数検準2級 整数の約数と倍数—素因数の指数を比べて個数と共通の量を求める｜武蔵野個別指導塾

約数を作る指数に0を含め、180の約数の個数を数えます。252との最大公約数と最小公倍数は、指数の大小を比べて求めます。

よくあるのは、受験者が約数の個数を指数の積にしてしまう場面です。素因数分解までは合っていても、ある素因数を使わない選択を忘れると、数えたつもりの約数が足りません。指数を計算の記号として見る前に、どの約数を作るための選択なのかを確かめましょう。ここでは正の整数の約数と倍数を扱い、互除法や不定方程式には進みません。

どんな形で問われるか

一つ目は、与えられた正の整数を素因数分解し、正の約数の個数を求める型です。個数だけを聞かれていても、指数に0を含める理由を説明できれば、公式を思い出しにくいときにも数え直せます。約数を実際に並べる問題では、個数と照らすことで書き漏れを見つけられます。

二つ目は、二つの整数の最大公約数と最小公倍数を求める型です。両方を割り切る数と、両方で割り切れる数では、指数に課される条件が反対です。各素因数について何を比べているのかを言葉にしてから計算します。

三つ目は、個数や共通の量に追加条件が付く型です。例えば偶数の約数を数えるときは、2の指数が0の選択を除きます。問題文に「正の」「共通の」「最大」といった言葉があるかを確かめ、求める対象を決めてから式を書きます。

素因数と指数を選ぶ

正の整数aが正の整数bを割り切るとき、aをbの約数、bをaの倍数といいます。例えば6は30の約数であり、30は6の倍数です。ここでは約数を正の整数に限ります。負の約数も含む問題では、正負の扱いを別に確認する必要があります。

素数は、正の約数が1とその数自身の2個である整数です。1は素数ではありません。2以上の整数を素数の積で表すことを素因数分解といいます。同じ素数の積は指数を使ってまとめます。例えば72 = 2³ × 3²です。2を3個、3を2個掛けた数という意味です。

72の約数を作るには、2を0個から3個まで、3を0個から2個まで選びます。2を0個選ぶとは、その因数を使わないことで、2⁰ = 1です。図1のように、それぞれの指数を一つずつ選ぶと約数が一つ決まります。

図1の選択肢は2について4通り、3について3通りです。選択の組は4 × 3 = 12通りあります。異なる組が同じ整数にならないのは、素因数分解の仕方が素数の並べ方を除いて一通りだからです。逆に72のどの正の約数も、この範囲の指数で表せるので、数え漏れもありません。

一般に、異なる素数p、qを使ってN = pᵃ × qᵇと表せるなら、正の約数の個数は(a + 1)(b + 1)です。指数0からaまでの整数はa個ではなくa + 1個あるためです。素因数が3種類なら、同様にそれぞれの選択肢の数を掛けます。N = 1の場合は素因数がなく、正の約数は1の1個です。

公約数は二つの数の両方を割り切る正の整数で、その中で最大のものが最大公約数です。ある素数について、一方に3個、もう一方に2個あれば、共通の約数には多くても2個しか使えません。したがって小さい指数を選びます。一方、公倍数は両方の倍数であり、最小公倍数にはそれぞれの数が持つ素因数を少なくとも必要な個数だけ入れます。こちらは大きい指数を選びます。

片方に現れない素数は、その数で指数0と考えます。公約数にはその素数が入らず、公倍数にはもう片方の必要な個数が入ります。この0を省かずに比較すると、共通する素数だけを探す方法と、必要な素数を集める方法を同じ表で整理できます。

指数の比較は、割り算を素因数ごとに見る操作です。例えば2³を持つ数を2²で割ると、2が1個残ります。しかし2²を持つ数を2³で割ると、整数にはなりません。ある数の約数になれるかどうかは、その数が持つどの素数についても、使う個数が元の個数を超えないかで決まります。

