数検準2級 絶対値と一次不等式—数直線で範囲を分けて解の共通部分を求める｜武蔵野個別指導塾

負数で割った後の不等号と、絶対値の境界を数直線で整理し、二つの条件が重なる範囲を確かめます。

よくあるのは、受験者が負の数で割った後も不等号を変えないという場面です。計算の途中までは合っていても、最後の向きが逆になると、数直線に塗る場所も反対になります。さらに、絶対値の式では、数の正負と距離の大小が混ざりやすくなります。

まず距離を数直線に置き、次に各条件の範囲を求め、最後に重なりを読みます。端の点を含むかどうかまで確認すれば、式の形が変わっても答えを点検できます。

どんな判断を問うか

絶対値と一次不等式では、計算の速さに加えて、条件を範囲として読む力が必要です。例えば次のような型があります。

• 絶対値がある数より小さい条件を、中心からの距離として区間に直す型。
• 一次不等式をそれぞれ解き、両方を満たす共通部分を求める型。
• 絶対値を含む式を中身の符号で分け、それぞれの範囲と答えを照合する型。

いずれも、境界となる数を出して終わりではありません。その数を含むのか、境界のどちら側なのか、複数の条件ならどこが重なるのかまで決めます。答えが空になる場合や、端点だけが残る場合もあります。式の操作だけで決めにくいときは、境界とその両側から値を選んで元の条件に戻すと、向きの誤りを見つけられます。

ここでは実数を対象にし、絶対値と一次不等式を扱います。整数を数える問題とは異なり、端点の間には整数以外の数も入ります。数直線の線分は、その間の実数を表しています。

距離と端点を数直線で読む

数 a の絶対値 |a| は、数直線上で 0 から a までの距離です。例えば |3| も |-3| も 3 です。距離は負にならないので、|a| が負の数に等しいことはありません。a が正または 0 なら |a| = a、a が負なら |a| = -a です。後者は負の数にマイナスを付けて正の距離にする操作です。

|x − 2| は x と 2 の距離です。これが 3 以下なら、2 から左へ 3、右へ 3 進んだ範囲に x があります。したがって -1 ≤ x ≤ 5 です。距離が 3 と等しい両端も含みます。図1のように中心と両端を先に置くと、左右の向きに迷いにくくなります。

距離が 3 未満なら -1 < x < 5 です。等号がないので両端を除きます。一方、距離が 3 より大きいなら x < -1 または x > 5 で、中央ではなく両側が残ります。「以下」と「未満」、「以上」と「より大きい」の違いは、端点を含むかどうかに現れます。

一般に、正の数 r に対して |x − a| ≤ r は a − r ≤ x ≤ a + r です。|x − a| > r なら x < a − r または x > a + r です。r が 0 のときや負のときは、距離が負にならないことに戻って判断します。例えば |x − a| < 0 を満たす実数はありません。

不等式の両辺に同じ数を足しても大小の順序は変わりません。正の数を掛けたり割ったりしても同じです。しかし負の数を掛けたり割ったりすると順序が逆になります。2 < 5 の両辺に -1 を掛ければ -2 > -5 となることを、具体例として覚えておけます。等号が付くかどうかは、向きが逆になっても変わりません。

「かつ」は条件の共通部分、「または」は少なくとも一方を満たす部分です。区間の境界が同じでも、一方がその点を除けば共通部分もその点を除きます。数直線の境界は、含む場合に塗りつぶし、含まない場合に白抜きにします。図1の中心2に置いた白い丸は距離の基準を示す目印で、除外する境界ではありません。2も -1 ≤ x ≤ 5 に含まれます。

基本例題：二つの条件の重なり

実数 x が |x − 1| ≤ 4 と 3 − 2x < 5 をともに満たすとき、x の範囲を不等号で表してください。端点を含むかどうかも示します。

まず、絶対値の条件は「1 からの距離が 4 以下」です。左端と右端を求めると次のようになります。

1 − 4 = -3

1 + 4 = 5

よって -3 ≤ x ≤ 5 です。両端は距離がちょうど 4 なので含みます。次に、もう一方の条件を解きます。

3 − 2x < 5

-2x < 2　両辺から 3 を引きます。

x > -1　両辺を -2 で割り、不等号の向きを逆にします。

図2のように、この二つを別々の行に描いて重なりを見ます。-1 より右で、かつ 5 以下の部分が答えです。

答えは -1 < x ≤ 5 です。左端の -1 では 3 − 2x が 5 になり、5 未満という条件を満たしません。右端の 5 は絶対値が 4 で、もう一方も -7 < 5 となるので含みます。

