高校数学III 微分可能性—定義に戻って連続性との違いを左右から調べる｜武蔵野個別指導塾

絶対値の折れ目と区分的な関数の接続点で左右の差商を比べ、連続性だけでは微分可能といえない理由を確かめられます。

よくあるのは、定期テスト前の演習で、連続な折れ線にも導関数の公式を当てる場面です。線が途中で切れていないので、折れ目でも傾きが決まるように感じるかもしれません。しかし、左から近づいた傾きと右から近づいた傾きが違えば、その点の微分係数は決まりません。まずは関数値を基準に差商を作り、左右を別々に追ってみましょう。

数学IIIの学習範囲には極限と微分法が含まれ、この話題では関数の極限を使って一点での微分可能性を調べます。積や合成関数の微分公式を広く計算することより、公式を接続点に使えるかどうかの判断に焦点を置きます。

どんな形で問われるか

1つ目は、絶対値を含む関数について、折れ目で微分可能かを判定する形です。絶対値の中身が0になる点を境に式を分け、両側の差商を求めます。左右の式がそれぞれ微分できても、境目で微分できるとは限りません。

2つ目は、異なる式をつないだ関数が接続点で微分可能になるよう、定数を決める形です。最初に関数値と左右の極限から連続となる条件を調べ、次に左右の差商を比べます。連続の条件を満たした定数を、傾きの条件にも戻して確かめます。

3つ目は、微分可能性と連続性の関係を説明する形です。微分可能なら連続ですが、その逆は一般には成り立ちません。片方の向きが正しいことと、逆向きの主張が正しいことは別です。反例を1つ示せば、逆向きが常に成り立つという主張を否定できます。

差商が比べるもの

関数 f が点 a とその近くで定義されているとします。h は0ではない増分です。点 a から点 a + h までの平均の変化の割合は、次の差商です。

(f(a + h) − f(a)) / h

h を0に近づけたとき、この差商が有限の値に近づくなら、f は a で微分可能です。その値を f′(a) と書き、点 a における微分係数と呼びます。h は0そのものにするのではなく、0でないまま近づけます。h = 0 を代入すると分母が0になり、差商自体が定義されないからです。

図1のように、h が負なら左側、正なら右側から近づきます。両側の差商が同じ有限値に近づいて初めて、両側からの極限が存在します。片側の極限が存在しない場合や、両側が異なる値になる場合には、その点で微分可能ではありません。

基準に使うのは、どちら側でも同じ f(a) です。右側の式に a を入れた値と、問題で定義された f(a) が異なる場合、右側の差商の分子にはその差が残ります。近くの式だけで傾きを出しても、このずれは見えません。接続点を含む不等号がどちらに付いているかを先に読み取ります。

微分可能なら連続となる理由も、差商から見えます。h ≠ 0 のとき、関数値の差を次のように書けます。

f(a + h) − f(a) = h × {(f(a + h) − f(a)) / h}

差商が有限値に近づくなら、右辺は0に近づきます。したがって f(a + h) は f(a) に近づき、f は a で連続です。この説明では差商の極限が有限であることが必要です。連続性だけから差商の極限が存在すると逆算することはできません。

基本例題：折れ目の左右を計算する

関数 f(x) = |x − 2| + 1 について、x = 2 で連続か、微分可能かを調べてください。微分可能なら微分係数を整数で答え、そうでなければ左右の差商の極限を整数で答えてください。

まず f(2) = 1 です。x < 2 なら |x − 2| = 2 − x、x ≥ 2 なら |x − 2| = x − 2 です。よって接続点の左右で、関数は次の式になります。

x < 2 のとき f(x) = 3 − x

x ≥ 2 のとき f(x) = x − 1

左から x を2に近づけると 3 − x は1に近づき、右から近づけると x − 1 も1に近づきます。どちらも f(2) = 1 と一致するので、x = 2 で連続です。図2のように線はつながっていますが、折れ目の左右の傾きは異なります。

