中2数学 式の値と簡単化—代入の前後を比べて負の数と分数の計算を確かめる｜武蔵野個別指導塾

負の数や分数を二文字の式に代入し、整理した式と元の式の二通りで計算して、同じ文字に同じ値を入れる手順を比べます。

よくあるのは、同じ文字に途中から別の値を入れている場面です。最初の項では x に負の数を入れたのに、次の項では符号を落とし、別の数として計算してしまいます。二文字の式では、どの文字に何を入れるかを最初に決め、その対応を最後まで保つことが出発点です。式を先に短くする道と、元の式へ直接数を入れる道を比べると、答えだけでなく途中の判断も点検できます。

どの順番で値を求めるか

式の値は、文字に指定された数を代入して計算した結果です。同じ式でも代入する数が変われば、値は変わり得ます。問題で指定された数の組を、式の横に書き留めてから計算します。例えば x = -2、y = 3 という条件なら、元の式のどの x にも -2、どの y にも 3 を入れます。

出方には、整理後に代入する型、元の式に直接代入する型、両方で計算して途中の誤りを見つける型があります。必要なのは、正負の数の加減、分数の計算、同じ文字を含む項をまとめる操作です。整理は見た目を短くするための飾りではなく、同じ数を何回使っているかをまとめ直す操作です。

どちらか一方で計算できても、もう一方の道をたどると符号の落とし方に気づけます。ただし両方で同じ代入ミスをすれば一致しても誤答です。答えの一致に加え、指定された数の組を各項に戻して読むことが必要です。

文字を置き換える前に、項をそろえる

項とは、式を加法の形で見たときの、それぞれの部分です。例えば 4x − 3y + 2x + y の項は、符号を含めて 4x、-3y、2x、y と見ます。x の項は x の項と、y の項は y の項とまとめます。文字部分が異なる 4x と -3y は、そのままでは 1つの項にはできません。

4x + 2x は、同じ x を 4個分と 2個分合わせるので 6x です。-3y + y は、-3個分と 1個分を合わせて -2y です。したがって元の式は 6x − 2y と表せます。整理の前後で各文字に同じ数を入れる限り、足し合わせる数の組をまとめ直しているので値は変わりません。

図1のように、同じ文字の項を別々に集めてから合流させます。矢印は式の値が変化するという意味ではなく、同じ式を別の形で表す流れです。x と y に同じ数が与えられる場合があっても、文字の違う項を同類項としてまとめる理由にはなりません。別の数を入れる条件では値が変わってしまうからです。

代入とは、文字を指定された数に置き換えることです。負の数を入れるときは、数全体を括弧で囲みます。例えば -3y の y に 3 を入れると -3・3、y に -3 を入れると -3・(-3) です。後者では負の数と負の数の積になるため、結果は正になります。括弧は計算の順番だけでなく、代入した数の符号を見失わないための目印です。

分数も同じように、分子と分母を一体の数として入れます。(1/2)x に x = -3 を入れれば (1/2)・(-3) です。係数と代入する値のどちらにも符号があるときは、先に積の符号を決め、次に数の大きさを計算します。分数の答えは約分できるか確かめ、途中を小数に丸めずに扱います。

基本例題：負の数を二つの道で追う

問題　x = -2、y = 3 のとき、4x − 3y + 2x + y の値を求めましょう。答えは整数で表し、整理してから代入する方法と直接代入する方法を示します。

整理する道では、まず x の係数と y の係数をそれぞれ足します。図2のように、整理した形の文字にも、問題で指定された同じ値を入れます。

4x - 3y + 2x + y
= 6x - 2y
= 6・(-2) - 2・3
= -12 - 6
= -18

直接代入する道では、4つの項すべてに指定された値を入れます。引く記号がある項は、その符号を残したまま掛け算を済ませます。

4・(-2) - 3・3 + 2・(-2) + 3
= -8 - 9 - 4 + 3
= -17 - 4 + 3
= -21 + 3
= -18

両方とも -18 です。元の式に戻すと x は 2か所とも -2、y は 2か所とも 3 になっており、与えられた条件を保っています。整理前と後で答えが違う場合は、まず同類項の係数を、次に各文字に入れた値と積の符号を点検します。違う答えが出たこと自体は、どちらが正しいかを決める根拠にはなりません。

