中2数学 文字式による説明—整数の条件を文字に託して数の性質の理由を示す｜武蔵野個別指導塾

偶数・奇数や連続する整数を文字で表し、和と差が決まる理由を説明して、数例と一般の証明の違いを見分けます。

よくあるのは、いくつかの数で試して同じ結果になったので、必ず成り立つと書く場面です。例えば、条件に合う数を3組選んで確かめれば、予想を立てたり計算間違いを見つけたりできます。しかし、まだ試していない負の数や0を含む組については、それだけでは結論が出ません。文字に整数という条件を添え、どの組にも通用する式を作ると、結果がそうなる理由まで説明できます。

どんな条件を式にするか

問いの形には、偶数や奇数の和がどちらになるかを説明するもの、連続する整数の和や差が何の倍数かを示すもの、示された主張が成り立つ条件を見分けるものがあります。どれも、具体的な数を計算して予想を立てることは出発点になります。その後、条件に合う数を文字で表し、計算結果を結論の形へ直します。

必要なのは、正負の数の加減、文字式の計算、倍数と整数の意味です。整数には負の整数、0、正の整数が含まれます。2の倍数である整数を偶数、2で割ると余りが1になる整数を奇数といいます。ここでは和と差を扱い、積や二乗の展開を使う説明には進みません。中2の式の計算で、数の性質を説明する練習です。

整数を表す文字と結論の形

整数をnとすると、偶数は2n、奇数は2n + 1と表せます。nが負でも0でもかまいません。例えばnが-2なら2nは-4、2n + 1は-3です。偶数は整数の2倍ですし、奇数はある整数の2倍に1を加えた数です。逆にnが整数なら、2nは偶数で、2n + 1は奇数です。この両向きの対応があるので、条件に合う任意の数を式にできます。

図1のように、文字の範囲を先に決め、結果を整数の倍の形にします。文字を置くだけでは、なぜ結論が出るのかはまだ伝わりません。

図1の2nと2n + 1のnは整数です。もしnが整数でなければ、2nが偶数とは限りません。例えばn = 1/2なら2n = 1です。「2に何かを掛けた」だけでは足りず、その何かが整数であることが必要です。同様に、6は2・3ですが、3が整数なので偶数と判断できます。

別々に選んだ偶数には、整数m、nを使って2m、2nと置きます。同じ文字を使うと2つの数が等しい場合に限られてしまいます。一方、連続する2つの整数は、小さい方を整数nとしてn、n + 1です。次の数は小さい方が決まれば定まるため、別の文字を使う必要はありません。連続する3つならn、n + 1、n + 2です。

結論が「4の倍数」であれば、式を4と整数の積に直します。括弧の中が整数である理由まで添えると、倍数の定義に戻れます。整数どうしの和や差、整数の整数倍は整数です。ただし整数を2で割った結果は、いつも整数とは限りません。この違いが説明の分かれ目です。

倍数の説明では、結論の形に直す前に、何を示すかを見失わないことも大切です。例えば2(m − n)が出たとき、m − nが整数なら偶数とは言えますが、4の倍数とまでは決まりません。4の倍数と主張するには、さらにm − nが偶数であることが必要です。括弧内に2が隠れているかを、条件から調べます。

また、文字は特定の1つの値を当てるために置くとは限りません。任意の整数として置けば、その後の計算はその条件を満たすどの値にも使えます。説明を読むときには、最初の表し方が条件に合う数を取りこぼしていないか、途中で新たな条件を勝手に加えていないかを確かめます。結論が成り立たない主張なら、条件を守った反例を探すことも有効です。

基本例題：偶数と奇数の和

問題：偶数と奇数を1つずつ選び、その和が奇数になることを説明してください。負の整数や0も含めて考えます。

解答：整数m、nを用いると、選んだ偶数は2m、奇数は2n + 1と表せます。それらの和は次のようになります。

2m + (2n + 1)
= 2m + 2n + 1
= 2(m + n) + 1

m + nは整数なので、これは整数の2倍に1を加えた形です。したがって、偶数と奇数の和は奇数です。図2のように、2つの数の2倍の部分をまとめ、最後に残る1を見ます。

