数検準2級 図形と計量の高さ—見上げる角と水平距離から測れない高さを求める｜武蔵野個別指導塾

目線の高さを加える位置や、2地点の仰角から水平距離を求める手順をたどり、測れない高さへ迫ります。

よくあるのは、受験者が建物の頂上を見上げ、三角比で求めた目線から上の高さを、そのまま建物全体の高さとして答える場面です。式の計算が合っていても、答えの始点が地面から目まで上がっています。図に地面、目線、頂上を描き、どこからどこまでを求めたのかを確かめると、この食い違いを見つけられます。

高さを求める問題の型

見上げる角と距離から高さを出す問題では、図に直角三角形を作ることが出発点です。直角三角形の辺を、目線からの鉛直方向と水平方向に分けます。建物が地面に垂直で、地面が水平という条件があれば、両者は直角に交わります。この条件が明示されていない実際の地形では同じ図をそのまま使えないので、問題文の設定を読み取ります。

出方には、水平距離と仰角から目線より上の高さを求め、目の高さを加える型があります。別の型では、同じ高さの目から2地点で仰角を測り、地点間の距離を使って建物までの距離も求めます。また、建物の全高が与えられ、目線の高さを引いて水平距離を逆算する型もあります。どの型でも、斜めの視線の長さと水平距離を混同しないことが鍵です。

ここでは平らな地面上での測量を扱います。建物の傾きや空間座標を使う問題には広げません。数値は計算の練習のために設定したもので、実際の測定結果ではありません。

仰角と直角三角形をつなぐ

目から水平に伸ばした線と、目から対象を見上げる視線とのなす角を仰角といいます。角は地面から直接測るのではなく、目を通る水平線を基準にします。建物の根元を通る鉛直線にその水平線を延ばすと、目と同じ高さの点ができます。そこから頂上までが、目線より上の高さです。

図1のように、水平距離を d、目線から頂上までの高さを h、仰角を θ とします。目の位置を基準に見ると、h は角 θ の向かいの辺で、d は角に隣り合う水平の辺です。直角三角形の定義から tan θ = h / d となります。したがって h = d tan θ です。地面から目までの高さを e とすれば、地面から頂上までの高さは h + e です。

図1では地面から目までと、目線から頂上までを別の線分として示しています。両方をつなぐと建物の全高になります。目と建物の根元が同じ水平な地面の上にあるので、目から建物までの水平距離は、足元から根元までの距離と等しくなります。足元が坂の上にある場合などには、その等しさを勝手に使えません。

tan 30° = 1/√3、tan 45° = 1、tan 60° = √3 を使います。例えば水平距離が決まっていれば、仰角が大きいほど目線から上の高さも大きくなります。距離と高さは同じ単位で計算します。センチメートルとメートルが混ざるときは、掛け算や足し算の前に単位をそろえます。

斜めの視線が与えられた場合、水平距離は視線そのものではありません。視線は直角三角形の斜辺です。そこから水平距離を求めるには cos を使うなど、与えられた辺の位置に合う比を選びます。名前を覚えるだけでなく、角から見た向かいの辺と隣の辺に印をつけると、式の分母と分子を決めやすくなります。

基本例題：旗柱の全高

水平な地面に垂直に立つ旗柱があります。根元から水平に 10 m 離れた地点で、地面から 1.5 m の高さの目で頂上を見ると、仰角は 45° でした。旗柱の地面から頂上までの高さを、メートルを単位とする小数で求めます。

図2のように目から水平線を引き、柱と交わる点から頂上までの高さを x m とします。柱と地面は垂直なので、目を通る水平線とも直角に交わります。仰角の向かいの辺が x、隣の水平な辺が 10 です。

tan 45° = x / 10

1 = x / 10

x = 10

ここで出た 10 m は目線から上の部分です。柱の根元から目線の高さまでは、目の地面からの高さと等しく 1.5 m です。求める全高を H m とすると、次のように加えます。

H = 10 + 1.5

H = 11.5

答えは 11.5 m です。場面に戻して確かめると、全高から目の高さを引いた 11.5 − 1.5 = 10 m が目線より上の部分です。これを水平距離 10 m で割ると 1 となり、与えられた 45° の tan と一致します。全高を求める問題なので、途中の 10 m で終わらせないことも確認できます。

