数検準2級 三角形の線分比—チェバとメネラウスを図の位置から使い分ける｜武蔵野個別指導塾

延長線上の点の置き方から、共点と一直線を見分けるチェバとメネラウスの線分比をたどります。図でつかむ三角形の線分比です。

よくあるのは、受験者が延長線上の点を図の内側に置き、正しい式を覚えているのに線分の長さを取り違える場面です。辺の外にある点を内側へ移すと、足す長さと引く長さが変わります。まず問題文の「辺上」と「延長上」を図に反映し、どの線がどこで交わるかを確かめます。共点と一直線の二つの関係を、三角形の辺に沿った比で読み取っていきましょう。

何を手掛かりに式を選ぶか

出方の一つは、三角形の各頂点から対辺へ引いた3本の線が1点で交わり、辺の一部の比を求める型です。3本が同じ点を通ることに着目してチェバの定理を使います。辺上の点の順序をたどれば、比の向きをそろえられます。

もう一つは、1本の直線が三角形の2辺と残る辺の延長に交わり、未知の線分を求める型です。こちらは3点が一直線上にあることを使うメネラウスの定理が役立ちます。交点が辺の内側か外側かは、式に代入する長さを決めるときに欠かせません。

さらに、与えられた比から3本が共点か、3点が一直線かを判定する型もあります。この場合は定理の逆を使います。図がそう見えるという理由では結論にできません。比の積を計算した後、点の位置が逆の定理の条件を満たすかまで確認します。ここでは線分比を扱い、三角比を使う計量には広げません。

用語と考え方：点の位置からたどる

三角形ABCで、Dを辺BC上、Eを辺CA上、Fを辺AB上の点とします。いずれも頂点とは異なる点です。AD、BE、CFが1点で交わるとき、次の関係が成り立ちます。

BD/DC × CE/EA × AF/FB = 1

これがチェバの定理です。分数は線分の長さの比です。BからC、CからA、AからBへと三角形の周を同じ向きに進み、各辺で「最初の頂点から点まで」を分子、「点から次の頂点まで」を分母にします。3つを同時に逆向きにしても積は1ですが、1つだけ逆にすると通常は1になりません。

一方、Dを辺BC上、Eを辺CA上、Fを辺BAのA側への延長上に置きます。D、E、Fが一直線上にあるとき、同じ順序の比について次が成り立ちます。

BD/DC × CE/EA × AF/FB = 1

これがメネラウスの定理です。ここでは長さを正の数として扱います。FはAの外側なので、FBはFAとABの和です。内側の点のようにABからAFを引いてはいけません。図1のように、同じ積でも共点を見るか一直線を見るかで、図に描く線と点の配置が異なります。

図1の左は頂点から出た3本が共通の点を通り、右は3点が1本の直線上に並びます。右のFはAを越えているため、AはFとBの間にあります。式を記憶するときも、図で点の並びを先に決めると、比の向きと長さの関係を確認できます。

両定理には逆もあります。上の位置にある点について、3つの比の積が1なら、チェバの配置では3本が共点になり、メネラウスの配置では3点が一直線上にあります。逆を使うときは、求めたい結論を先に仮定せず、与えられた比から積を計算します。定理は既知の配置から比を出し、逆は比から配置を判定する道具です。

図を描くときの順番

問題文を読みながら最初に三角形の頂点を書き、次に辺上の点を置きます。延長上の点は、どちらの頂点を越えるのかまで確認します。たとえば「BAのA側」ならBからAへ進んでAを通り越した位置です。「ABのB側」なら反対側になります。延長という語だけで左右を決めるのではなく、頂点の並びを言葉にしてから描きます。

次に、共点なら各頂点とその向かいの辺上の点を結び、一直線なら指定された3点を1本の線で結びます。手描きの図では比が正確に再現されなくても構いませんが、辺の内外と点の順序は正しく保ちます。長さの大小が問題から決まるときは、それも図に反映させます。