倍数では向きが逆になります。元の数に整数を掛けるので、元からある素因数は消せません。元の指数以上の個数を用意し、足りない分を掛ければ倍数になります。2つの数の両方についてこの条件を同時に満たすには、それぞれの素数で大きい方の指数が必要です。最大公約数も最小公倍数も1つの数として答えますが、その数を作る前の指数の比較が判断の中心です。

互いに素な2数は、最大公約数が1の2数です。両方が素数である必要はありません。例えば8と15には共通する素因数がないので最大公約数は1です。このとき最小公倍数は8 × 15 = 120です。共通する素因数がある場合に単純に2数の積を最小公倍数とすると、共通部分を余分に掛けることになります。

基本例題：約数の個数と共通の量

【問題】180の正の約数の個数を整数で求めます。また180と252の最大公約数と最小公倍数を、それぞれ整数で求めます。

まず180を小さい素数から割ります。割れなくなるまで同じ素数を試し、残りが素数になるまで続けます。

180 = 2 × 90

90 = 2 × 45

45 = 3 × 15

15 = 3 × 5

よって180 = 2² × 3² × 5です。掛け戻すと4 × 9 × 5 = 180です。最後の5も素数なので、分解はここで終わります。

正の約数では、2の指数は0、1、2の3通り、3の指数も0、1、2の3通りです。5の指数は0、1の2通りです。したがって個数は次のようになります。

3 × 3 × 2 = 18

例えば指数を順に(0, 0, 0)と選ぶと1、(2, 1, 1)と選ぶと60です。どちらも180を割り切ります。18は指数の積ではなく、各指数の選択肢の個数の積です。

次に252を分解し、図2のように同じ素数を縦にそろえて比較します。

252 = 2 × 126

126 = 2 × 63

63 = 3 × 21

21 = 3 × 7

252 = 2² × 3² × 7

図2では、5の指数を252側で0、7の指数を180側で0として比べます。最大公約数には小さい指数を選びます。

最大公約数 = 2² × 3² = 36

最小公倍数には大きい指数を選びます。

最小公倍数 = 2² × 3² × 5 × 7 = 1260

元の条件に戻すと、180 ÷ 36 = 5、252 ÷ 36 = 7なので36は共通の約数です。これより大きな共通の約数を作ろうとして指数を増やすと、いずれか一方を割り切れません。また1260 ÷ 180 = 7、1260 ÷ 252 = 5なので1260は共通の倍数です。必要な素因数を一つでも減らせば、少なくとも一方の倍数ではなくなります。

最後に180 × 252 = 36 × 1260も成り立ちます。各素数の指数について、小さい方と大きい方の和が元の二つの指数の和になるためです。この関係は計算の点検に使えますが、どちらが最大公約数かを区別する代わりにはなりません。

条件が付いた約数を数える

【問題】360の正の約数のうち、偶数であり、かつ9の倍数であるものをすべて求め、個数を整数で答えます。

360 = 2³ × 3² × 5です。一般の正の約数は2の指数が0から3、3の指数が0から2、5の指数が0から1の範囲で作れます。ここから二つの条件を同時に満たす選択を残します。

偶数であるためには2を少なくとも1個含みます。2の指数は1、2、3の3通りです。9の倍数であるためには3²を含む必要があり、3の指数は2に決まります。5についての条件はないので指数は0、1の2通りです。

したがって個数は3 × 1 × 2 = 6です。指数の組から実際に作ると、18、36、72、90、180、360です。並べた数はどれも偶数で9の倍数であり、360を割り切ります。条件に合う指数の組はこの6通りなので、ほかに答えはありません。

ここで「9の倍数」を3の指数が1以上と読むと、9で割り切れない数が混ざります。例えば6は偶数で360の約数ですが、9の倍数ではありません。条件を素因数の必要な個数に翻訳し、その範囲が元の数の指数を超えていないかも見ます。もし360の約数で27の倍数を求めるなら、3が3個必要ですが元の数には2個しかないため、答えは0個です。

誤答から選択肢へ戻る

72 = 2³ × 3²の正の約数を、3 × 2 = 6個とする誤答を考えます。指数の数字は合っていますが、それらは選べる指数の最大値です。選択肢の個数ではありません。