標準例題：分数を含む係数と代入値

問題　a = -3、b = 1/2 のとき、(3/2)a − 2b − (1/2)a + 3b の値を求めましょう。答えは約分した分数で表し、2通りの道で確かめます。

整理する道では、a の係数は 3/2 − 1/2 = 1、b の係数は -2 + 3 = 1 です。文字の係数を計算してから代入します。

(3/2)a - 2b - (1/2)a + 3b
= a + b
= -3 + 1/2
= -6/2 + 1/2
= -5/2

直接代入では、引く項の前の記号と、代入した負の数の符号を分けて残します。特に − (1/2)・(-3) は正の 3/2 になります。

(3/2)・(-3) - 2・(1/2) - (1/2)・(-3) + 3・(1/2)
= -9/2 - 1 + 3/2 + 3/2
= -9/2 - 2/2 + 3/2 + 3/2
= -5/2

元の条件に戻して、a の 2か所はともに -3、b の 2か所はともに 1/2 と確かめられます。整理後は 2項ですが、直接代入では 4項それぞれの符号を扱います。整理する道は項数を減らせる一方、係数をまとめるときの符号を誤ると、その後の代入が正しくても答えはずれます。

発展例題：括弧を外す場所を見分ける

問題　p = -1/2、q = -2 のとき、2(3p − q) − 3(p + 2q) + q の値を求めましょう。答えは約分した分数で表し、整理後と直接代入の両方で確かめます。

整理するには、括弧の外の数を中の各項に掛けます。2番目の括弧の前は -3 なので、p にも 2q にも -3 を掛けます。先頭の項だけに掛けて終わらないことが分かれ目です。

2(3p - q) - 3(p + 2q) + q
= 6p - 2q - 3p - 6q + q
= 3p - 7q
= 3・(-1/2) - 7・(-2)
= -3/2 + 14
= -3/2 + 28/2
= 25/2

別の道では、括弧を外す前に数を入れ、中の値を先に求めます。元の式の p は 2か所とも -1/2、q は 3か所とも -2 です。

2(3・(-1/2) - (-2)) - 3((-1/2) + 2・(-2)) + (-2)
= 2(-3/2 + 2) - 3(-1/2 - 4) - 2
= 2(1/2) - 3(-9/2) - 2
= 1 + 27/2 - 2
= 2/2 + 27/2 - 4/2
= 25/2

直接代入の括弧内では、-q に q = -2 を入れると -(-2) です。負の数を引くため、結果は正になります。もう一方の括弧は -9/2 となり、それを 3倍して引くので正の 27/2 が現れます。符号が変わる場所を各行に残せば、どちらの括弧で誤ったかを追えます。

整理した式は、今回の値に限らず、p と q に同じ数の組を入れれば元の式と同じ値を示します。ただし、ある1組で結果が一致しただけでは整理が常に正しいとは言えません。例えば q = 0 の場合は q の項を落としても値が一致することがあるため、各項に数を配る理由そのものを確認します。ここで扱うのは数を括弧内の各項に掛ける操作であり、文字を含む式どうしの積には進みません。

誤答を手がかりに戻る

誤答の1つは、基本例題で 4x に -2 を入れた後、2x に 2 を入れることです。途中で負号を落とした結果、同じ x を別の数として扱っています。図3の上段のように、代入前に x = -2 を書き、x の現れる場所をすべてたどって括弧付きの (-2) に直します。どの項で対応が変わったかを探すと、計算全体をやり直さずに原因を特定できます。

別の誤答は、標準例題の − (1/2)・(-3) を -3/2 とすることです。原因は、引く記号と代入した数の負号を1つに見てしまうことです。まず (1/2)・(-3) = -3/2、次にその数を引くので +3/2 と分けます。図3の下段のように、括弧を消す前に負の数全体を引いていることを示すと直しやすくなります。

さらに、発展例題で -3(p + 2q) を -3p + 2q とする誤りもあります。外の -3 が後ろの項に届いていません。分けて掛ければ -3p − 6q です。括弧を外した後に項の数と係数を見直し、中の各項から対応する項ができているかを確かめます。

2経路の値が一致したら、符号が合っている可能性は高まりますが、同じ読み違いを両方で繰り返すこともあります。例えば問題の値を写す時点で負号を落とせば、両方が同じ誤った値になる場合があります。問題文の条件と代入行を指で対応させる確認を、計算結果の照合とは別に行います。

