数検2級 定積分と面積—交点と上下関係を調べて区間を分けて求める｜武蔵野個別指導塾

交点で積分区間を分け、軸の上下や2曲線の位置関係に応じて高さの式を選び、面積を足し合わせます。

よくあるのは、受検者が曲線とx軸の間を塗ってから、定積分の計算結果をそのまま面積にする場面です。軸の下にある部分も目に見える広さを持ちますが、その区間の定積分は負になります。上側と下側の積分値を足すと、広さが打ち消されることもあります。どこで符号が変わるのかを図と式の両方から調べ、各部分の広さを足し合わせましょう。

面積を求めるときに問われること

定積分と面積の問題では、まず囲まれた範囲を特定し、縦に切ったときの高さを式に表します。計算の前に、曲線と境界線が出会う点や、上下が入れ替わる点を探す必要があります。例えば放物線とx軸で囲まれた部分なら、放物線の式を0として交点を求めます。放物線と直線の間なら、両方の式を等しくして交点を求めます。

区間が指定され、曲線が途中でx軸を横切る型では、交点で分けてそれぞれの面積を求めます。また、2つのグラフが区間内で交わる型では、交点を境に上側と下側が逆になることがあります。図を描くことは計算の飾りではなく、引き算の順序を決める作業です。ここでは多項式のグラフと直線や軸でできる平面図形を扱い、立体の体積は扱いません。

答えは正の数か、領域がつぶれた場合の0です。負の値が出たら、そのまま符号を変える前に、区間と上下関係を確認します。複数の部分が打ち消し合った結果であれば、最後に符号を変えるだけでは元の面積に戻せないからです。

縦の高さと符号を対応させる

定積分 ∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までの符号つきの量です。a < b とし、グラフがx軸の上にある区間ではその部分の面積に等しくなります。下にある区間では面積に負号をつけた値です。上と下の両方があるときは、上の面積から下の面積を引いた値になります。したがって定積分が0でも、塗られた部分が存在しないとは限りません。

図1のように、x軸より上の部分と下の部分を別々に考えます。面積を求めるには、上では高さを f(x)、下では高さを 0 − f(x) とします。どちらも縦の長さが負にならないように書いたものです。境目では高さが0なので、境目をどちらの区間に含めても面積の値は変わりません。

図1では右側が軸の下です。その部分の定積分は負ですが、面積では正の高さとして数えます。上下を取り違えないために、式の正負を1点で確かめる習慣をつけましょう。交点が並んだ各区間の内部から1つ数を選び、差の式に代入します。区間内で交点が他にないことも、方程式を解いて確かめます。

2つのグラフ y = f(x)、y = g(x) の間では、同じxにおける縦の高さが「上のy座標 − 下のy座標」です。f(x) が上なら ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx とします。g(x) が上なら引き算を逆にします。交点があっても上下が入れ替わらない接点の場合もあるので、交点の数だけで順序を決めず、各区間で実際に差の符号を調べます。

基本例題：放物線と直線に挟まれた面積

問題：放物線 y = x² と直線 y = 2x で囲まれた部分の面積を求め、分数で答えてください。座標の1目盛りを1単位とし、面積の単位は平方単位とします。

図2のように、まず2本のグラフの交点を求めます。同じ点ではy座標が等しいので、x² = 2x と置きます。

x² − 2x = 0

x(x − 2) = 0

したがって交点のx座標は 0 と 2 です。それぞれ直線に代入すると、交点は (0, 0) と (2, 4) になります。放物線にも代入すれば、同じy座標が得られます。この2点の間で上下を確かめます。

図2で x = 1 を見ると、直線は y = 2、放物線は y = 1 です。また差は 2x − x² = x(2 − x) で、0 < x < 2 では正です。この区間では直線が上、放物線が下とわかります。端点では高さが0です。

求める面積を S とすると、縦の高さは 2x − x² なので、

S = ∫₀² (2x − x²) dx

となります。2x の原始関数は x²、x² の原始関数は x³/3 です。よって、

S = [x² − x³/3]₀²

S = (4 − 8/3) − (0 − 0)