図に数字を記す順番も役立ちます。まず水平距離を目を通る線に移し、次に仰角を目の位置に書きます。最後に柱の鉛直線を目線で区切り、下側に 1.5 m、上側に x m を置きます。求める範囲を柱の根元から頂上まで括っておけば、計算が終わった時点で、x と求める量の違いが残ります。

少し難しい例題：2地点から見る

水平な地面に垂直な塔があります。塔の根元と同一直線上で、塔から見て同じ側に近い地点 A と遠い地点 B があり、A と B の間の距離は 20 m です。両地点の目の高さは地面からともに 2 m です。塔の頂上の仰角は A で 60°、B で 30° でした。塔の全高をメートルを単位とし、根号を含む形で求めます。

近い地点から塔の根元までの水平距離を x m、目線から頂上までの高さを y m とします。B は A より 20 m 遠いので、B から根元までの距離は x + 20 m です。2つの目は同じ高さにあるため、どちらの直角三角形でも鉛直の辺は同じ y になります。

A の図から y / x = tan 60° = √3 です。

よって y = √3 x です。

B の図から y / (x + 20) = tan 30° = 1/√3 です。

よって y = (x + 20) / √3 です。

2つの y を等しくすると、√3 x = (x + 20) / √3 です。

両辺に √3 を掛けると、3x = x + 20 です。

2x = 20 なので、x = 10 です。

y = √3 × 10 = 10√3 です。

目の高さを加え、答えは (10√3 + 2) m です。x が正で、遠い側の距離 30 m が近い側の 10 m より長いことも条件に合います。目線から上の高さを距離で割ると、A では 10√3 / 10 = √3、B では 10√3 / 30 = 1/√3 です。2つの仰角と地点間の 30 − 10 = 20 m が元の条件に戻ります。

2地点の目の高さが異なる場合は、同じ y をそのまま使えません。それぞれの目から頂上までの鉛直距離を別に表し、全高との関係を使います。また A と B が塔を挟んで反対側なら、遠い距離を x + 20 と置くこともできません。直線上という言葉だけで位置関係を決めず、どちらがどちら側にあるかを図に書きます。

誤答を直す：10 m で止まる

基本例題で「tan 45° = x / 10 だから、柱の高さは 10 m」と答えたとします。計算した比は正しいものの、x は目を通る水平線より上の長さです。図3のように、柱の下部 1.5 m が答えから抜けています。原因は、変数の表す線分と問題が求める線分を区別せず、数値をそのまま全高に移したことです。

修正するときは、10 m の両端を図で指し、下端が地面ではなく目線上にあることを確かめます。下の 1.5 m を加えると 11.5 m になります。答えから目の高さを引いて元の三角形の高さに戻るかも確認します。図3の全高は、上と下の線分の和です。

別の誤りとして、10 m を視線の長さだと思い、sin 45° を掛けることがあります。しかし問題の 10 m は水平距離なので、視線ではなく角に隣接する辺です。水平と鉛直の2辺を使う tan に戻します。反対に視線の長さだけが与えられた問題なら、水平距離と呼び直して tan に代入することはできません。与えられた線分の両端を文章に戻してから、比を選びます。

単位の誤りも答えを変えます。目の高さを 150 cm と書かれた場合、10 m に 150 を直接足すのではなく、150 cm = 1.5 m と直してから足します。小数点の位置を確認するには、100 cm が 1 m に当たることへ戻ります。計算結果が目の高さより低い全高になった場合は、図の上下関係に矛盾するので、式と単位を見直します。

図から式に移るときの確認

距離が直接測れる問題では、まず問題文に書かれた距離の両端を確認します。足元と建物の根元を結ぶ距離なら、地面が水平な条件の下で、目から建物へ引いた水平線の長さに移せます。目の位置と足元は鉛直に並び、柱も鉛直に立つため、2本の鉛直線にはさまれた水平な長さが等しくなるからです。こうして初めて、三角形の辺に与えられた数を記入できます。