練習：5組の条件をそれぞれ守る

次の各問について、まず式を整理してから代入し、続いて元の式に直接代入してください。答えの形も指定どおりにします。各問の文字と値は、その問の中で使います。

1. a = -3、b = 4 のとき、5a + 2b − 3a − b の値を整数で求めます。
2. a = 3/2、b = -1/4 のとき、(2/3)a − b + (1/3)a + 3b の値を整数で求めます。
3. p = -2、q = -1 のとき、4(p − q) − 2p + q の値を整数で求めます。
4. m = 1/2、n = -2/3 のとき、3m − 2n − (m + 4n) の値を整数で求めます。
5. u = -2/3、v = 5/6 のとき、(1/2)u + 3v − (3/2)u − v の値を約分した分数で求めます。

練習の答えと二経路の照合

1. 負の値を同じ文字に入れる

整理すると 5a − 3a = 2a、2b − b = b です。

5a + 2b - 3a - b
= 2a + b
= 2・(-3) + 4
= -2

元の式へ戻すと、5・(-3) + 2・4 − 3・(-3) − 4 = -15 + 8 + 9 − 4 = -2 です。a の2か所はどちらも -3、b の2か所はどちらも 4 なので、指定された組で一致します。

2. 分数の積を先に処理する

(2/3)a - b + (1/3)a + 3b
= a + 2b
= 3/2 + 2・(-1/4)
= 3/2 - 1/2
= 1

直接代入すると、(2/3)・(3/2) − (-1/4) + (1/3)・(3/2) + 3・(-1/4) です。各項は順に 1、1/4、1/2、-3/4 となり、和は 1 です。元の式の a の両方に 3/2、b の両方に -1/4 を入れていることも確かめます。

3. 括弧の中に負の数を入れる

4(p - q) - 2p + q
= 4p - 4q - 2p + q
= 2p - 3q
= 2・(-2) - 3・(-1)
= -4 + 3
= -1

直接代入では、4((-2) − (-1)) − 2・(-2) + (-1) = 4・(-1) + 4 − 1 = -1 です。p = -2、q = -1 を元の各位置に戻すと、括弧内は負の数から負の数を引いて -1 になります。

4. 括弧の前の引き算を各項に渡す

3m - 2n - (m + 4n)
= 3m - 2n - m - 4n
= 2m - 6n
= 2・(1/2) - 6・(-2/3)
= 1 + 4
= 5

直接代入では、3・(1/2) − 2・(-2/3) − ((1/2) + 4・(-2/3)) です。括弧内は 1/2 − 8/3 = -13/6 なので、全体は 9/6 + 8/6 + 13/6 = 30/6 = 5 です。元の m に 1/2、n に -2/3 をそれぞれ2回入れて、同じ値を得ました。

5. 異なる分母をそろえる

(1/2)u + 3v - (3/2)u - v
= -u + 2v
= -(-2/3) + 2・(5/6)
= 2/3 + 10/6
= 4/6 + 10/6
= 7/3

元の式に代入した各項は、(1/2)・(-2/3) = -1/3、3・(5/6) = 5/2、- (3/2)・(-2/3) = 1、-5/6 です。和は -2/6 + 15/6 + 6/6 − 5/6 = 14/6 = 7/3 です。u の2か所に -2/3、v の2か所に 5/6 を入れたことを確認し、最後に約分します。

手元に残す要点

同じ文字には、最後まで指定された同じ数を入れます。
同類項は符号を含む係数をまとめます。
負の数と分数は括弧で囲み、積の符号を確かめます。
整理後と直接代入の値を比べ、元の条件にも戻します。

どこで止まるかを見分ける

お子さまが2経路で異なる値を出したとき、まず整理した式を隠さずに残し、元の各項と対応させてみます。文字の種類を取り違えていれば項の分類に戻り、分類が合っていて係数だけ違えば符号付きの数の加減に戻れます。整理が正しく直接代入だけが違うなら、各文字に入れた括弧と、掛け算を終えた行を順に確認します。

個別指導で確かめるときも、答えをすぐ訂正するより、どの文字に何を入れたか、括弧の外の数がどの項に掛かるかを本人の言葉で説明してもらうと、判断のずれを見つけやすくなります。保護者が途中式を見る場合も、指定された数の組と代入行を照らすだけで、符号を落とした位置を一緒に探せます。式の形と代入する数の対応を保てば、二つの道は同じ式の値へ届きます。