P = 34、a = 6 なら、b = (34 − 12)/2 = 11 cm です。縦2辺は合計12 cm、横2辺は合計22 cmなので、周は 12 + 22 = 34 cm に戻ります。式に代入する検算に加え、図形の辺の合計として元の周に戻すことで、立てた関係も確かめられます。

長さとして使う場合は、P が 2a より大きくなければ横は正になりません。式の変形自体は文字を数として扱えますが、P = 10、a = 6 という指定なら b = -1 となり、長方形の長さという条件には合いません。式から出た数と場面の条件を分けて確認します。

別の書き方として、最初に両辺を2で割れば P/2 = a + b、次に両辺から a を引けば b = P/2 − a です。これは (P − 2a)/2 と同じ値です。括弧の中の両項を2で割るのであり、P だけを割って 2a をそのまま残すことはできません。

標準例題：平均から残りの値を表す

3回の測定値を u、v、w、その平均を m とします。平均の関係 m = (u + v + w)/3 を、w について解いてください。また、u = 7、v = 13、m = 12 のときの w を整数で求めてください。測定値には同じ単位を使います。

平均は合計を個数で割った数です。合計を先に取り戻すため、両辺を3倍します。3は0でないので、両辺を3で割れば元の等式へ戻れます。続けて、求めない u と v を両辺から引きます。

m = (u + v + w)/3
3m = u + v + w
3m - u = v + w
3m - u - v = w
w = 3m - u - v

数を入れると w = 36 − 7 − 13 = 16 です。元の場面では測定値の合計が 7 + 13 + 16 = 36、3回の平均が 36/3 = 12 となり、指定された平均に戻ります。答えは16です。w の式の右辺には u、v、m が残りますが、求める文字 w は残っていません。

最初に両辺から u と v を引いても、右辺の分母3は全体にかかるので、見通しが悪くなります。先に3倍する方法は、平均から合計を戻すという場面の意味にも沿っています。反対に、m = u + v + w としてしまうと、合計を平均と取り違えます。上の数では合計は36で、平均12とは異なります。

この例の3は測定回数を表す定数です。回数を別の文字として扱い、それで割る場合には0でないことの確認が必要ですが、ここでは3回という条件に限って考えます。

発展例題：両辺に同じ文字があるとき

幅が一定の2枚の帯を比べます。1枚目の長さは、共通の長さ x cm の4倍に y cm を加えた長さです。2枚目の長さは、同じ x cm と18 cm を合わせた長さで、2枚の長さは等しいとします。4x + y = x + 18 を x について解いてください。また、y = 6 のときの x を整数で求めてください。

両辺に x があるため、まず右辺の x を消して左辺にまとめます。右辺から x を引くなら、左辺からも x を引きます。次に y を取り除き、最後に x の係数3で両辺を割ります。

4x + y = x + 18
4x + y - x = x + 18 - x
3x + y = 18
3x + y - y = 18 - y
3x = 18 - y
x = (18 - y)/3

3は0でないので、最後の除法は逆に3をかけて戻せます。y = 6 のとき x = (18 − 6)/3 = 4 cm です。帯の長さで確かめると、1枚目は 4・4 + 6 = 22 cm、2枚目は 4 + 18 = 22 cm です。どちらも正の長さで、等しいという場面の条件を満たします。

別の順番なら、最初に両辺から y を引き、次に両辺から x を引いても 3x = 18 − y になります。操作の順番は変えられますが、右辺の x を消す操作では左辺の 4x も変わる点は同じです。最後に右辺を見て x が残っていないか確認してください。

長さとして考える場合、式 x = (18 − y)/3 から x が正になるには y が18より小さい必要があります。y = 18 では x = 0 なので、正の長さという条件を満たしません。y が18より大きい場合も x は負です。文字の式としての変形と、その値が帯の条件に合うかという判断は別々に行います。

係数が0になる別の場合にも注意します。たとえば 2x + c = 2x + d から両辺の 2x を引くと c = d です。c と d が等しければ、x はこの関係から1つに決まりません。等しくなければ、どの x でも元の等式は成り立ちません。0x = d − c と書いて0で割ることはできず、先ほどの係数3の場合と同じ手順をそのまま使えません。

間違えた行から戻す

図3は、発展例題で右辺の x を消そうとして、左辺の 4x を変え忘れた例です。誤った行 4x + y = 18 は、右辺からだけ x を引いたことになっています。左右に同じ操作を行うという約束が崩れています。

図3の正しい行は 3x + y = 18 です。元の等式に x = 4、y = 6 を入れると左右は22で等しいのに、誤った行では左辺22、右辺18で等しくありません。この反例から、誤った行が元と同じ関係を表していないとわかります。修正するときは、元の行に戻り、左右それぞれに -x を書いてからまとめます。