次に定義に従って差商を作ります。h < 0 なら 2 + h < 2 なので、左側の式を使います。

f(2 + h) = 3 − (2 + h) = 1 − h

(f(2 + h) − f(2)) / h = ((1 − h) − 1) / h = -1

したがって h を負の側から0に近づけた差商の極限は -1 です。一方、h > 0 なら右側の式を使い、次のようになります。

f(2 + h) = (2 + h) − 1 = 1 + h

(f(2 + h) − f(2)) / h = ((1 + h) − 1) / h = 1

正の側からの極限は1です。-1 と1は一致しないので、x = 2 では微分可能ではありません。元の式に戻すと、例えば h が負なら関数値の増分は -h、正なら h です。それぞれを h で割れば、求めた左右の値に戻ります。

この例は連続でも微分可能でない場合を示します。つながっていることは、近づく関数値が点の値と一致することです。微分可能性は、その変化を h で割った後の極限まで要求するため、より強い条件です。

接続点の値と傾きをそろえる

実数 a、b に対し、関数 g を次のように定めます。x = 1 で微分可能となる a、b を整数で求め、そのときの微分係数も整数で答えてください。

x < 1 のとき g(x) = x² + a

x ≥ 1 のとき g(x) = bx + 2

点を含む右側の式から g(1) = b + 2 です。左側の関数値の極限は 1 + a、右側の極限は b + 2 です。微分可能なら連続なので、まず次の条件が必要です。

1 + a = b + 2、すなわち a = b + 1

この条件を満たさない場合、左右の関数値がつながらないため、微分可能ではありません。条件を満たす場合には g(1) = 1 + a と書けるので、左側の差商を整理できます。h < 0 のとき、

(g(1 + h) − g(1)) / h

= ((1 + h)² + a − (1 + a)) / h

= (2h + h²) / h = 2 + h

となり、その極限は2です。h > 0 のときは右側の式から、

(g(1 + h) − g(1)) / h

= (b(1 + h) + 2 − (b + 2)) / h = b

です。左右が一致するには b = 2 が必要です。連続の条件に戻すと a = 3 です。この組で左右の差商はともに2に近づくので、条件は必要なだけでなく十分です。答えは a = 3、b = 2、微分係数は2です。

元の関数に戻して確認します。左側は x² + 3、右側は 2x + 2 となり、接続点での値は両方とも4です。左側の差商は 2 + h、右側は2ですから、両側の極限が2になります。値が一致することと差商が一致することを別々に確認できました。

もし連続条件を使わず左側を計算すると、分子には 1 + a − (b + 2) という定数が残ります。これが0でなければ、h で割った項は有限の極限に近づきません。最初に連続性を調べる手順は、この余分な項を見落とさないためのものです。

誤答を差商に戻して直す

「f(x) = |x| は連続だから x = 0 で f′(0) = 0」という答えを考えます。グラフが左右対称であることから、真ん中の傾きも0だと決めてしまったのが原因です。しかし対称性は左右の差商が等しいことを意味しません。

図3のように、左側の差商と右側の差商を別々に作ります。f(0) = 0 なので、h < 0 では |h| / h = -1、h > 0 では |h| / h = 1 です。両側は一致せず、0で微分可能ではありません。連続性は成り立ちますが、微分係数を0と置く根拠にはなりません。

もう1つの誤りは、接続点を除いた左右の式をそれぞれ微分し、その値が等しいから接続点でも微分可能だとすることです。例えば x < 0 で p(x) = x、x ≥ 0 で p(x) = x + 1 とすると、両側の式の傾きは1ですが、p(0) = 1 です。左側の差商は (h − 1) / h となり、h を負の側から0に近づけても有限値には近づきません。値が飛んでいるからです。

直すときは、接続点の値を問題の不等号から決め、連続性を先に調べます。その後、左右の差商が同じ有限値に近づくかを調べます。連続でないとわかった段階で、微分可能でないと結論できます。片側の式の導関数だけを見て、接続点の値を置き去りにしないことが要点です。

判定の途中で止まったとき

左右の差商の式が複雑でも、最初に h の符号と接続点の位置を結びつけます。例えば接続点が a なら、h < 0 で a + h < a、h > 0 で a + h > a です。a が負の数であっても、この大小関係は変わりません。絶対値の中身が x − a 以外の式なら、その符号が変わる位置も別に調べます。

