高校数学III 関数の連続性—左右の極限と関数値を分けて接続条件を決める｜武蔵野個別指導塾

左右の極限と関数値の照合、中間値の定理の前提を通して、焦点となるのは関数の連続性です。

定期テスト前の演習で、左右から近づけた値が一致したので、その点で連続だと決める場面があります。ところが、接続点に定められた関数値が、その共通の値と違うこともあります。近くの値が向かう先と、点そのものの値は別々に調べます。3つを並べると、条件を立てる理由も答案に残せます。

接続点で何を調べるか

出題の型は主に3つあります。1つ目は、式が切り替わる点で左右の極限と関数値を求め、連続か判定する問題です。2つ目は、連続となるように文字定数を決める問題です。3つ目は、区間内に方程式の解があることを中間値の定理で示す問題です。最後の型では端点の符号を見る前に、区間全体で連続であることを確認します。

いずれも式を見てすぐ代入するのではなく、どの入力にどの式が対応しているかを先に確認します。例えば境界を含む不等号が右側にあるなら、その点の値は右側の式から求めます。一方、左側の極限には、境界より小さい入力に適用される式を使います。点を含むかどうかと、その側から近づくかどうかを混同しないことが出発点です。

学習指導要領の数学IIIでは極限を扱います。ここではその中の連続性と中間値の定理の前提を扱い、微分可能性の判定には立ち入りません。

近づく先と点の値を並べる

関数 f が点 a で連続であるとは、a で関数値 f(a) が定義され、x が a に近づくときの極限が存在し、その極限が f(a) に等しいことです。a の両側で関数が定義されている場合、次の3つの値を比べます。

左側の極限: lim x→a- f(x)

右側の極限: lim x→a+ f(x)

点の値: f(a)

左右の極限が同じでも、点の値が異なれば連続ではありません。また、点の値がどちらか一方の極限と一致しても、もう一方が違えば両側からの極限は存在しません。点の値が定義されない場合も、その点で連続とはいえません。

図1のように、左と右から得た値をまず比べ、その共通の値と点の値を比べます。矢印は値を比べる順序を表し、計算を省いてよいという意味ではありません。多項式の各部分では、近づく先を代入して極限を求められます。分数式では、その変形が可能な範囲と分母が0にならない条件にも注意します。

例えば x≠1 で (x²-1)/(x-1)、x=1 で 3 と定めた関数を考えます。x≠1 では因数分解により式は x+1 なので、左右の極限はいずれも 2 です。しかし点の値は 3 ですから、1 では連続ではありません。約分した式を使うのは近くの値を調べるためであり、元の定義で指定された点の値を上書きするためではありません。

中間値の定理は、閉区間 [a,b] で連続な関数が、両端の関数値の間にある値を区間内のどこかで取るという定理です。両端の値が異符号なら、その間の 0 も取るため、方程式 f(x)=0 の解が開区間 (a,b) に少なくとも1つあります。端点を含む区間全体での連続性が前提です。左右の極限の不一致や、定義されない点が区間内にないかを先に調べます。

連続でない場合にも、原因を分けて書くと直すべき箇所が見えます。左右の極限が違う場合は、入力をどちらから近づけるかで値の行き先が変わります。この場合、接続点の値をどんな数に変更しても、左右の行き先そのものは変わりません。左右の式を変えない限り、点の値の変更だけでは連続にできません。

一方、左右の極限が同じで点の値が違う場合は、点の値を共通の極限に変更すれば、その点では連続になります。元の問題で点の値を自由に変更してよいとは限らないため、判定と修正案は区別して書きます。関数値が未定義の穴の場合も、穴の位置に共通の極限を値として補えば連続につながることがありますが、まず元の関数ではその点の連続性を満たさないと答えます。

端点を含む区間に限定された関数では、端点の連続性を区間の内側からの極限で確認します。例えば [a,b] の左端 a なら右側からの極限と f(a) を比較します。中間値の定理を使う際に必要なのは、内部の各点での連続性と、このような端点での内側からの連続性です。区間外に式があることを前提にする必要はありません。

