数検準2級 データの分析の分散—平均との差を表に整理して標準偏差まで求める｜武蔵野個別指導塾

偏差の表で平方を足してから個数で割り、散らばりを表す分散を求めます。

よくあるのは、受験者が平均との差を足し合わせ、その和を分散として答える場面です。平均より大きい差と小さい差は符号が反対なので、足すと打ち消し合います。散らばりを調べたいのに、これでは同じ値ばかりの集まりと区別できません。差を平方してから平均する理由を、表の一列ずつに戻って見ていきましょう。

どんな量を求めるのか

分散の問題では、まず与えられたデータの平均を求め、各値がそこからどれだけ離れているかを調べます。平均からの差を偏差といい、その平方の平均が分散です。分散の平方根を標準偏差といいます。平均との差を単純に足す方法では、散らばりが消えてしまうため、平方してからまとめます。

自作問題で考えられる型は3つあります。1つ目は、個々の値から平均、偏差、分散、標準偏差を順に求める型です。2つ目は、個数の表を読み、同じ値の偏差平方をその個数分だけ数える型です。3つ目は、全データに同じ数を加えたり、同じ数を掛けたりしたときの変化を考える型です。計算式に入る前に、何個の値を扱うのか、求める量が分散か標準偏差かを問題文で確かめます。

ここで扱う分散は、与えられたデータ全体についての偏差平方の平均です。標本から母集団を推定するための不偏分散は扱いません。数値は計算の仕組みを見るために作ったもので、実際の調査結果を示すものではありません。

平均から平方の平均へ

平均は、値の合計を個数で割った値です。ある値の偏差は「その値 − 平均」です。平均より上なら正、下なら負、平均と同じなら0になります。たとえば平均が5のとき、値3の偏差は -2、値7の偏差は2です。符号も含めて、平均との差を表します。

図1のように、平均を先に決めてから各値の差を取り、その差を平方します。平均との差は向きが異なると打ち消し合いますが、平方後は負になりません。平方の合計を元のデータの個数で割れば、1個あたりの偏差平方、つまり分散です。平方根を取ると標準偏差になります。

平均が正しく計算されていれば、偏差の和は0です。元の値の合計から「平均を個数分足したもの」を引くと0になるためです。この性質は平均や引き算の確認に使えますが、分散の答えには使えません。どのデータでも偏差の和が0になり、散らばりの大小を区別できないからです。

分散は平方した量なので、元の値が cm なら単位は cm² です。標準偏差は平方根を取るので cm に戻ります。両者は関連していますが数値も単位も異なるため、問題が求める方を答えます。データがすべて同じなら偏差はすべて0で、分散も標準偏差も0です。逆に分散が0なら、負にならない偏差平方がすべて0なので、各値は平均と一致します。

平方する前後の見方

平均との差を距離として見ると、平均から左へ2離れた値と右へ2離れた値は、向きが違っても距離は同じです。偏差はそれぞれ -2 と2、偏差平方はどちらも4です。平方によって向きの違いが消え、離れた程度が数に残ります。距離をそのまま足す考え方もありますが、ここで定義した分散は距離の平均ではなく、距離の平方の平均です。分散の計算では、各値から平均を引いた偏差を平方し、その合計をデータ数で割ります。

平均が整数とは限らないことにも気をつけます。平均が分数のときに途中で丸めると、偏差や分散が変わります。問題に丸め方の指定がなければ、分数のまま最後まで計算すると正確です。偏差の和が0からずれたときは、平均の計算、各値から平均を引く順序、同じ値の個数を確認します。ただし偏差の和が0でも、平方の列や割る数が正しいとは限らないので、次の列も別に見直します。

基本例題：4個の値を表にする

ある工作で使った4本のひもの長さは、順に 2 cm、4 cm、6 cm、8 cm でした。この4本の長さの分散を cm²、標準偏差を cm で求めてください。答えは整数または根号を用いて表します。