図2の括弧の中は、偶数を決めた整数と奇数を決めた整数の和です。例えば-4と7なら、m = -2、n = 3として和は3です。これは説明と矛盾しない例ですが、この組の計算そのものが一般の証明ではありません。任意のm、nで括弧内が整数になることが、すべての場合を支えています。

「和が2の倍数に1を加えた形」と書けば、奇数の定義へ戻れます。途中で2m + 2n + 1まで出して終えると、結果の見方が読み手に任されます。最後の括弧と整数の確認が、式の計算を説明に変える部分です。

標準例題：連続する3つの整数

問題：連続する3つの整数の和は3の倍数です。その理由を説明し、和が真ん中の整数とどのように関係するかも述べてください。

解答：最も小さい整数をnとすると、3つの整数はn、n + 1、n + 2です。和を整理します。

n + (n + 1) + (n + 2)
= 3n + 3
= 3(n + 1)

n + 1は整数なので、和は3の倍数です。また、n + 1は真ん中の整数ですから、和は真ん中の整数の3倍です。例えば-5、-4、-3の和は-12で、真ん中の-4の3倍です。負の範囲でも、一般の式がそのまま使えます。

別の見方では、真ん中の整数をkと置けば、3つはk − 1、k、k + 1です。両端の-1と+1が打ち消し合い、和は3kになります。こちらもkを整数と宣言し、両端が連続する整数であることを明示する必要があります。真ん中を基準にすると和の構造が見えやすい一方、最小の数を指定する問題ではnから順に表す方が条件を追いやすい場合があります。

3つの整数が単に異なるという条件では、この結論は保証されません。例えば1、2、4の和は7で、3の倍数ではありません。連続という条件をn、n + 1、n + 2に反映して初めて、この計算が適用できます。逆に、一例でも条件を満たし結論を満たさない組があれば、必ず成り立つという主張は否定できます。このような例を反例といいます。

発展例題：奇数どうしの差

問題：大きい方から小さい方を引いたとき、2つの奇数の差がいつも4の倍数になるという主張を調べてください。成り立たないなら反例を挙げ、差が4の倍数となる条件を、2つの奇数を表す整数を使って説明してください。

解答：まず9と3はともに奇数ですが、差は6です。6は4の倍数ではないので、主張は成り立ちません。一方、11と3の差は8で4の倍数です。成功する組があっても、失敗する組がある以上、「いつも」とは言えません。

大きい奇数を2m + 1、小さい奇数を2n + 1とします。m、nは整数で、大きさの条件からm > nです。差は次のとおりです。

(2m + 1) - (2n + 1)
= 2m + 1 - 2n - 1
= 2(m - n)

m − nは整数なので、差は必ず偶数です。さらに、m − nが偶数なら、整数rを使ってm − n = 2rと書け、差は4rです。よって4の倍数になります。反対に差が4の倍数なら、整数sを使って2(m − n) = 4sと書けるので、両辺を2で割るとm − n = 2sです。したがって、差が4の倍数となる条件は、m − nが偶数であることです。

この逆向きの確認も必要です。m − nが偶数なら差が4の倍数だと示すだけでは、ほかにも差が4の倍数になる場合があるかどうかは決まりません。反例の9と3ではm = 4、n = 1で差は3、成功する11と3ではm = 5、n = 1で差は4です。元の奇数の差はそれぞれ6、8となり、条件と一致します。

間違いを見つけて直す

図3のように、数例の成功から必ず成り立つと判断する答案を考えます。2つの奇数の差を調べて8と4が出ても、それは選んだ組の結果です。先ほどの9と3では差が6なので、4の倍数という結論は崩れます。図3は成功例と反例を比べ、主張の「いつも」を点検する道筋です。

別の誤答は「整数nについて2n + 1は奇数だから、奇数2n + 1と2n + 1の差は0。よってどの2つの奇数の差も0」とするものです。同じnを使うと2つは同じ数であり、別々の奇数を選ぶ条件を表せません。整数m、nを別に置き、差を2(m − n)と直します。例えば5と1なら差は4で、0とは限りません。