基本例題: 2つの式をつなぐ

関数 f を次のように定めます。

x<2 のとき f(x)=x²-1

x≥2 のとき f(x)=ax+1

f が x=2 で連続となる実数 a を、分数または整数で求めてください。

左側では x<2 に対応する多項式を使います。多項式の連続性から、左側の極限は次のように求まります。

lim x→2- f(x)=2²-1=3

右側では x>2 で ax+1 を使います。a は定数なので、右側の極限は次の値です。

lim x→2+ f(x)=2a+1

接続点 2 は x≥2 に含まれます。したがって、定義から f(2)=2a+1 です。右側の極限と点の値は、この問題では同じ式になりますが、それぞれ別に求めていることに注意します。

連続であるためには3つの値が一致するので、3=2a+1 を解きます。

2a=2

a=1

図2のように、左側からは 3、右側と点の値からは 2a+1 が得られます。求めた a=1 を元の定義に戻すと、右側の極限と f(2) はどちらも 2×1+1=3 です。左側の極限 3 と一致するため、この値は条件を満たします。逆に連続なら 3=2a+1 が必要で、その解は 1 なので、他の値は条件を満たしません。

ここで x=2 を左側の式に代入した計算は、左側の極限を求めるためのものです。左側の式は x=2 の関数値を定めていません。問題における不等号の境界を先に囲んでおくと、計算結果が何を表すのか区別しやすくなります。

少し難しい例題: 2つの境界を調べる

関数 g を次のように定めます。

x<0 のとき g(x)=x+2

0≤x<1 のとき g(x)=ax+b

x≥1 のとき g(x)=3x-1

g がすべての実数で連続となる実数 a、b を、整数または分数で求めてください。

各部分は一次式ですから、それぞれの内部では連続です。式が切り替わる 0 と 1 で条件を立てます。境界が2か所あるときは、片方の条件を使い終えた後にも、もう片方が残っていないか確認します。

まず 0 では、左側の極限が 0+2=2 です。右側の極限は a×0+b=b で、0 は中央の区間に含まれるので g(0)=b です。よって連続である条件は b=2 です。

次に 1 では、左側の極限が a+b、右側の極限が 3×1-1=2 です。1 は右側の区間に含まれるため g(1)=2 です。したがって a+b=2 が必要です。b=2 を代入すると a=0 です。

元の定義に戻して確認します。a=0、b=2 のとき中央の式は定数 2 です。0 では左の極限、右の極限、点の値が 2 で一致し、1 でも中央からの極限、右の極限、点の値が 2 で一致します。各区間の内部でも一次式または定数なので連続です。よって答えは a=0、b=2 です。

分かれ目は、境界に点の値があるかどうかです。接続点で別に値を指定された場合は、その値も独立に照合します。例えば左右の極限がともに 4 でも、接続点の値が 5 なら不連続です。反対に点の値を 4 にしても、左右の極限が 4 と 6 であれば、点の値を変えるだけでは連続にはできません。

誤答から条件を取り戻す

次の関数 h を考えます。x<1 では h(x)=x+1、x=1 では h(x)=4、x>1 では h(x)=3-x とします。

誤答は「左右の極限はいずれも 2 なので、1 で連続」です。左からは 1+1=2、右からは 3-1=2 ですが、定義された h(1) は 4 です。共通の極限と関数値が一致しないため、正しくは 1 で不連続です。

図3のように、左右の欄が一致した後にも点の値の欄を残します。この誤りの原因は、極限が点そのものの値を自動的に決めると考えることです。修正するときは、問題の定義から h(1)=4 を別行に書き、2 と 4 を比較します。

別の失敗は、片側しか見ずに「点の値と一致したから連続」とすることです。左の極限と点の値が一致しても、右の極限が異なれば失敗です。左右の極限がそろわないときは、点の値との比較に進む前に両側の極限が存在しないと判断します。また、式を約分した後に元の分母が0となる点まで定義域に含めると、存在しない関数値を作ってしまいます。元の条件へ戻って点の値の有無を調べます。