まず、4本の合計を出します。

2 + 4 + 6 + 8 = 20

平均は合計を4で割ります。

20 ÷ 4 = 5

平均は 5 cm です。それぞれから5を引き、偏差を求めます。

2 − 5 = -3

4 − 5 = -1

6 − 5 = 1

8 − 5 = 3

次に、各偏差を平方します。負の数も括弧に入れて平方すると符号の間違いを防げます。

(-3)² = 9

(-1)² = 1

1² = 1

3² = 9

図2のように、元の値と偏差、偏差平方を同じ順に対応させます。偏差の和は -3 − 1 + 1 + 3 = 0 で、平均の計算を確かめる手がかりになります。平方の和は 9 + 1 + 1 + 9 = 20 です。

偏差平方の合計を、元の値の個数4で割ります。

20 ÷ 4 = 5

したがって分散は 5 cm² です。その正の平方根を取り、標準偏差は √5 cm です。平方根を取る操作は平均を求める操作とは別です。先に各偏差の平方を平均し、その結果に平方根を適用します。

答えを元の場面に戻すと、4本の合計は 20 cm で、平均 5 cm を4本分にした長さと一致します。また、平均からの距離は順に 3 cm、1 cm、1 cm、3 cm です。これらの平方の合計が20となり、4本分の平均は5です。ひもの順番を入れ替えても、合計する偏差平方は変わりません。

少し難しい例題：個数のある表

ある展示で使う紙片の幅を測ると、3 cm が2枚、5 cm が3枚、7 cm が1枚ありました。この6枚の幅の分散を cm²、標準偏差を cm で求めてください。答えは既約分数または根号を用いて表します。

同じ幅が複数あるので、異なる値の種類は3つですが、データの個数は6です。まず幅の合計を、各値に枚数を掛けて求めます。

3 × 2 + 5 × 3 + 7 × 1 = 28

平均は 28 ÷ 6 = 14/3 cm です。平均が分数でも、各値から同じ平均を引く手順は変わりません。

3 − 14/3 = -5/3

5 − 14/3 = 1/3

7 − 14/3 = 7/3

それぞれの偏差平方は順に 25/9、1/9、49/9 です。3 cm の紙片は2枚あるので、25/9 は2回分加えます。同様に 1/9 は3回分、49/9 は1回分です。

25/9 × 2 + 1/9 × 3 + 49/9 × 1 = 102/9

分散は、この和を6で割って 17/9 cm² です。標準偏差は √17/3 cm です。個数を掛けるのは平方の後ですが、同じ値の偏差平方をその枚数だけ足すことと同じ意味です。

元の6枚を 3、3、5、5、5、7 と並べれば、合計は28です。偏差の和も -5/3 を2回、1/3 を3回、7/3 を1回足して0になります。平方の和を6倍の分散に戻すと 102/9 で一致します。種類数の3で割ると、枚数の多い幅と少ない幅を等しく扱ってしまい、求めたい6枚の分散ではなくなります。

誤答を直す：足す列を見直す

基本例題で、偏差の和が0なので「分散は 0 cm²」と答えたとします。誤りの原因は、偏差を足す列と、偏差平方を足す列を取り違えたことです。0になること自体は平均の確認として自然ですが、それを分散と呼ぶことはできません。

図3のように、偏差の和と偏差平方の和を分けて書きます。前者は0、後者は20です。修正するときは平方の列まで戻り、9、1、1、9を足して4で割ります。その結果は5なので、4本の長さには散らばりがあります。

別の誤りとして、偏差を平方した和20をそのまま分散にする場合があります。和は4本分の合計ですから、分散にするには4で割ります。どこまで計算した数なのかを、数値の横に「和」「平均」と書いておくと区別できます。逆に、平方の前に偏差を平均してしまうと0を平方することになり、散らばりの情報が消えます。

標準偏差を5とする誤りもあります。5は分散なので、標準偏差を求めるには平方根を取ります。√5 を平方すると5になること、単位が cm に戻ることまで確認してください。平方根を取る前後の値が同じになる例もあるため、たまたま数が合ったかどうかより、どの量を求めたかを見直します。

