中1数学 空間の直線と平面—交わる条件とねじれの位置を立体の辺から読む｜武蔵野個別指導塾

立方体の辺と面の所属をたどり、見取図の交差に惑わされずに判定する手順を通して、ねじれの位置を読み解きます。

よくあるのは、立体の見取図で2本の辺が紙の上で交差しているのを見て、空間でも交わると答える場面です。見取図は奥行きを紙に表したものなので、異なる場所にある線が重なって見えることがあります。反対に、描かれた辺の部分が離れていても、直線として両方向に延ばすと交わることがあります。紙の上での印象と、立体の中での位置を分けて考えましょう。

立体の辺や面を手がかりに、直線同士、直線と平面、平面同士の関係を調べます。辺を通る直線や面を含む平面は、立体の外にも限りなく延びるものとして扱います。辺そのものの交わりを問うときとは、調べる対象が違います。答える前に、何を延ばして考えるのかを言葉で確かめることが出発点です。

要点（結論から）

• 直線同士は、共通点と同一平面の両方を調べます。
• 交わらず同一平面上にもない2直線は、ねじれの位置です。
• 直線と平面では、含まれる場合と平行な場合を分けます。

どの関係を選ぶか

問題の出方には、まず2本の辺を通る直線を比べる型があります。交わるか、平行か、ねじれの位置かを選ぶには、共通の点と同じ平面に入るかを調べます。見取図の線が交差しているかどうかだけでは決められません。

次に、辺を通る直線と面を含む平面を比べる型があります。直線が平面に含まれる場合、1点で交わる場合、平行な場合を区別します。垂直かどうかは、単に1本の辺に直角に見えることだけで決めず、その平面内の交わる2直線との関係を使います。

さらに、2つの面を含む平面を比べる型があります。立方体では向かい合う面は平行で、辺を共有する隣り合う面は垂直です。面の名前を追い、共通の辺があるか、向かい合っているかを確認すると、見取図を回して見ても判断を保てます。

所属する面から考える

図1の立方体は、下の面がABCD、上の面がEFGHです。E、F、G、HはそれぞれA、B、C、Dの真上にあります。たとえば辺ABを通る直線は、下の面ABCDを含む平面にも、手前の面ABFEを含む平面にもあります。1本の辺は2つの面に属するので、どちらの面を見ると比較しやすいかを選びます。

図1のように、ABとDCは同じ下の面にあり、延ばしても交わりません。この2直線は平行です。ABとBCは点Bを共有するので交わります。直線同士が平行とは、同じ平面上にあり、どこまで延ばしても交わらないことです。

一方、ABとCGは交わらず、同じ平面上にもありません。このような2直線の関係を、ねじれの位置といいます。「交わらない」だけでは平行と区別できません。平行なら同じ平面上にあるはずなので、同じ平面に入るかを確かめる必要があります。

ABとCGで考えてみます。CG上の点が下の平面ABCDにあるのはCだけです。AB上にはCがないので、この2直線に共通する点はありません。もし2直線を含む平面があれば、その平面はABと、AB上にない点Cを含みます。したがって下の平面ABCDと同じ平面になり、下の平面から上に伸びるCG全体を含むことはできません。交わらず、同一平面にもないことから、ねじれの位置です。

直線と平面では、直線全体が平面内にある場合と、共通点が1点の場合と、共通点がない平行の場合を分けます。平面に垂直な直線は、その平面との交点を通る平面内のどの直線にも垂直です。立方体の縦の辺を通る直線は、底面の交わる2辺に垂直なので、底面を含む平面に垂直です。平面同士の垂直は、一方の平面に他方の平面に垂直な直線があることで確かめられます。

基本例題：1本の辺から3本を比べる

立方体ABCD-EFGHで、辺AB、BC、DC、CGをそれぞれ両方向に延ばして直線とします。直線ABと、直線BC、直線DC、直線CGの位置関係を、それぞれ交わる、平行、ねじれの位置から選び、その理由を述べてください。

図2のように、まず共通の頂点を探します。ABとBCはBを通るので交わります。次にABとDCを下の面で見ると、向かい合う辺を通る直線で、同じ平面上にあり交わりません。したがって平行です。