中間値の定理にも似た落とし穴があります。両端が異符号でも、途中に飛びがあれば 0 を飛び越えることがあります。例えば [-1,1] で、x<0 のとき -1、x≥0 のとき 1 と定めた関数は端点で異符号ですが、どこでも 0 を取りません。0 で左右の極限が異なり、連続性の前提が満たされないからです。端点の符号だけを見て定理を適用する答案を、この例で点検できます。

中間値の定理が示すのは、条件を満たす点が少なくとも1つあるということです。端点の符号が異なることだけから解が1つに限られるとはいえません。個数を問われた場合は、存在に加えて別の根拠が必要です。また、端点の符号が同じ場合でも、途中で0を取る関数はあります。符号が異なることはこの形で存在を示すための十分な条件ですが、解の存在に必須の条件ではありません。

例えば区間 [-2,2] で t(x)=x²-1 とすると、両端の値はともに 3 ですが、x=-1 と x=1 で値は 0 です。定理の条件をその区間の両端で使えなかったことと、解が存在しないことを混同しないでください。別の区間を選べば符号の違いを利用できる場合もあります。

自分で試す4問

答えはすべて整数または分数で表してください。解の存在を問う問題は、必要な前提と存在する区間を言葉でも示してください。

1. p(x)=2x+1（x<3）、p(x)=k（x≥3）とします。x=3 で連続となる k を求めてください。
2. q(x)=(x²-4)/(x-2)（x≠2）、q(2)=c とします。x=2 で連続となる c を求めてください。
3. r(x)=x+4（x<1）、r(x)=mx+n（1≤x<2）、r(x)=x+5（x≥2）とします。全実数で連続となる m、n を求めてください。
4. s(x)=x³+x-1 とします。方程式 s(x)=0 が 0<x<1 に少なくとも1つの実数解を持つことを示してください。

解答と照合

1. 左側の極限は 2×3+1=7 です。右側の極限は k で、3 は右側の条件に含まれるため p(3)=k です。連続の条件は k=7 です。元の定義に戻すと、右側の値も p(3) も 7 となり、左側からの値に一致します。

2. x≠2 では x²-4=(x-2)(x+2) なので、q(x)=x+2 です。したがって左右の極限は 4 です。点の値は定義から c なので、連続となる条件は c=4 です。この値を元の定義に戻すと q(2)=4 で、近くの値の極限と一致します。分母が0となる x=2 で元の分数を直接計算してはいません。

3. 1 では左側の極限が 5、右側の極限と点の値が m+n です。よって m+n=5 です。2 では左側の極限が 2m+n、右側の極限と点の値が 7 です。よって 2m+n=7 です。2式の差から m=2、続いて n=3 を得ます。元の式では中央部分が 2x+3 となります。1 で 5、2 で 7 に近づき、それぞれ外側の式からの極限と点の値に一致します。各部分の内部も一次式なので連続です。

4. s は多項式なので閉区間 [0,1] で連続です。また s(0)=-1、s(1)=1 です。0 はこの2値の間にあるため、中間値の定理から 0<c<1 を満たし s(c)=0 となる実数 c が存在します。端点の値を元の式へ戻した計算と、区間全体の連続性の両方が根拠です。この議論は解の個数や正確な値を求めるものではありません。

覚えておくこと

左の極限、右の極限、点の値を分けて書きます。 3つが一致することが、接続点での連続の条件です。 中間値の定理では、閉区間全体の連続性を先に調べます。

つまずいた場所の見分け方

式は立てられるのに判定が合わないときは、各行に「左」「右」「点」と名前を付けて見直します。点の行が空いていれば関数値の取り忘れ、左右の行に同じ式を無条件で使っていれば区間の読み違いが疑われます。約分を使った場合は、元の式の定義域と接続点の定義に戻ります。

個別指導で確かめる場面では、答えを聞くだけでなく、接続点を含む不等号を本人に示してもらいます。中間値の定理なら、連続性を確かめた区間と、端点の値が挟む数を説明してもらいます。3つの値の役割を言葉と式で対応させると、次の接続条件も自分で点検できます。