中1数学 多数回の試行と確率—相対度数の揺れから起こりやすさを読み直す｜武蔵野個別指導塾

累計表から相対度数を求め、比較値との差が増える区間を確かめます。記録された割合と次の試行の予想を分けて考えます。

よくあるのは、同じ操作を繰り返した記録を見て、「回数を増やせば割合は毎回必ず一定の値に近づく」と考える場面です。たしかに、たくさん繰り返したときの割合は、ある値の周りに落ち着く傾向を示すことがあります。しかし、次のまとまりの結果によって、割合がその値から離れることもあります。途中で少し戻ったことと、長い目で見た傾向とは、別々に読みます。

ここでは自作の記録を使い、ある結果が起きた回数と試した回数を対応させます。数字を割るだけでなく、どこまでの記録を足したのか、増えた割合が何を意味するのかも確かめます。次の1回の結果や、まだ記録していない回数での正確な割合は、表からは決まりません。

表から問われる3つの判断

1つ目は、ある回数までの記録から相対度数を出す型です。成功の回数を試行の回数で割ります。たとえば、同じ条件で印を出す操作を20回行い、そのうち7回で印が出たなら、相対度数は7/20です。印が出なかった回数は13回ですが、出なかった割合を聞かれていないときに13を分子にしてはいけません。

2つ目は、途中経過を比べる型です。累計の割合は、新しく加わった回の結果で上にも下にも動きます。表の最後の値だけでは、途中でどう動いたかは読めません。各行がそれぞれ「その行までの累計」なのか「その区間だけ」なのかを、計算より先に見ます。

3つ目は、結果から言えることの範囲を判断する型です。記録された割合がある値の近くに集まっていても、その値に次の割合が必ず一致するとは言えません。条件を同じにして試行を続けたときの起こりやすさを考える手掛かりにはなりますが、有限の記録には揺れが残ります。別の条件で得た結果をそのまま混ぜると、何の起こりやすさを調べた割合なのかも曖昧になります。

1回の結果から累計の割合へ

同じ条件で繰り返す1回ごとの操作を試行と呼びます。調べたい結果を先に決め、その結果が起きた回数を数えます。ある結果の相対度数は、次のように求めます。

相対度数 = その結果が起きた回数 ÷ 試行回数

図1のように、分子は注目する結果の回数、分母は同じ範囲の試行の総数です。2つの範囲をそろえてから割ると、割合が何を表すかを説明できます。相対度数は0以上1以下で、0はその記録に結果が現れなかったこと、1は記録の全回で現れたことを表します。0回だったからといって、次にも絶対に起きないと決めることはできません。

図1では12回中3回という同じ記録の範囲を使い、3/12 = 1/4としています。分母を3、分子を12にすると、起きた回数が総数を超える形になり、割合の意味と合いません。逆数にした値は相対度数ではありません。

累計は、最初からその時点までを足した数です。例えば最初の10回で4回、次の10回で2回起きたなら、20回までの累計は6回です。20回までの相対度数は6/20であって、最後の10回の2/10ではありません。一方、最後の10回だけを問われたら2/10を使います。問いの「まで」と「の間」を読み分けます。

多数回の試行で得た相対度数は、同じ条件のもとでの結果の起こりやすさを推測する材料になります。その起こりやすさを表す数を確率といいます。記録から得た割合は確率そのものと必ず一致するとは限りません。ここでは試行の記録を読み、場合を数え上げて理論上の値を求める方法は扱いません。

基本例題：途中までの割合を比べる

袋から印のついた札を1枚取り出して印の有無を記録し、札を戻してから混ぜる操作を繰り返します。札や操作の条件は変えません。次は説明のために作った累計の記録です。各時点の印が出た相対度数を約分した分数で求め、20回から30回で増えたか減ったかを答えてください。

まず分母を各行の試行回数、分子を同じ行の累計回数にします。図2のように、同じ行を組にして計算します。

10回まで: 4/10 = 2/5
20回まで: 7/20
30回まで: 12/30 = 2/5

比較には分母をそろえます。

2/5 = 8/20
7/20 < 8/20

答えは順に2/5、7/20、2/5で、20回から30回では増えます。図2の30回の欄も、12回を30回で割った値です。最後の10回で印が出た回数は12 − 7 = 5回なので、その区間の割合は5/10 = 1/2です。これは20回までの7/20より大きいため、全体の割合を上げています。