差商を約分する前には h ≠ 0 としていることを確認します。約分した式に h = 0 を代入できる場合でも、それは元の差商に0を代入したのではなく、0に近づくときの極限を求めたものです。約分できない項が残るときは、分子の定数部分を再確認します。接続点で関数値が飛んでいることが原因なら、左右の式を微分し直しても解決しません。

一方、左右の差商の極限が同じ有限値と確認できた場合は、定義から微分可能と結論できます。連続性の確認は必要条件を先に調べる便利な手順ですが、そこで計算を終えず、最後に左右の差商の一致まで書き切ります。

練習問題

次の4問は、必要な左右の極限を示して答えてください。答えの数値は整数または正確な分数で表します。

1. f(x) = |x + 3| − 2 は x = -3 で連続ですか。また微分可能ですか。微分可能でない場合は左右の差商の極限を求めてください。
2. 関数 q を x < 0 で q(x) = 2x + 4、x ≥ 0 で q(x) = cx + 4 とします。x = 0 で微分可能となる c と、そのときの微分係数を求めてください。
3. 関数 r を x < 2 で r(x) = x²、x ≥ 2 で r(x) = 4x − 4 とします。x = 2 での連続性と微分可能性を調べ、微分可能なら微分係数を求めてください。
4. 関数 s を x < 1 で s(x) = 3x、x ≥ 1 で s(x) = 3x + 2 とします。x = 1 で連続か、微分可能かを調べてください。

練習の解答と考え方

1. f(-3) = -2 です。左右からの関数値はともに -2 に近づくので連続です。h < 0 では f(-3 + h) = -h − 2、h > 0 では f(-3 + h) = h − 2 です。差商はそれぞれ -1、1 となります。左右が異なるため微分可能ではありません。元の式の絶対値に h を戻すと、負の h では -h、正の h では h となり、符号を確認できます。

2. q(0) = 4 で、左右の関数値は c の値によらず4に近づきます。h < 0 の差商は ((2h + 4) − 4) / h = 2、h > 0 の差商は ((ch + 4) − 4) / h = c です。したがって c = 2 のとき、またそのときに限って微分可能で、微分係数は2です。元の式は両側とも 2x + 4 になり、接続点の値も4です。

3. r(2) = 4 です。左からの関数値の極限は 2² = 4、右からは 4 × 2 − 4 = 4 で、連続です。h < 0 の差商は ((2 + h)² − 4) / h = 4 + h です。h > 0 の差商は (4(2 + h) − 4 − 4) / h = 4 です。両方とも4に近づくので微分可能で、微分係数は4です。元の2つの式は接続点でともに4を与え、求めた差商もそれぞれの式から再現できます。

4. s(1) = 5 ですが、左からの関数値の極限は3です。右からの極限は5ですから、x = 1 で連続ではありません。微分可能なら連続でなければならないので、微分可能でもありません。実際、h < 0 の差商は (3(1 + h) − 5) / h = 3 − 2 / h で、有限値に近づきません。両側の式の傾きがともに3であることだけでは、接続点での微分可能性を判定できない例です。

覚えておくこと

差商は点の実際の関数値を使い、左右から調べます。 微分可能なら連続ですが、連続でも微分可能とは限りません。 接続点では値の一致と、差商の極限の一致を順に確かめます。

式のどこで迷っているか

連続性は正しく判定できるのに微分可能性を誤るなら、差商の分子に何を代入したかを見ると原因を探せます。f(a + h) の式を選ぶ基準と f(a) を決める不等号を、本人の途中式に印を付けて区別します。左側の式が点そのものを含まない場合でも、その式の a での値を無意識に f(a) としていないかが確認点です。

個別指導では、h の正負を言葉で説明してから式を書けるか、左右の極限が異なるときに結論を言えるかを確かめます。連続条件を得た後には、その条件が必要である理由と、差商の一致まで調べれば十分になる理由を本人の言葉でたどります。折れ目の判定は、同じ基準点から左右の変化を比べて決まります。