比が例えば2:3と与えられたら、共通の正の数をkとして長さを2kと3kにできます。辺全体は内分なら5kです。外分では、長い線分と短い線分の差が2つの頂点間の長さになる場合があります。どの長さが和や差に当たるかは、式を作る前に点の並びで決めます。比の数をそのまま足す操作には、線分をつなげた図形上の理由が必要です。

基本例題：共点から辺の比を求める

三角形ABCの辺BC、CA、AB上にそれぞれD、E、Fがあります。3線分AD、BE、CFは1点で交わります。BD:DC = 2:3、CE:EA = 3:4のとき、AF:FBを最も簡単な整数の比で求めてください。

図2のように、D、E、Fが各辺の内側にあることと、3本が共通の点を通ることを確認します。求める比をそのままxとおいて、頂点をB、C、A、Bの順にたどります。

AF/FB = x とします。チェバの定理から、次の式を得ます。

BD/DC × CE/EA × AF/FB = 1

(2/3) × (3/4) × x = 1

(1/2) × x = 1

x = 2

したがって、AF:FB = 2:1です。比は長さそのものではありません。ABの長さが与えられていないので、AFを2、FBを1と決めるのではなく、AFがFBの2倍と読みます。

答えを元の条件に戻します。2/3、3/4、2/1を掛けると1なので、与えられた共点の条件と矛盾しません。たとえば辺の長さの単位をそれぞれ適当に選び、BD = 2、DC = 3、CE = 3、EA = 4、AF = 2、FB = 1とすれば、辺の長さは5、7、3です。三角形の成立条件も満たします。これは比を確かめる一例であり、元の問題がこの長さを指定したわけではありません。

途中でAF/FBではなくFB/AFを置いた場合は、その値は1/2です。求める向きに戻せば2:1になります。文字を置く段階で向きを書き、最後に問題の指定した順に直すと、逆比のまま答えるミスを防げます。

少し難しい例題：延長上の長さを決める

三角形ABCで、Dは辺BC上、Eは辺CA上、Fは辺BAのA側への延長上にあり、D、E、Fは一直線上にあります。BD:DC = 1:2、CE:EA = 3:2、AB = 8 cmです。AFの長さを分数または整数で、単位を付けて求めてください。

まず点の順序はF、A、Bです。AF = x cmとすると、FB = (x + 8) cmです。xは正なので、FBはAFより長くなければなりません。この大小関係は計算後の点検にも使えます。

メネラウスの定理に代入します。

(1/2) × (3/2) × x/(x + 8) = 1

この式では左辺の最初の2つの積が3/4で、x/(x + 8)は1より小さいため、左辺は1になりません。つまり、与えられた位置と比を同時に満たす図は存在しません。式を機械的に解いて負の長さを出しても、それを答えにしてはいけません。

では、条件をBD:DC = 2:1に変えた場合を考えます。他の条件は同じです。このとき最初の2つの積は3になり、次の式になります。

3x/(x + 8) = 1

3x = x + 8

2x = 8

x = 4

AF = 4 cmです。F、A、Bの順なのでFB = 4 + 8 = 12 cmとなり、比の積は2 × (3/2) × (4/12) = 1です。元のAB = 8 cmにも、FB − AF = 12 − 4 = 8 cmとして戻ります。積が1になるために必要なAF/FBは1/3で、外分点としての範囲にも入っています。

このように、外分点を求めるときは、得られた比が0より大きく1より小さいかを先に見ると、図が成立しない条件を判別できます。計算の結果が負になったときは符号を外して終わらず、点の並びと条件の両方に戻ります。

誤答から直す：外分点を内側に置かない

AB = 10 cm、Fが辺BAのA側への延長上にあり、AF:FB = 2:7とします。AFを求める際に「AF = 10 × 2/9」とする誤答を考えます。2と7を足してABを9等分したのは、FがAとBの間にあるときの考え方です。

図3のように、正しい順序はF、A、Bです。AFを2等分の長さ、FBを7等分の長さに対応させると、ABに当たるのはその差の5等分です。ここでABを2つの比の和に対応させると、Fの位置を変えてしまいます。