範囲の内側の 0 も元に戻すと、|0 − 1| = 1 ≤ 4、3 − 2 × 0 = 3 < 5 です。範囲外の -2 は最初の条件を満たしますが、二つ目は 7 < 5 となって成り立ちません。5 より右の 6 では絶対値が 5 となり最初の条件から外れます。点をいくつか試す確認は向きの誤りを探す助けになりますが、全実数についての証明は上の不等式の変形と共通部分の読み取りで行います。

少し難しい例題：符号で場合を分ける

実数 x について、|x − 2| < x + 2 を解き、範囲を不等号で表してください。絶対値の中身 x − 2 の符号が変わる 2 を境に分けます。

x ≥ 2 の場合、|x − 2| = x − 2 です。元の式は x − 2 < x + 2 となり、両辺から x を引くと -2 < 2 です。これは常に成り立つので、この場合の解は x ≥ 2 です。

x < 2 の場合、|x − 2| = -(x − 2) = -x + 2 です。したがって次のように解きます。

-x + 2 < x + 2

-2x < 0

x > 0

最後に -2 で割るため向きが逆です。この結果と、場合分けの条件 x < 2 を両方満たすのは 0 < x < 2 です。場合分けの条件を忘れて x > 0 のまま扱うと、どの部分がこの計算で得られたか見失います。

二つの場合を合わせると、0 < x < 2 または x ≥ 2 なので、答えは x > 0 です。境界の 2 は前者には入りませんが後者には入ります。0 を代入すると 2 < 2 となり成り立たず、正の値 1 では 1 < 3、2 では 0 < 4 が成り立ちます。負の値では左側が正で右側との差が条件を満たしません。各場合の変形は同値なので、示した範囲以外に解がないことも確認できます。

右辺が x を含むとき、固定された距離の範囲の公式をそのまま使う前に注意が必要です。右辺が正でなければ、負にならない左辺がそれより小さくなることはありません。この例では場合分けによって、その条件も含めて調べています。計算の後には、分けた範囲と結果の共通部分を取り、最後に各場合を合わせます。

誤答から戻る場所を探す

3 − 2x < 5 を解く途中で -2x < 2 とした後、誤って x < -1 と書いたとします。原因は、負の数 -2 で割る際に大小の順序が逆になることを落とした点です。図3のように、正しい範囲は -1 の右側です。

修正後は x > -1 です。実際に 0 を元の式へ戻すと 3 < 5 で成り立ちます。誤答が含む -2 では 7 < 5 となり成り立ちません。境界の -1 では両辺が等しくなるため、厳密な不等号の条件には入りません。

もう一つの誤りは |x − 2| ≤ 3 を x ≤ 5 とだけすることです。右端は合っていますが、左側に距離が 3 を超える数が含まれます。例えば x = -2 では距離が 4 です。中心 2 から左右へ 3 進み、-1 ≤ x ≤ 5 と直します。両端の距離がそれぞれ 3 であることも確認します。

共通部分では、線を重ねた後の端点も見直します。x ≥ 1 と x < 1 なら重なりはありません。x ≥ 1 と x ≤ 1 なら 1 が両方に入るため、解は x = 1 です。境界が一致したときに機械的に「解なし」と決めず、その点を元の条件に代入します。

練習問題

次の問題は実数 x について解き、答えを不等号または等式で表してください。解がない場合は「解なし」と書きます。問題を先に解いてから、後の解答と比べてください。

1. |x + 3| < 2 を解いてください。
2. 5x − 4 ≥ 6 と 7 − 3x > -2 をともに満たす範囲を求めてください。
3. |x − 4| ≥ 2 と x < 6 をともに満たす範囲を求めてください。
4. |x + 1| ≤ x − 1 を解いてください。

練習問題の答えと解き方

1. 答えは -5 < x < -1 です。|x + 3| は -3 からの距離なので、両端は -3 − 2 = -5、-3 + 2 = -1 です。距離が 2 未満なので端は含みません。例えば -3 では距離が 0 で条件を満たし、両端では距離が 2 となって条件を満たしません。区間外では距離が 2 以上になるため、ほかに解はありません。

