数検準2級 円の接線と方べき—交点と接点の位置を整理して長さの式を立てる｜武蔵野個別指導塾

割線上の近い交点と遠い交点を区別し、円内部分を足して方べきの式を作ります。接線の長さと弦の交点の問題でも、積の対応を追います。

よくあるのは、受験者が円の外の点から引いた2本の割線を見て、別々の直線上にある長さを掛けてしまう場面です。図には4つの交点があり、数字を拾うことに気を取られると、どこからどこまでの長さかがあいまいになります。点の並びを先に書き、同じ直線の上で積を作ると、式の意味を追えるようになります。

円周角と接線の角を手がかりに、長さの関係が生まれる理由も見ていきます。図は位置関係を示すもので、見た目の長短を測って答えを決めるものではありません。

問われる形を見分ける

1つ目は、円の外にある点から2本の割線を引く形です。割線とは、円と2点で交わる直線です。外の点から近い交点までと遠い交点までの長さを、同じ割線ごとに掛けます。円の内部にある部分の長さだけが与えられる場合は、外の部分を足して遠い交点までの長さを作ります。

2つ目は、円の外の点から接線と割線を引く形です。接線は円と1点で接する直線で、その点を接点と呼びます。接点までの長さを2回掛けたものと、割線上の2つの長さの積が等しくなります。式から平方根を求めるときは、長さが正であることも使います。

3つ目は、円の内部で2本の弦が交わる形です。弦は円周上の2点を結ぶ線分です。交点から同じ弦の両端までの長さを掛け、それぞれの積を比べます。外の点の図と似た式でも、点の並びは異なります。まず交点が円の内か外かを見てから、線分を選びます。

用語と考え方：角から積へ

円周角は、頂点が円周上にあり、両辺が円と交わる角です。同じ弧に対する円周角は等しくなります。弧とは円周の一部分です。たとえば円周上にA、B、C、Dがあり、CとDが弦ABについて同じ側にあれば、角ACBと角ADBは同じ弧ABに対する円周角なので等しくなります。どの弧を見ているかを両端の文字で確認すると、角の対応を取り違えにくくなります。

接弦定理は、接点を通る接線と弦のなす角が、その弦を見込む円周角に等しいという関係です。接点Tを通る接線上の点Pと、T、Aとは異なる円周上の点Bを考えます。PとBが直線TAをはさんで反対側にあるとき、角PTAと角TBAは等しくなります。接線の反対向きの半直線を使うと隣の角になり、和が180度になるので、図で角の領域まで確認します。

方べきの関係は、こうした角の等しさから三角形の相似を見つけて導けます。図1のように、円外の点Pから2本の割線を引き、点の順序をP、A、BとP、C、Dにします。対応する2組の円周角を使うと三角形PACと三角形PDBが相似です。したがって PA : PD = PC : PB であり、両辺を整理して PA × PB = PC × PD を得ます。

図1では、左のPからそれぞれの直線をたどって交点を読みます。AとB、CとDの組が同一直線上にあります。PAとPCを掛けても、上の相似から得られる積にはなりません。逆に、交点名を入れ替えた図でも、Pから同じ割線上の2点までの長さを組にすれば判断できます。

円内の交点Pでは、弦ABと弦CDに対して PA × PB = PC × PD です。ここではPが両端の間にあるため、PAとPBを足すと弦AB全体になります。円外の場合のように近い点と遠い点を選ぶ必要はありません。同じ記号の式でも、図の位置から各長さを読み直してください。

相似を確かめるときは、角の名前を一文字ずつ追います。三角形PACと三角形PDBでは、角APCと角DPBは同じ2本の直線が作る角です。また角ACPは角ACDの隣の角で、角DBPは角DBAと同じです。A、B、C、Dを頂点とする円に内接する四角形の向かい合う角の和は180度なので、角ACPと角DBPは等しくなります。残る角も三角形の内角の和から等しくなります。対応順はPがP、AがD、CがBです。比を作るときは頂点の順番に注意し、PAに対応するPDと、PCに対応するPBを同じ順に並べます。