もう1つの誤りは、3x = 18 − y から x = 6 − y とするものです。左辺を3で割るなら、右辺の全体も3で割る必要があります。y = 6 を入れると、誤った式は x = 0 を与えますが、そのとき元の左辺は6、右辺は18で一致しません。正しくは x = (18 − y)/3、または x = 6 − y/3 です。

括弧を外すときの符号にも気をつけます。たとえば 5 = x − (a − b) なら、両辺に a − b を加えると x = 5 + a − b です。括弧の前の符号を一部にしか適用しなければ、値が変わります。操作を書く行と、括弧を整理する行を分けると、どこで符号が変わったかを追えます。

練習：5つの関係から取り出す

次の問題は、まず指定された文字をほかの文字で表してください。数が与えられている問題では、その後に指定された形で値も求めます。

1. あるテープの長さ L cm は、基本の長さ t cm を5倍し、さらに8 cm を加えたものです。L = 5t + 8 を t について解いてください。L = 43 のとき t を整数で求めてください。
2. 4回分の読書量を p、q、r、s ページ、平均を h ページとします。h = (p + q + r + s)/4 を s について解いてください。p = 9、q = 14、r = 11、h = 12 のとき s を整数で求めてください。
3. 縦 c cm、横 d cm の長方形の周の長さを K cm とします。K = 2c + 2d を c について解いてください。K = 31、d = 7 のとき c を正確な分数で求めてください。
4. 2本の棒の長さが等しく、一方は 6z + k cm、他方は 2z + 20 cm です。6z + k = 2z + 20 を z について解いてください。k = 5 のとき z を正確な分数で求めてください。
5. 温度を表す2つの数 A、B の関係が A = 2B − 10 です。この等式を B について解いてください。A = -4 のとき B を整数で求めてください。

練習の答えと確かめ方

1. 両辺から8を引き、0でない5で割ります。

L = 5t + 8
L - 8 = 5t
(L - 8)/5 = t
t = (L - 8)/5

t = (43 − 8)/5 = 7 cm です。テープの長さは 5・7 + 8 = 43 cm となり、元の指定に戻ります。8を引く前に5で割る方法も可能ですが、その場合は右辺の8も割ります。

2. 4回の合計に戻してから、先の3回分を引きます。

h = (p + q + r + s)/4
4h = p + q + r + s
4h - p - q - r = s
s = 4h - p - q - r

s = 48 − 9 − 14 − 11 = 14 ページです。4回の合計は 9 + 14 + 11 + 14 = 48 ページで、平均は 48/4 = 12 ページです。求めたページ数が整数であることも条件に合います。

3. 両辺から横2辺分を引いてから2で割ります。

K = 2c + 2d
K - 2d = 2c
(K - 2d)/2 = c
c = (K - 2d)/2

c = (31 − 14)/2 = 17/2 cm です。縦2辺は17 cm、横2辺は14 cmで、周は 17 + 14 = 31 cm に戻ります。17/2 は正なので、長さの条件にも合います。

4. 両辺から 2z と k を順に引き、0でない4で割ります。

6z + k = 2z + 20
4z + k = 20
4z = 20 - k
z = (20 - k)/4

z = (20 − 5)/4 = 15/4 cm です。一方の棒は 6・(15/4) + 5 = 55/2 cm、他方は 2・(15/4) + 20 = 55/2 cm です。分数のまま両方の長さを求めると、等しいことを正確に確かめられます。

5. 両辺に10を加え、0でない2で割ります。

A = 2B - 10
A + 10 = 2B
(A + 10)/2 = B
B = (A + 10)/2

B = (-4 + 10)/2 = 3 です。元の温度の関係に戻すと 2・3 − 10 = -4 となり、与えられた A に一致します。負の値を代入するときも、括弧全体を割ります。

手元に残す4行

求める文字を決め、右辺からその文字をなくします。
両辺に同じ加減を行い、0でない数で乗除します。
括弧や分数は、式全体に操作を適用します。
答えを元の関係と場面の条件に戻します。

つまずきの場所を見つける

お子さまが答えを出せないときは、最初に「どの文字を表すか」を指で示してもらうと、目標を取り違えているかが見えます。目標は合っていて右辺にその文字が残る場合は、左右に同じ操作が書かれているかを行ごとに確かめます。正しい式から誤った式へ変わった最初の1行を探すと、符号の間違いと操作の抜けを区別できます。

個別指導では、周の図を見てどの辺の合計を引いたのか、平均の式を見て3倍が何を表すのかを言葉にしてもらいます。さらに、係数が0のときに割らずに何を調べるかを尋ねれば、手順の暗記と操作の理由を区別できます。正しい結果でも元の場面へ戻せるかを確かめると、関係の立て方まで見直せます。

求める文字を残さず、逆に戻れる操作を重ねると、等式は使いたい形に変わります。