S = 4/3

答えは 4/3 平方単位です。積分後の式は微分すると 2x − x² に戻ります。さらに区間内の高さは正で、面積も正になっています。交点が両方のグラフにあることと合わせて、求めた値が元の図の広さに対応しているかを確かめられます。

ここで直線の下からx軸までの面積と、放物線の下からx軸までの面積を別々に求め、その差をとっても同じ値です。ただし、これはこの区間で両方が軸の上にあるため、図の広さとして引き算できる場合です。軸をまたぐ別の問題でも同じ図形の引き算がそのまま使えるとは限りません。上下の差を直接積分する方法なら、軸の位置に左右されず高さを表せます。

途中で上下が入れ替わる場合

問題：曲線 y = x³ − x とx軸、および直線 x = -1、x = 2 で囲まれた部分の面積を求め、分数で答えてください。面積の単位は平方単位とします。

まず軸との交点を求めます。x³ − x = x(x − 1)(x + 1) = 0 より、x = -1、0、1 です。指定された範囲の内部にも交点があるので、-1 から 0、0 から 1、1 から 2 の3区間に分けます。端の -1 と 2 も書き、どこからどこまでの広さかを固定します。

各区間の符号を調べます。例えば x = -1/2 では x³ − x = 3/8 で正、x = 1/2 では -3/8 で負、x = 3/2 では 15/8 で正です。これらの区間に他の零点はないので、順に曲線が軸の上、下、上です。中央は軸が上にあるため、0 − (x³ − x) を積分します。

F(x) = x⁴/4 − x²/2 と置くと、F(-1) = -1/4、F(0) = 0、F(1) = -1/4、F(2) = 2 です。これを使って、3つの面積をそれぞれ求めます。

• -1 から 0 は F(0) − F(-1) = 1/4。
• 0 から 1 は -(F(1) − F(0)) = 1/4。
• 1 から 2 は F(2) − F(1) = 9/4。

したがって合計は 1/4 + 1/4 + 9/4 = 11/4 平方単位です。元の範囲に戻すと、3区間は重ならず -1 から 2 までを覆い、軸の上下の部分をいずれも正の高さで数えています。F を微分すると元の x³ − x となり、代入の値も照合できます。

分かれ目は、交点で符号が変わるかどうかです。例えば差が (x − 1)² のような場合、x = 1 の両側で差は負にならず、接するだけです。接点で区切って計算しても答えは同じですが、必ず引き算の順序を逆にする必要はありません。式の因数と区間内の点の値を使って判断します。

誤答を直す：積分値が0でも面積は0とは限らない

例えば y = x とx軸、x = -1、x = 1 で囲まれる部分を考えます。誤って ∫₋₁¹ x dx = [x²/2]₋₁¹ = 0 と計算し、そのまま面積を0とすることがあります。定積分の計算自体は正しいのですが、求めた量が符号つきである点を見落としています。

図3のように、左側は軸の下、右側は上です。左の積分値 -1/2 と右の積分値 1/2 が相殺されています。図3の2つの三角形は、それぞれ底辺1、高さ1なので、面積はいずれも 1/2 平方単位です。合計は1平方単位となります。

積分で直すなら、左は ∫₋₁⁰ (0 − x) dx = 1/2、右は ∫₀¹ x dx = 1/2 とします。どちらも「上 − 下」で書いてから足します。定積分の絶対値を最後に1回とる方法では、今回のような相殺を取り除けません。符号が一定の区間ごとに処理することが必要です。

また、交点を見つけて区間を分けても、左右どちらが上かを確認せずに同じ順序で引くと、再び負の部分が混ざります。高さの式が各区間で負になっていないかを見直します。グラフの交点では高さが0になり、縦の境界線で区切った端では、その位置での上下の差になります。高さが負になるなら、その区間の上下を逆にします。

境界を読み違えたときの確認

問題文に2つの曲線と左右の直線が与えられたら、交点が指定範囲の外にある場合も考えます。交点を求めた後で、指定された端点と大小を比べ、実際に使う境目を選びます。範囲の外の交点を積分の端にしてしまうと、求められた図形とは別の場所まで数えることになります。逆に範囲内の交点を省くと、上下が入れ替わる部分が混ざるおそれがあります。