実際には円の内側で交わる図でも、三角形を作って相似を確認できます。交点をP、弦の端をA、BとC、Dとしたとき、三角形PACと三角形PDBを考えます。交点の角は対頂角で等しく、円周角も対応します。得られた比を積の形に直すと、両端までの長さの積が等しくなります。公式の形を忘れたときも、点の並びと角から復元できることが強みです。

基本例題：円外の2本の割線

円の外の点Pから2本の割線を引き、一方はPに近い順にA、Bで、もう一方は近い順にC、Dで円と交わります。PA = 4 cm、AB = 8 cm、PC = 6 cmのとき、CDを整数で、単位を付けて求めてください。図2のように、与えられたABは円の中の部分です。

最初にPから遠い交点Bまでの長さを作ります。AはPとBの間にあるので、足し算です。

PB = PA + AB

PB = 4 + 8 = 12 cm

次に方べきの式を書きます。点の文字を先に置けば、数値がどの線分に対応するかを確認できます。

PA × PB = PC × PD

4 × 12 = 6 × PD

PD = 48 ÷ 6 = 8 cm

求めるCDはPDではありません。CはPとDの間にあるので、PからCまでの部分を引きます。

CD = PD − PC

CD = 8 − 6 = 2 cm

答えは2 cmです。図2でDはCより遠く、PD = 8 cmはPC = 6 cmより長いので、点の順序にも合います。また、CD = 2 cmを戻すとPD = 6 + 2 = 8 cmで、両方の積は4 × 12 = 6 × 8 = 48です。元のABも12 − 4 = 8 cmとなり、条件を満たします。

もしABをそのままPBに入れると、4 × 8 = 6 × PDとしてしまいます。この計算は円内部分と外の点からの全体を混同しています。式が立てられないときは、Pから指で線をたどり、近い点で止まる長さと遠い点まで進む長さを別々に書きましょう。

少し難しい例題：接線の長さと条件

円外の点Qから円に接線QTと割線を引きます。割線はQに近い順にE、Fで円と交わり、QE = 5 cm、EF = 15 cmです。QTを根号を使わず整数で、単位を付けて求めてください。

QFは円内部分EFにQEを足した長さです。したがって QF = 5 + 15 = 20 cm です。接線と割線の方べきから、QT × QT = QE × QF が成り立ちます。

QT² = 5 × 20

QT² = 100

QT = 10 cm

数としては2乗が100になる値に負の数もありますが、QTは点QとTの間の長さなので正です。答えは10 cmです。確認すると、5 × 20 = 100であり、接線の長さを2回掛けた10 × 10と一致します。また20 − 5 = 15 cmで、最初の円内部分も再現できます。

なぜ接線の長さが2回現れるのでしょうか。接点Tと割線の交点E、Fを結ぶと、接弦定理とQの角を使って三角形QTEと三角形QFTが相似になります。対応は Q ↔︎ Q、T ↔︎ F、E ↔︎ T です。この対応から QT : QF = QE : QT となり、積を交差させると QT² = QE × QF です。接線と割線を無理に同じ直線にするのではなく、相似の対応から式が生まれます。

長さの条件が矛盾していないかも見ます。Q、E、Fの順ならQFはQEより大きくなければなりません。計算した値が逆になった場合は、引き算の順序や、円内部分を全体と取り違えていないかを見直します。平方根が整数にならない問題でも、正の根号の形を残せばよく、勝手に小数へ丸める必要はありません。

誤答から戻る：どの長さを掛けたか

図3のように、基本例題で PA × PC = PB × PD と置く誤答を考えます。数値を入れると 4 × 6 = 12 × PD となり、PD = 2 cm です。しかしPC = 6 cmなのに、遠い点までのPDが2 cmでは、P、C、Dの並びに合いません。この時点で図の条件に戻れば誤りを見つけられます。

原因は、近い2点を組にし、遠い2点を組にしたことです。方べきで組むのは、近い点どうしではなく、Pを始点とする同じ割線上の2本です。図3の正しい組を使えば 4 × 12 = 6 × PD となり、PD = 8 cmです。最後に必要なCDを取り出すと2 cmです。誤ったPDと正しいCDが偶然同じ数でも、同じ線分を表していません。