元の記録へ戻して確かめます。10回の2/5は10回中4回、20回の7/20は20回中7回、30回の2/5は30回中12回に対応します。各区間の回数は4回、3回、5回で、いずれもその区間の10回を超えず、合計は12回です。20回から30回への変化を調べるとき、最後の10回の5/10を30回までの割合とする誤りに気をつけます。

標準例題：区間の記録から累計を作る

円盤を同じ条件で回し、印が上を向いたかを調べます。自作の記録では、最初の15回で6回、次の15回で3回、さらに次の15回で9回、印が上を向きました。15回、30回、45回までの累計の相対度数をそれぞれ約分した分数で求めてください。また、30回から45回で割合が増減した理由を、最後の区間と30回までの割合を比べて説明してください。

表の数は区間ごとの回数なので、分子をそのまま30回や45回で割らず、最初から足します。

15回までの累計 = 6回
30回までの累計 = 6 + 3 = 9回
45回までの累計 = 6 + 3 + 9 = 18回
15回までの相対度数 = 6/15 = 2/5
30回までの相対度数 = 9/30 = 3/10
45回までの相対度数 = 18/45 = 2/5

最後の区間の割合は9/15 = 3/5です。30回までの3/10と比べると、3/5 = 6/10なので最後の区間の方が大きく、累計の割合は増えます。実際に3/10から2/5 = 4/10へ増えました。新しい区間の割合がそれまでの割合より大きければ、両方を合わせた割合はその間に入ります。反対に小さければ累計の割合は下がり、等しければ変わりません。

確認として、45回までの18回から30回までの9回を引くと、最後の区間の9回に戻ります。各区間で印が上を向かなかった回数は9回、12回、6回で、合計27回です。18 + 27 = 45となり、全試行を漏れなく数えています。割合を比べるとき、区間の回数がそれぞれ15回という条件も確認します。

発展例題：揺れと予想を分ける

同じ条件の装置で、ある合図が出るかを記録したとします。自作の累計表は次のとおりです。各時点の相対度数を約分した分数で求め、1/2との差の絶対値を比べてください。回数が増えるたびに1/2に近づいていると言えるかも答えてください。ここで1/2は比較のために置いた値であり、この装置の確率と決めたものではありません。

20回まで: 8/20 = 2/5
40回まで: 19/40
60回まで: 27/60 = 9/20
80回まで: 39/80

1/2との差を正確な分数で比べます。

1/2 - 2/5 = 1/10
1/2 - 19/40 = 1/40
1/2 - 9/20 = 1/20
1/2 - 39/80 = 1/80

差は1/10、1/40、1/20、1/80です。40回から60回では1/40から1/20へ差が大きくなります。したがって、各時点で必ず近づいたとは言えません。80回の差が20回の差より小さいことと、途中の各段階で差が縮むことは違います。

各20回の区間で合図が出た回数は、順に8回、19 − 8 = 11回、27 − 19 = 8回、39 − 27 = 12回です。合計は8 + 11 + 8 + 12 = 39回で、どの区間も20回以内です。40回までの19/40に対し、次の区間の8/20 = 2/5は小さいので、60回までの割合が下がることも記録と合います。

この表では、記録された4つの割合は比較値の近くにあります。それでも、80回より先に同じ割合が続く保証はありません。80回後の1回で合図が出れば40/81、出なければ39/81です。どちらが起きるかはこの表だけでは決められず、別の系列の記録でも同じ道筋をたどるとは限りません。途中で離れることを理由に、試行を重ねて傾向を見る意味がないとするのも早い判断です。

間違えた行から直す

図3のように、発展例題の40回までの19回を、次の20回の回数と見間違えることがあります。累計同士を引けば、次の区間だけに増えた回数が求まります。

誤答は、40回まで19回、60回まで27回という表から「次の20回では27回」とするものです。原因は、27回が最初から60回までの合計だと読み取らず、区間だけの数に置き換えたことです。修正すると27 − 19 = 8回です。図3に示した差の8回を19回に足すと27回へ戻り、20回の区間で起きた回数としても無理がありません。