もう1つ、2(m + n)の形を見て「m + nが整数かどうかは関係ない」とする説明も不十分です。m、nが整数なら和も整数なので偶数と結論できますが、文字の範囲を指定しない式だけでは保証できません。置いた文字の範囲と括弧内の整数性を線で結んで点検してください。

計算が途中で止まった場合は、まず元の条件を式に戻します。連続する数をn、n + 2と書いたなら、それは間に整数が1つある組です。計算を続ける前に、求められた「連続」と式が一致するかを調べます。答えの見た目が倍数らしくても、出発点が条件と違えば元の主張の説明にはなりません。

練習：条件から自分で組み立てる

次の5問は、それぞれ整数の条件を文字で表し、理由も書いてください。反例を求める問いでは、条件を満たす具体的な整数を挙げてください。

1. 2つの偶数の和が偶数になることを説明してください。
2. 2つの奇数の和が偶数になることを説明してください。
3. 連続する2つの整数の和が奇数になることを説明してください。
4. 連続する4つの整数の和が4の倍数になるという主張を調べ、成り立たなければ反例と、和がどのような偶数になるかを説明してください。
5. 連続する3つの偶数について、最大の数から最小の数を引いた差を整数で求め、理由を説明してください。

練習の答えと考え方

1. 整数a、bを用いて偶数を2a、2bとします。和は2a + 2b = 2(a + b)です。a + bは整数なので、和は偶数です。例えば-8と2の和は-6で、条件にも結論にも合います。2つが異なる数でも同じ数でも、この表し方に含まれます。

2. 整数a、bを用いて奇数を2a + 1、2b + 1とします。和は2a + 1 + 2b + 1 = 2(a + b + 1)です。括弧内は整数なので偶数です。例えば-7と5の和は-2です。残る1が2つ集まり、2の倍数にまとめられる点が基本例題との違いです。

3. 小さい方を整数aとすると、もう一方はa + 1です。和はa + (a + 1) = 2a + 1となり、奇数です。例えば-2と-1は連続し、和は-3です。2つが連続するという条件が、差1の式として使われています。

4. 主張は成り立ちません。例えば1、2、3、4は連続する整数ですが、和は10で4の倍数ではありません。小さい方を整数aとして一般に計算すると、

 a + (a + 1) + (a + 2) + (a + 3)
= 4a + 6
= 2(2a + 3)

2a + 3 = 2(a + 1) + 1は奇数なので、和は奇数の2倍です。4a + 6 = 4(a + 1) + 2とも表せるため、和から2を引くと4の倍数です。元の和が4の倍数なら2も4の倍数になってしまいますが、それは成り立ちません。反例で主張を否定し、一般の式で失敗の理由も説明できます。

5. 答えは4です。最小の偶数を整数aを用いて2aとすると、次の偶数は2a + 2、その次は2a + 4です。差は(2a + 4) − 2a = 4です。例えば-6、-4、-2なら、最大の-2から最小の-6を引いて4です。連続する偶数は、連続する整数とは違って2ずつ増えます。

覚えておくこと

• 偶数は整数の2倍、奇数は整数の2倍に1を加えた形です。
• 独立に選ぶ数には別の文字を使い、連続する条件は差で表します。
• 計算後は括弧内が整数と示して、結論の定義へ戻ります。
• 数例は予想の確認に使い、反例は「必ず」を否定できます。

説明が止まった場所を見分ける

お子さまが答えの偶奇を当てられていても、なぜそうなるかが書けないときは、まず置いた文字が何を表すかを尋ねます。2つの数を同じ文字で表していないか、連続する整数と連続する偶数の間隔を区別しているかを確認します。式の計算が合っていれば、最後に括弧内が整数である理由を言葉にできるかを確かめます。

個別指導で答案を見るときは、具体例から一般の文字へ移る行、括弧にまとめる行、定義に戻る行を順に追えます。反例を挙げた場合も、元の条件に合うことと結論に合わないことの両方を計算します。整数という範囲を明示した1行が、数例を越える説明の土台です。