交点を求める方程式に実数解がない場合は、指定された範囲内で2つのグラフが交わりません。そのときも一方が上か下かは、範囲内の1点で差を計算して判定できます。左右の境界が指定されていなければ、2つのグラフが交わらないことから、有限の囲まれた部分が作られるかを先に考えます。面積の計算式を無理に作るより、境界が閉じているかを確認することが先です。

積分した後に数値が負になった場合、まず上端と下端の代入順序を見ます。次に、差の式が指定区間で正だったかを見直します。正しい高さを左から右へ積分した面積は負にはなりません。式が正しくても、下端に負の値を代入するときの括弧を外すと符号を間違えやすいため、上端の値と下端の値を別々に書いてから引きます。

練習問題

次の問題では、面積を分数または整数で表し、単位は平方単位とします。まず交点と上下関係を自分で書き、3問を解いてから解答を読んでください。

1. 放物線 y = x² − 4 とx軸で囲まれた部分の面積を求めてください。
2. 放物線 y = x² と直線 y = x + 2 で囲まれた部分の面積を求めてください。
3. 直線 y = x − 2 とx軸、および直線 x = 0、x = 4 で囲まれた部分の面積を求めてください。

解答と確かめ

1. x² − 4 = 0 より交点のx座標は -2、2 です。例えば x = 0 で曲線のy座標は -4 なので、間では軸が上です。差は 4 − x² で、この区間では負になりません。面積は ∫₋₂² (4 − x²) dx = [4x − x³/3]₋₂² = 32/3 平方単位です。両端を元の式に入れるとどちらも0となり、頂点 (0, -4) と軸の間を数えています。左右対称なので、0 から 2 の面積 16/3 を2倍しても同じです。

2. x² = x + 2 から x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1) = 0 となり、交点のx座標は -1、2 です。x = 0 では直線が2、放物線が0です。差 x + 2 − x² = (x + 1)(2 − x) はその間で正です。したがって面積は ∫₋₁² (x + 2 − x²) dx = [x²/2 + 2x − x³/3]₋₁² です。上端の値は 10/3、下端の値は -7/6 なので、差は 9/2 平方単位です。交点 (-1, 1)、(2, 4) は両方の式に代入して一致します。負のxを含んでも、縦の高さは区間内で正です。

3. x − 2 = 0 から軸との交点は x = 2 です。0 から 2 は軸が上、2 から 4 は直線が上なので、面積は ∫₀² (2 − x) dx + ∫₂⁴ (x − 2) dx です。それぞれ2となり、合計は4平方単位です。元の図に戻すと、両側とも底辺2、高さ2の直角三角形であり、それぞれの面積が2と確かめられます。全区間の符号つき積分は0ですが、求める広さは0ではありません。

答えが合わなかったときは、計算の行だけを見比べず、問題文が指定する境界に戻ります。交点を範囲外まで拾っていないか、逆に範囲内の交点を落としていないかを確認します。定積分の上下端を逆に書いた場合にも符号が変わるので、数直線に左から右へ端点を並べてから積分式を作ります。

覚えておくこと

• 境界の交点を求め、必要な区間を左から並べます。
• 区間ごとに上の式から下の式を引きます。
• 符号つき積分値と面積を区別し、各部分の面積を足します。
• 最後に交点、符号、単位を元の図に戻して確かめます。

つまずきを見分けるには

個別指導で確認するなら、まず計算を始める前の図と交点の式を見ます。交点は求められても区間を分けられない場合は、数直線に端点と交点を順に置き、どの区間で何が上にあるかを言葉にしてもらいます。引き算の向きが曖昧なら、各区間の内部のxを1つ選び、2つのy座標の大小に戻ります。

積分は正しくても面積が合わない場合は、符号つきの値を足していないかを調べます。保護者がお子さまの途中式を見るときも、答えの正誤だけでなく、区間ごとに高さが正になっているかを尋ねると、どの判断に戻るべきかが見えます。交点、上下、区間の3つがそろえば、面積の式は図から立てられます。