図3のように、2の指数には0もあるため4通り、3の指数にも0があるため3通りです。指数0を落とすと、例えば1や8や9が数えられません。これらはそれぞれ72を割り切るので、誤答が不足していることを具体的に確かめられます。

図3の修正では、(3 + 1) × (2 + 1) = 12個とします。0を「約数が0になる」と読み違えないことも大切です。指数0はその素因数を使わないという意味で、因数の値は1です。実際に2を使わず3を2個使えば、約数9が得られます。

別の誤りとして、最大公約数で大きい指数を選ぶことがあります。共通の約数は二つの数のどちらも割らなければならず、指数の小さい側を超えると失敗します。反対に最小公倍数で小さい指数を選ぶと、指数の大きい側の数で割り切れません。答えが共通の約数や倍数であるかを割り算で先に点検し、さらに最大か最小かを指数の条件で説明します。

練習問題

次の問題は先に自分で解き、答えを整数または指定された整数の一覧で書きましょう。約数は正の整数に限ります。

1. 84の正の約数の個数を整数で求めます。
2. 96と144の最大公約数と最小公倍数をそれぞれ整数で求めます。
3. 150の正の約数のうち、奇数であるものをすべて整数で書き、個数も答えます。
4. 210の正の約数のうち、14の倍数であるものをすべて整数で書き、個数も答えます。

答えと解き方

1. 84 = 2² × 3 × 7です。指数の選択肢は順に3、2、2通りなので、3 × 2 × 2 = 12個です。実際に1、2、3、4、6、7、12、14、21、28、42、84が84を割り切り、指数の組は12通りなので他にありません。2で割り続けた後の21を、素数と勘違いせず3と7に分けることが要点です。

2. 96 = 2⁵ × 3、144 = 2⁴ × 3²です。小さい指数を選ぶと最大公約数は2⁴ × 3 = 48、大きい指数を選ぶと最小公倍数は2⁵ × 3² = 288です。96 ÷ 48 = 2、144 ÷ 48 = 3で共通の約数と確かめられます。288 ÷ 96 = 3、288 ÷ 144 = 2で共通の倍数と確かめられます。指数の小さい方を超えれば共通の約数ではなく、大きい方を下回れば共通の倍数ではないため、最大と最小も満たします。

3. 150 = 2 × 3 × 5²です。奇数にするには2の指数を0に固定します。3の指数は0、1、5の指数は0、1、2なので、2 × 3 = 6個です。一覧は1、3、5、15、25、75です。それぞれ150を割り切り、奇数です。指数の組を6通り作ったので、条件を満たす約数の漏れはありません。2の選択肢がなくなるのではなく、0という1通りに決まる点に注意します。

4. 210 = 2 × 3 × 5 × 7です。14 = 2 × 7なので、2と7の指数はともに1に固定します。3と5はそれぞれ使うか使わないかの2通りです。よって個数は1 × 2 × 2 × 1 = 4個で、一覧は14、42、70、210です。いずれも210を割り切り、14で割ると順に1、3、5、15になります。必要な2と7を含む指数の組はこの4通りです。

覚えておくこと

• 約数の指数は0から元の指数まで選びます。
• 約数の個数は、各素因数の指数の選択肢の数を掛けます。
• 最大公約数には小さい指数、最小公倍数には大きい指数を使います。
• 追加条件は必要な指数の範囲に直し、答えを元の条件で確かめます。

つまずいた行を見つける

個数が合わないときは、最初に素因数分解を掛け戻します。次に指数の一覧を書いた行を見て、0の有無と上限を確かめます。分解は合うのに一覧が足りなければ、指数の積ではなく選択肢の個数に戻ります。

共通の量を間違えたときは、個別指導でも答えの大小だけで判断せず、各数を答えで割った行、または答えを各数で割った行を見ます。割り切れなかった素数の指数を二つの分解に戻して比べると、どちらの条件を破ったかが見えます。約数を選ぶ手順は、指数0から始まります。選択肢の端まで目を向けることが、数え漏れを防ぎます。