共通テスト地学基礎の地震波｜走時曲線から震源までの距離と発震時を読む｜武蔵野個別指導塾

P波とS波の到着時刻の差から距離を求め、発震時刻へ戻す手順を、一定速度の走時曲線で地震波を読み解きます。

よくあるのは、到着時刻をそのまま伝わる時間にした答案を見直す場面です。時計に表示された時刻には、地震が起きる前からの時間も含まれています。波が進んだ時間を知るには、発震時刻を引かなければなりません。発震時刻が未知でも、同じ地点に届く2種類の波の時刻の差なら、共通する発震時刻が消えます。そこから距離を求め、時計の時刻へ戻る道筋をたどります。

まず資料の基準を読む

地震波の資料では、同じ数字でも軸や見出しによって役割が変わります。例えば「12秒」は、地震発生から到着までの時間にも、ある基準時刻から測った到着時刻にもなりえます。読み始めに横軸と縦軸の名前、単位、時刻の基準を書き出すと、後の計算で混ざりにくくなります。

型の1つは、同じ観測点のP波とS波の到着時刻から初期微動継続時間を求め、走時曲線を使って震源距離を読むものです。もう1つは、距離と波の速さから伝わる時間を計算し、到着時刻から発震時刻を求めるものです。さらに複数の観測点を並べ、同じ地震に対する時刻の差や距離の関係を検討する型もあります。どの型でも、観測点をまたいで異なる行の到着時刻を引かないことが出発点です。

以下の数値や観測表は学習のための自作資料です。各問題では、震源から観測点までの経路上でそれぞれの波が一定の速さで進むとします。実際の地下の速さは場所によって変わりうるため、この直線のモデルをそのまま実際の観測に当てはめるとは限りません。ここでの距離は震源から観測点までの距離であり、地表上の震央からの距離とは区別します。

2つの到着と走時の関係

地震が発生した場所を震源といいます。P波は縦波で、進行方向に沿って物質が振動します。S波は横波で、進行方向に垂直な向きに物質が振動します。通常、同じ経路ではP波の方がS波より速く、先に到着します。先に始まる小さな揺れを初期微動、その後の大きな揺れを主要動と呼びます。P波の到着からS波の到着までが初期微動継続時間です。

図1のように、同じ発震時刻からP波とS波が出発します。P波が届いてからS波が届くまでの間隔は、2つの到着時刻の差であり、同時に2つの伝わる時間の差です。時計の表示が何時何分であっても、同じ発震時刻が両方に加わるためです。

図1では横方向が時刻の進む向きです。P波が進む時間とS波が進む時間は、どちらも発震時を始点にして測ります。到着時刻そのものを進む時間と読み替えると、始点が時計の基準にずれます。差を取るときに同じ観測点の2つを選ぶのは、距離が共通であることを保証するためです。

走時とは、波が震源を出て観測点に届くまでの時間です。走時曲線は距離と走時の関係を示します。このモデルでは距離を横軸、走時を縦軸にすると、どちらも原点を通る直線です。速さが一定なら走時は距離を速さで割った値になり、遅いS波の直線の方が傾きは大きくなります。同じ距離における2本の縦の間隔が初期微動継続時間です。縦軸が時計の到着時刻の図なら、2本は発震時刻から始まり、原点を通るとは限りません。

距離を d km、P波の速さを p km/s、S波の速さを s km/s とすると、P波の走時は d/p 秒、S波の走時は d/s 秒です。初期微動継続時間を t 秒とすれば、t = d/s − d/p です。速さが同じ場所で一定という条件を使っている式です。単位も km を km/s で割るので秒になります。S波が遅い条件では右辺は正になり、距離が長くなるほど差も大きくなります。