1等分の長さは10 ÷ 5 = 2 cmです。よってAF = 2 × 2 = 4 cm、FB = 7 × 2 = 14 cmです。実際に14 − 4 = 10 cmとなり、ABに戻ります。比も4:14 = 2:7なので両方の条件を満たします。

もう一つの誤りは、メネラウスの式で1つの比だけを逆にすることです。BD/DCから始めたら、次はCE/EA、その次はAF/FBと同じ方向に進みます。分子だけを拾うとB、C、A、分母側はC、A、Bです。順序が途中で折り返していないか、図の辺を指でたどって確認します。

逆に3つとも逆にした式は、元の積の逆数なので、積が1という条件を保ちます。間違いかどうかは見た目ではなく、3辺の向きがそろっているかで判定します。式が合っていても外分の長さを和で結ぶか差で結ぶかは別の確認です。

練習問題

以下の点は、指定した辺の端点とは異なります。長さは正とし、比は最も簡単な整数の比、長さは整数または分数で単位を付けて答えてください。

1. 三角形PQRの辺QR、RP、PQ上にそれぞれL、M、Nがあります。PL、QM、RNが1点で交わり、QL:LR = 4:5、RM:MP = 5:6です。PN:NQを求めてください。
2. 三角形ABCの辺BC上にD、辺CA上にE、辺BAのA側への延長上にFがあり、D、E、Fは一直線上です。BD:DC = 3:1、CE:EA = 2:1、AB = 15 cmです。AFを求めてください。
3. 三角形XYZの辺YZ、ZX、XY上にそれぞれU、V、Wがあります。YU:UZ = 2:7、ZV:VX = 7:3、XW:WY = 3:2です。XU、YV、ZWは1点で交わるか判定してください。
4. 三角形ABCの辺BC上にD、辺CA上にE、辺BAのA側への延長上にFがあります。BD:DC = 2:3、CE:EA = 5:2、AF:FB = 1:2です。D、E、Fは一直線上にあるか判定してください。

練習問題の答えと解き方

1. チェバの定理より、(4/5) × (5/6) × PN/NQ = 1です。最初の積は2/3なので、PN/NQ = 3/2、答えは3:2です。元の比を掛け直すと(4/5) × (5/6) × (3/2) = 1で、共点の条件に戻ります。辺の長さ自体は与えられていません。

2. AF = x cmとおくとFB = x + 15 cmです。メネラウスの定理より、3 × 2 × x/(x + 15) = 1です。6x = x + 15、5x = 15となり、AF = 3 cmです。FB = 18 cmで、18 − 3 = 15 cmと元のABに戻ります。比の積も3 × 2 × 3/18 = 1です。

3. (2/7) × (7/3) × (3/2) = 1です。3点はそれぞれ指定された辺上にあるので、チェバの定理の逆より、3本は1点で交わります。比を求めた順序はY、Z、X、Yで、問題の辺の位置と一致します。積だけでなく各点の位置を確認して結論を出します。

4. (2/3) × (5/2) × (1/2) = 5/6です。1ではないため、メネラウスの定理より3点は一直線上にありません。もし一直線なら積が1になるはずなので、条件に戻すと矛盾します。FがA側の延長上にあることも、AFがFBより短い1:2という比と合っています。

覚えておくこと

共点ならチェバ、一直線ならメネラウスを考えます。 辺を同じ向きにたどり、3つの比を掛けます。 延長上の点では、線分の和と差を点の順序から決めます。 比から配置を判定するときは、定理の逆と点の位置を確認します。

つまずきの見分け方

個別に解答を見るときは、まず図の点の順序と、最初に書いた線分の式を照らします。外分点でFB = AB − AFと書いていれば、F、A、Bの並びに戻り、FBがどの2つの長さの和かを確かめます。積の式から違う場合は、各分子と分母を辺に書き込み、同じ向きで一周できるかを見ると原因が見つかります。

積が1になった後の結論が書けない場合は、与えられたのが配置か比かを問い直します。配置から式へ進むのが定理、比から配置へ進むのが逆です。点の位置を図に戻せば、線分比の式は図形の条件を語り始めます。