残るABとCGは、CGが底面を通る点CをABが通らないため交わりません。さらに、ABとCを含む平面は底面の平面ABCDですが、CGはそこから外へ伸びます。よって同じ平面上になく、ねじれの位置です。

答えを元の立体に戻して確認すると、Bは確かにABとBCの両方の端です。ABとDCは底面の向かい合う2辺です。CはABの端ではなく、CGは底面から上へ伸びています。3つの判定は、それぞれ別の条件を根拠にしています。ABとCGを「交わらないから平行」とする手順では、同一平面の条件が抜けています。

標準例題：直線と平面に分けて答える

同じ立方体で、直線AEと平面ABCD、直線EFと平面ABCD、直線ABと平面ABCDの位置関係をそれぞれ答えてください。垂直、平行、平面に含まれる、のいずれかで答え、理由も述べます。

AEは平面ABCDとの交点Aで、底面内の交わる2直線AB、ADの両方に垂直です。したがって直線AEは平面ABCDに垂直です。EFは底面内の直線ABと平行で、底面の外にあり底面と交わりません。したがって直線EFは平面ABCDに平行です。ABは底面の辺を通り、その直線全体が平面ABCDに含まれます。

確認として、AはAEと底面の共通点であり、EFの端E、Fは底面上にありません。ABは底面の辺そのものを通るため、底面内にあります。ABについて共通点がない平行と答えると、AB上の点が底面にもあるという条件に戻した時点で矛盾します。

EFがABと平行だからといって、いつでも別の任意の平面に平行になるわけではありません。ここではABが対象の底面に含まれ、EFがその底面の外にあるという立方体の条件も使っています。平面の名前を取り違えると、同じ直線でも答えが変わります。EFは上の平面EFGHには含まれます。

発展例題：面を替えて判定をやり直す

同じ立方体で、平面ABCDと平面EFGH、平面ABCDと平面ABFEの位置関係をそれぞれ平行または垂直で答えてください。さらに、直線ABと平面EFGH、直線ABと平面ABFEの位置関係を答え、対象の面を替えたときの違いを説明してください。

平面ABCDと平面EFGHは立方体の向かい合う面を含み、平行です。平面ABCDと平面ABFEは辺ABを共有する隣り合う面を含み、垂直です。たとえば平面ABFEにある直線AEは平面ABCDに垂直なので、2平面の垂直を確かめられます。

直線ABは、上の平面EFGHに含まれる直線EFと平行で、上の平面とは交わりません。したがって平面EFGHに平行です。ところが平面ABFEは辺ABを含むので、直線ABはその平面に含まれます。直線は同じでも、比較する平面を替えれば関係は変わります。

元の条件に戻すと、上面と底面は向かい合い、手前の面と底面はABを共有しています。上面にはABの点がなく、手前の面にはABの点が並びます。図の斜めの線の見え方ではなく、共有する辺や属する面で判定できました。面が垂直だから、その面の中のどの直線も他方の面に垂直だと考えるのは誤りです。ABは両方の面に含まれる例です。

間違えた場所を探す

図3のように、直線ABと直線CGについて「交わらないから平行」と答えたとします。交わらないこと自体は正しいのですが、平行を決めるには同じ平面上にあることも必要です。ABとCで決まる底面にはCG全体が入らないため、平行ではなく、ねじれの位置です。

別の誤りは、直線ABと平面ABCDを「平行」とすることです。平行なら両者に共通点はありませんが、AB上の点は底面にもあります。直線が平面内にある場合を独立させて答えれば直せます。直線が平面の中にあるのか、外にあって交わらないのかを先に調べましょう。

見取図で描かれていない部分も注意が必要です。隠れた辺は破線で示されることがありますが、破線でも立体の辺として存在します。逆に、線が紙の上で交差して見える箇所に頂点の印がなければ、その見かけだけで共通点を作ってはいけません。頂点の名前と所属する面へ戻って確かめます。