別の誤りは、割合が一度下がっただけで、確率も下がったと決めることです。記録された相対度数は、実際に出た結果に応じて変わります。同じ条件のもとでの起こりやすさを考える数と、手元の有限回の記録を混同せず、「60回までの割合が下がった」と観察した範囲で述べます。

また、10回までの割合と20回までの割合を単純に足して2で割ると、前半の10回が重複します。区間ごとの割合を平均する場合も、それぞれの試行回数が異なるなら同じ重みでは扱えません。確実な方法は、それぞれの区間で起きた回数と試行回数を足し直し、合計同士を割ることです。

練習：記録を読み戻す

次の記録はすべて練習用に作ったものです。同じ問題の中では条件を変えずに操作を繰り返したものとします。割合と差は約分した分数で答えてください。

1. 色のついた玉を取り出して戻す操作を24回行い、青が6回出ました。青の相対度数と、青以外の相対度数を求めてください。
2. ある印の記録は、最初の12回で3回、次の18回で9回です。30回までの印の相対度数を求め、最後の18回だけの割合と区別してください。
3. 合図の累計が25回までで10回、50回までで24回、75回までで30回でした。各25回の区間で出た回数と、75回までの相対度数を求めてください。
4. ある結果の相対度数が、16回までで3/8、32回までで7/16でした。それぞれの時点で結果が起きた回数と、後半16回だけの相対度数を求めてください。
5. 別の装置で結果が出た累計は、30回までで12回、60回までで31回、90回までで42回です。各時点の相対度数と1/2との差の絶対値を求め、毎回1/2に近づくという主張を記録に基づいて判断してください。

練習の答えと解き方

1. 青は6/24 = 1/4、青以外は(24 − 6)/24 = 18/24 = 3/4です。24回の1/4は6回、3/4は18回で、6 + 18 = 24回と元の記録に戻ります。割合を足すと1になり、2種類が全試行を分けています。

2. 30回までの印は3 + 9 = 12回なので、12/30 = 2/5です。最後の18回だけでは9/18 = 1/2です。30回の2/5は12回、18回の1/2は9回に対応します。最初の3回を足した12回と、試行の合計12 + 18 = 30回を組にします。

3. 各区間は10回、24 − 10 = 14回、30 − 24 = 6回です。75回までの相対度数は30/75 = 2/5です。10 + 14 + 6 = 30回と累計に戻り、どの区間も25回以内です。75回の2/5も30回に一致します。

4. 16回まででは16・3/8 = 6回、32回まででは32・7/16 = 14回です。後半は14 − 6 = 8回なので、相対度数は8/16 = 1/2です。前半6回と後半8回の合計は14回で、両方とも各区間の16回以内です。32回の14回から7/16へ戻せます。

5. 相対度数は12/30 = 2/5、31/60、42/90 = 7/15です。1/2との差の絶対値は順に1/10、1/60、1/30です。60回から90回では差が1/60から1/30へ増えるので、毎回近づくという主張は成り立ちません。各30回の区間の回数は12回、19回、11回で、合計42回です。各区間の回数は0以上30以下で、累計表に戻せます。

読み取る順番

• 調べる結果と、同じ条件で試した範囲を決めます。
• 起きた回数を、その範囲の試行回数で割ります。
• 累計と区間の回数を引き算で行き来します。
• 割合の揺れと、長い記録から見える傾向を分けます。
• 記録にない結果は確定せず、予想の根拠と限界を述べます。

計算は合っていても説明に迷うときは、まず分子と分母が同じ範囲を指しているかを見ます。お子さまが累計表を区間の表として読んだ場合は、隣り合う累計の差を求め、その差を前の累計に足し戻して確かめると、どこで取り違えたかが見えます。個別指導では、答えの分数だけでなく、何回中の何回かを言葉に戻せるかを確かめます。

割合が近づいた行と離れた行を両方指し示せれば、試行の記録から言えることと、次に起こることの予想を区別できます。揺れを含む数の並びを丁寧に読むことが、起こりやすさを考える出発点です。