高さが先に与えられ、距離を求めるときは、計算の向きが逆になります。地面からの高さから目の高さを引き、その差を角の向かいの辺に置きます。tan の値が向かいの辺を隣の辺で割ったものなので、水平距離を文字にした式を解きます。最後に求めた距離に tan の値を掛けると、目線から上の高さに戻るはずです。そこで目の高さを加えて元の全高になるかまで見ると、足し引きの位置も点検できます。

仰角が同じでも目の高さが異なれば、目線から上の高さが同じとは限りません。2人の目を同じ水平線に置いてよいのは、両方の目が地面から同じ高さにあるという条件があるときです。条件がない問題では、別々の水平線を描き、それぞれの高さを区別します。図に書かれていない条件を作って計算を進めないことが、答えの検証につながります。

練習問題

次の問題は地面を水平、対象を地面に垂直とします。各答えは指定された形で表します。まず問題をまとめて解き、後の解答で線分の対応を確認してください。

1. 街灯の根元から水平に 6 m 離れた地点で、地面から 1 m の高さの目で頂上を見上げると、仰角は 45° でした。街灯の全高をメートルを単位とする整数で求めます。
2. 垂直な壁の上端を、根元から水平に 4√3 m 離れた地点から見上げると仰角は 30° でした。目の高さは 1.2 m です。壁の全高をメートルを単位とする小数で求めます。
3. 地面から 13 m の高さにある標識を、地面から 1 m の高さの目で見上げたところ、仰角が 60° でした。標識の真下までの水平距離をメートルを単位とし、分母を有理化した根号の形で求めます。
4. 垂直な煙突の根元と同一直線上の同じ側に、近い地点 P と遠い地点 Q があります。P と Q の間は 12 m、両地点の目の高さはともに 1 m です。頂上の仰角は P で 60°、Q で 30° でした。煙突の全高をメートルを単位とする根号を含む形で求めます。

解答と解き方

1. 目線より上の高さを a m とすると、a / 6 = tan 45° = 1 です。よって a = 6、全高は 6 + 1 = 7 m です。戻して確かめると、7 − 1 = 6 m であり、水平距離との比は 6 / 6 = 1 です。

2. 目線より上の高さは 4√3 × tan 30° = 4√3 / √3 = 4 m です。全高は 4 + 1.2 = 5.2 m です。5.2 − 1.2 = 4 m を水平距離 4√3 m で割ると 1/√3 になり、30° の条件に合います。根号を含む水平距離をそのまま使い、最後に単位を付けます。

3. 目線より上の高さは 13 − 1 = 12 m です。水平距離を b m とすると、12 / b = √3 です。したがって b = 12 / √3 = 4√3 m です。4√3 × √3 = 12 m が目線より上の高さに戻り、さらに目の高さを加えると標識の 13 m に戻ります。全高の 13 m をそのまま向かいの辺にしないことが必要です。

4. P から根元までを c m、目線より上を d m とすると、d = √3 c、d = (c + 12) / √3 です。両式から 3c = c + 12、c = 6、d = 6√3 です。全高は (6√3 + 1) m です。Q から根元までは 18 m で、18 − 6 = 12 m です。また 6√3 / 6 = √3、6√3 / 18 = 1/√3 なので、両方の仰角に戻ります。近い側を c と置くことで距離の差を正しく表せます。

覚えておくこと

• 仰角は目を通る水平線と視線のなす角です。
• tan は目線から上の高さを水平距離で割った比です。
• 全高を求めるときは目の高さを加えます。
• 逆に全高から始めるときは目の高さを引きます。
• 答えを元の距離、角、単位に戻して確かめます。

つまずいた行から戻る

個別指導で解答を見るときは、まず最初の比の行に注目します。分母が水平距離でなければ、角の位置と隣り合う辺に戻ります。比は正しいのに答えが小さい場合は、変数の線分の下端と、問題が求める高さの下端を比べます。2地点の式が合わない場合は、距離の差と目の高さが同じかを図に書き直します。保護者がお子さまのノートを見るときも、答えだけでなく、どの線分を文字で表したかを尋ねると、修正する箇所を見つけやすくなります。

測れない高さも、目線を境に分ければ地面からの長さへつながります。