別の失敗は、円内で交わる弦に円外の図の足し算をそのまま持ち込むことです。円内では交点から反対向きに2つの長さを測ります。線分全体が与えられたときは、一方を引いてもう一方を求めてから積に入れます。接線の問題ではQT²を2QTと読み違える場合もあります。2乗は同じ長さどうしの積であり、2倍ではありません。

条件が不足して見える場合は、与えられた数が全体か一部分かを確かめます。図に書かれていない長さを、見た目から勝手に等しいと決めることはできません。式から得られた長さが正でない場合や、近い交点までの長さが遠い交点までより長い場合も、その値を答えとして採用せず、元の条件と式を点検します。

円周角の関係を使う際は、同じ円にあることも前提です。異なる円に描かれた角を、弧の名前が似ているという理由で等しいとは言えません。図を読み取るときは、まず円周上にある点と円外にある点を区別します。

練習問題

次の4問はそれぞれ独立した図形です。長さはすべて正とし、指定された形で答えてください。問題を一通り考えてから、後の解答と比べましょう。

1. 円外の点Rから2本の割線を引きます。点の順序はR、G、HとR、J、Kです。RG = 3 cm、GH = 9 cm、RJ = 4 cmのとき、JKを整数で、単位を付けて求めてください。
2. 円外の点Sから接線SUと割線を引き、割線はSに近い順にV、Wで円と交わります。SV = 4 cm、VW = 5 cmのとき、SUを整数で、単位を付けて求めてください。
3. 円内で弦LMと弦NOが点Xで交わります。LX = 2 cm、XM = 12 cm、NX = 3 cmのとき、XOを整数で、単位を付けて求めてください。
4. 円周上にA、B、C、Dがあり、CとDは弦ABの同じ側にあります。角ACB = 37度のとき、角ADBを整数の度数で求めてください。

練習問題の答えと解き方

1の答え

RH = 3 + 9 = 12 cmです。RG × RH = RJ × RK に代入すると、3 × 12 = 4 × RK なのでRK = 9 cmです。したがって JK = 9 − 4 = 5 cmです。戻して確かめると、RK = 4 + 5 = 9 cmで、3 × 12 = 4 × 9です。RH − RG = 9 cmも与えられたGHに一致します。

2の答え

SW = 4 + 5 = 9 cmです。接線と割線の関係から SU² = 4 × 9 = 36 となります。長さは正なのでSU = 6 cmです。6 × 6 = 4 × 9であり、9 − 4 = 5 cmも元の条件と一致します。6の2倍を使うのではなく、6を2回掛けていることに注意します。

3の答え

同じ弦の両端までの積を作ると LX × XM = NX × XO です。2 × 12 = 3 × XO からXO = 8 cmです。実際に 2 × 12 = 3 × 8 = 24 で、4つの長さはいずれも正です。2本の弦の長さはそれぞれ14 cmと11 cmであり、交点Xは各弦の両端の間にあります。

4の答え

角ACBと角ADBは同じ弧ABに対する円周角なので、角ADB = 37度です。CとDが弦ABの同じ側という条件があるため、両方の角が同じ側の弧ABを見ています。答えを戻すと2つの角が等しく、与えられた37度と一致します。反対側にある点では和が180度になるので、同じ側という条件を読み落とさないようにします。

覚えておくこと

円外の割線は、外の点から同じ直線上の近い交点と遠い交点までを掛けます。
接線は、接点までの長さの2乗を割線の積に対応させます。
円内の交点では、同じ弦の両端までの長さを掛けます。
同じ弧の円周角と接弦定理は、角と相似の対応を探す手がかりです。
求めた値を元の線分と点の順序に戻して確かめます。

つまずきの見分け方

個別に解答を見るときは、まず最初の積の行を見ます。別々の割線を組にしていたら、図に2本の直線を色分けするつもりで、同じ直線上の点を声に出してたどります。積は合っているのに答えが違えば、求めるものが遠い交点までの全体か、円内の一部分かを問題文に戻って確認します。

角の問題で止まる場合は、角の頂点ではなく、角の両辺が切り取る弧の両端を書き出します。接線の角なら、どちら向きの半直線でできる角かも見ます。式と図の対応を1つずつ結び直せば、方べきの積を自分の言葉で説明できます。