もう1つ、辺と直線の取り違えがあります。辺には端がありますが、辺を通る直線には端がありません。辺同士が離れているからといって、延ばした直線も交わらないと決められるとは限りません。問題が辺を聞いているのか直線を聞いているのかに印を付けると、必要な範囲を選べます。

条件を変えるときの見直し

同じ立方体でも、比べる対象を1つ変えると結論は変わります。直線ABと直線CGはねじれの位置ですが、CGをBCに替えれば、ABとBCはBで交わります。替えた直線が通る頂点をもう一度確認することで、前の結論をそのまま使う誤りを防げます。

また、直線AEと底面は垂直ですが、AEをABに替えるとABは底面に含まれます。垂直も含まれる場合も共通点はありますが、前者の共通点はAの1点、後者ではAB上の点が共通です。共通点があるというだけで同じ関係にはなりません。問題の条件が変わったら、対象と共通点を最初から調べ直します。

練習：立体の条件に戻す

次の問題はすべて自作です。立方体ABCD-EFGHは、下の面がABCD、上の面がEFGHで、E、F、G、Hは順にA、B、C、Dの真上にあります。直線は名前の2点を通り、両方向に延びます。

1. 直線ADと直線EHの位置関係を、交わる、平行、ねじれの位置から選び、理由を述べてください。
2. 直線ADと直線BFの位置関係を同じ3つから選び、同じ平面にあるかどうかも説明してください。
3. 直線DHと平面ABCDの位置関係を、垂直、平行、含まれるから選び、根拠となる底面の2直線を挙げてください。
4. 平面ADHEと平面BCGFの位置関係を平行または垂直で答え、直線ADと平面ADHEの関係も答えてください。
5. 「直線EFと直線CGは交わらないので平行です」という判定を調べ、正しい位置関係と、欠けている条件を述べてください。

練習の答えと考え方

1. 平行です。ADとEHは面ADHEの向かい合う辺を通る直線です。同じ平面上で交わらないので平行です。元の立方体ではAとE、DとHが上下に対応し、2辺が同じ側面にあることを確認できます。
2. ねじれの位置です。BFが底面と交わる点Bは直線AD上にないので、ADとBFは交わりません。ADとBを含む平面は底面ABCDですが、BFはその外へ伸びます。同一平面上にもありません。底面でBがADの端でないことに戻して確かめます。
3. 垂直です。DHは交点Dで底面内の直線DAとDCに垂直です。DAとDCはDで交わるため、DHは底面を含む平面に垂直です。Dが底面上にあり、Hがその真上にあることも条件に合います。
4. 平面ADHEと平面BCGFは向かい合うので平行です。直線ADは平面ADHEに含まれます。面の頂点をたどると、ADHEは一方の側面、BCGFはその反対側です。ADの両端A、Dは前者の面にあり、その直線も同じ平面内にあります。
5. ねじれの位置です。EFは上面内にあり、CGが上面と交わるGはEF上にないので、2直線は交わりません。EFとGを含む平面は上面EFGHで、CG全体はそこに含まれません。平行とするには同じ平面上にあるという条件が欠けています。GがEFの端ではなく、CGが上面から下へ伸びることに戻して確認できます。

要点と確かめ方

• 直線同士は、共通点と同一平面の両方を調べます。
• 交わらず同一平面上にもない2直線は、ねじれの位置です。
• 直線と平面では、含まれる場合と平行な場合を分けます。
• 平面の垂直は、平面に垂直な直線を手がかりにします。
• 見取図の交差ではなく、立体の頂点と面に戻します。

お子さまが「交わらない」と言えたところで止まる場合は、平行とねじれを分ける同一平面の条件を尋ねてみてください。答えの名前だけでなく、どの面を使ったかを指で示してもらうと、立体の中の位置を見ているかが表れます。

個別指導で確かめる際には、まず辺を指し、次にその辺を通る直線を延ばして考え、最後に比較する面を言葉にする順で説明してもらいます。答えが違った場合は、共通点、同一平面、対象の取り違えのどこから判断が変わったかを一緒に探します。立体の所属をたどれば、紙の上の線の交差に頼らず位置関係を選べます。