2. 答えは 2 ≤ x < 3 です。最初の式から 5x ≥ 10、したがって x ≥ 2 です。次の式は -3x > -9 となり、負の数で割って x < 3 です。両方を満たす部分を取ります。2 を戻すと左の式は 6 ≥ 6、右の式は 1 > -2 で、端点 2 は含まれます。3 では二つ目が -2 > -2 となり成り立たないので、右端は含みません。

3. 答えは x ≤ 2 です。4 からの距離が 2 以上なので、最初の条件は x ≤ 2 または x ≥ 6 です。これと x < 6 を重ねると、右側は境界 6 も含めて残りません。x = 2 では距離が 2、かつ 2 < 6 なので含みます。x = 6 は距離の条件を満たしますが、もう一方が成り立ちません。残った左側は距離が 2 以上で、6 未満でもあります。

4. 答えは解なしです。x ≥ -1 なら左辺は x + 1 ですから、x + 1 ≤ x − 1 は 1 ≤ -1 となり成り立ちません。x < -1 なら左辺は -x − 1 なので、-x − 1 ≤ x − 1、すなわち -2x ≤ 0 です。負の数で割ると x ≥ 0 ですが、場合の条件 x < -1 と重なりません。境界 -1 でも 0 ≤ -2 は成り立ちません。二つの場合が実数の範囲を尽くしているため、解が残らないことがわかります。

境界から式を点検する

数直線に答えを描いた後、境界を含むかどうかは元の式で直接調べられます。例えば |x − 5| < 2 なら境界は 3 と 7 です。どちらも代入すると距離が 2 になり、「2 未満」を満たしません。境界の間にある 5 では距離が 0 なので条件を満たします。逆に外側の 2 や 8 では距離が 3 です。このように境界、内側、外側を比べると、中央を選ぶのか外側を選ぶのかを点検できます。

不等号の等号を変えた |x − 5| ≥ 2 では、3 と 7 が条件を満たします。3 より左と 7 より右も条件を満たすため、答えは x ≤ 3 または x ≥ 7 です。真ん中の 5 は距離が 0 なので入りません。境界が同じでも、不等号が変わると残す範囲と端点の扱いが変わります。

一次不等式の整理でも、負の数で割る前後を別の行に書きます。例えば 8 − 4x ≥ 0 なら、-4x ≥ -8、次に x ≤ 2 です。2 では左辺が 0 になり、等号を含む条件を満たします。1 では左辺が 4、3 では -4 なので、境界の左右の向きも確かめられます。負の数を足しただけの行では向きは変わらず、負の数で割った行で変わる点を区別します。

共通部分を図にするときは、一つ目の条件を描いた線と二つ目の条件を描いた線を別の高さに置きます。重なる横位置だけを最後の行に写せば、どちらか一方だけを満たす部分を誤って残しにくくなります。白抜きと塗りつぶしが重なる境界では、白抜きの条件を満たさないため、その点を共通部分に入れません。端点が離れていて重ならない場合は、無理に区間を作らず解なしと書きます。

答えの書き方を整える

範囲を -2 < x ≤ 4 と書けば、左端を含まず右端を含む連続した部分を表せます。二つの外側の範囲は一つの連続した区間ではないので、x < -2 または x > 4 のように分けます。「かつ」と「または」の取り違えを防ぐため、それぞれの条件を満たす点を数直線上で指してから言葉を選びます。

解が x = 1 の一つに限られるときは、不等号で長い範囲を書く必要はありません。解なしの場合も、0 と書くと数 0 が解であるという意味になってしまいます。元の条件に 0 を入れた結果と、解が存在するかどうかは別の判断です。答えの形まで含めて、条件に合う数を正確に伝えます。

覚えておくこと

• 絶対値は数直線上の距離です。
• 負の数で不等式を割ると、不等号の向きは逆になります。
• 「かつ」は共通部分、「または」は各範囲を合わせます。
• 端点を含むか、元の条件に戻して調べます。

つまずきの見分け方

個別に途中式を確かめるときは、答えの行からさかのぼります。端点は合うのに範囲が逆なら、負の係数で割った行を見ます。境界の一方が抜けたなら、絶対値を距離として描いた数直線に戻ります。場合分けの答えが広すぎるときは、各場合の条件と計算結果を重ねた行を探します。

お子さまが答えを説明する際には、境界の値とその両側の値を元の式に入れ、どこで条件が変わるかを言葉にすると、計算と図の対応が見えます。境界に立ち戻れば、範囲の向きと端点の扱いを自分で確かめられます。