平均だけでは見えない違い

平均が同じでも、データの集まり方は変わります。たとえば 4、4、4 の平均は4で、偏差平方の和は0です。一方 2、4、6 も平均は4ですが、偏差平方の和は 4 + 0 + 4 = 8 です。後者の分散は 8/3 となり、平均から離れた値があることを反映します。どちらも平均は4なので、平均だけを比べてもこの違いは見えません。

ただし分散の数値だけでは、元の値の並びや各値を復元できません。分散が同じでも異なるデータの組は作れます。また、平方しているため、元の量と分散は単位が違います。標準偏差は元の量と同じ単位に戻りますが、分散から平方根を取った値という定義を押さえ、平均からの距離の単純な平均と混同しないようにします。比較するときは、どのデータについて計算したかと単位も合わせて読みます。

練習問題

次の問題の値は練習用に作ったものです。まず3問を解いてから、後の解答と照らし合わせてください。

1. 3回の移動距離は 1 km、3 km、5 km です。分散を km²、標準偏差を km で求め、既約分数と根号で表してください。
2. 5個の箱の重さは 2 kg が1個、4 kg が3個、6 kg が1個です。分散を kg²、標準偏差を kg で求め、既約分数と根号で表してください。
3. 4枚のカードに 1、2、3、6 と書かれています。それぞれの数を2倍してから3を加えた4つの数について、分散と標準偏差を求めてください。答えは整数または根号で表します。

解答と解き方

1. 合計は 1 + 3 + 5 = 9 km、平均は 9 ÷ 3 = 3 km です。偏差は -2、0、2、偏差平方は4、0、4です。分散は 8/3 km²、標準偏差は √6/3 に2を掛けた 2√6/3 km です。3回の距離の合計が平均3 km の3回分に戻り、平方の和も分散の3倍の8に一致します。

2. 個数を含めた合計は 2 × 1 + 4 × 3 + 6 × 1 = 20 kg です。5個の平均は4 kg、偏差は値の種類ごとに -2、0、2 です。平方の和は 4 × 1 + 0 × 3 + 4 × 1 = 8 なので、分散は 8/5 kg²、標準偏差は 2√10/5 kg です。実際に2、4、4、4、6と並べれば5個で合計20 kg となり、平方の和も8に戻ります。

3. 変換後の数は順に 5、7、9、15 です。合計36を4で割ると平均は9、偏差は -4、-2、0、6 です。平方の和は 16 + 4 + 0 + 36 = 56 ですから、分散は14、標準偏差は √14 です。変換前の平均は3、偏差は -2、-1、0、3 なので、変換後の偏差は各2倍です。分散は元の 7/2 の4倍、標準偏差は元の √14/2 の2倍とも確かめられます。

同じ数を全値に加えると平均にも同じ数が加わるため、偏差は変わりません。全値を2倍すると平均も2倍になり、偏差は2倍、偏差平方は4倍です。一般に全値を定数倍すると分散はその定数の平方倍、標準偏差はその定数の絶対値倍です。負の数を掛けても標準偏差は負にならない点に注意します。

練習の3問目では、変換後の4つの数を直接書き出す方法と、元の分散の変化を使う方法が一致しました。片方の方法だけで進めると、加える3と掛ける2の影響を混同することがあります。直接求めた平均9と、元の平均3を2倍して3を加えた値を比べると、変換の順序も確認できます。

覚えておくこと

• 偏差は各値から平均を引いた数です。
• 分散は偏差平方の和をデータの個数で割った数です。
• 標準偏差は分散の平方根です。
• 個数の表では、同じ値の偏差平方をその個数分だけ数えます。
• 全値を定数倍すると、分散はその平方倍になります。

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個別指導で解答を見るときは、まず平均の行と、割った数が実際のデータ数に合うかを確かめます。平均が違えば、それ以降の偏差も変わるので、値と個数を掛けた合計から計算し直します。偏差の和が0なのに分散も0とした場合は、平方の列があるかを見ます。平方の和まで正しければ、最後に個数で割ったか、標準偏差なら平方根を取ったかを確認します。

途中式を声に出して「これは何個分の和か」と説明できると、表のどの列に戻るべきか見つけやすくなります。偏差の符号が消える理由と、個数で割る理由をつなげると、分散の値に意味が生まれます。