走時曲線から値を選ぶ際は、目盛りの間隔も確認します。1目盛りが何 km、何秒に当たるかを先に読み、必要なら補助線を引きます。2本の線が交わる原点は、このモデルでは震源からの距離も走時も0である点です。観測点の距離が0という条件を与えられた場合を除き、原点を到着時刻として読むことはできません。グラフが曲線の場合も、同じ距離で2つの走時を読む考え方は使えますが、一定速度の式をそのまま使えるとは限りません。

例題1　2本の直線から距離を選ぶ

ある地震について、P波は毎秒6 km、S波は毎秒3 kmで一定の速さで伝わります。観測点AではP波が10時00分20秒に、S波が10時00分30秒に到着しました。震源からAまでの距離を整数の km で、発震時刻を秒まで求めてください。図2はこの条件の走時曲線です。

図2の横軸は震源距離、縦軸は発震からの走時です。まず到着時刻の差を取り、30 − 20 = 10 秒とします。分をまたいでいないので、秒の部分をそのまま引けます。これはP波の走時ではなく、S波とP波の走時の差です。

図2では距離60 kmの位置でP波が10秒、S波が20秒です。縦の差が20 − 10 = 10秒なので、求める距離は60 kmです。目盛りを使った読み取りと、次の式の両方で確認します。

距離を d km とすると、S波の走時は d/3 秒、P波の走時は d/6 秒です。よって、

d/3 − d/6 = 10

d/6 = 10

d = 60 km

となります。P波が進んだ時間は 60/6 = 10 秒です。発震時刻はP波到着の10時00分20秒から10秒戻した10時00分10秒です。S波では 60/3 = 20 秒を10時00分30秒から戻しても、同じ10時00分10秒になります。

元の場面へ戻してみます。10時00分10秒に出たP波は10秒後、S波は20秒後に到着するので、与えられた2つの時刻を再現します。距離だけが合っていても、走時を到着時刻に足すと発震時刻は未来になってしまいます。図2の縦の間隔で距離を決めた後、発震から到着へ時間が進む向きを確かめます。

例題2　分をまたぐ時刻と複数地点

別の地震で、P波の速さは毎秒8 km、S波の速さは毎秒4 kmで一定です。観測点BのP波到着は14時07分58秒、S波到着は14時08分04秒でした。観測点CのP波到着は14時08分01秒です。震源からBとCまでの距離をそれぞれ整数の km で、発震時刻を秒まで求めてください。2地点は同じ地震を観測しています。

Bの初期微動継続時間は、分をまたぐので 60 − 58 + 4 = 6 秒です。秒の部分を 4 − 58 とするのではなく、分の繰り上がりを含めます。Bまでの距離を b km とすると、

b/4 − b/8 = 6

b/8 = 6

b = 48 km

です。BへのP波の走時は 48/8 = 6 秒なので、発震時刻は14時07分52秒です。CへのP波の走時は14時07分52秒から14時08分01秒までの9秒です。したがってCまでの距離は 8 × 9 = 72 km です。

確認として、BへはP波が6秒、S波が12秒かかるため、発震時刻からそれぞれ進めると14時07分58秒と14時08分04秒になります。CへはP波が 72/8 = 9 秒かかり、14時08分01秒に戻ります。CのS波の到着は与えられていませんが、同じモデルなら18秒後の14時08分10秒と予測できます。

ここでの分かれ目は、Bでは同一地点の2波の差を使い、Cでは判明した発震時刻とP波の到着時刻との差を使う点です。BのS波とCのP波を引いても、異なる距離の走時が混じるので、どちらかの初期微動継続時間にはなりません。また、CでP波しか記録されていない状態でも、発震時刻とP波の速さがわかれば距離は決まります。逆に発震時刻も距離も不明で、1地点のP波到着時刻しかないなら、その情報だけでは両方を決められません。

誤答の場所を図で戻す

図3のように、例題1で10時00分20秒というP波の到着時刻から、秒の部分の20を走時として使う誤りを考えます。毎秒6 kmに20秒を掛けると120 kmになりますが、20秒は10時00分00秒を基準とした表示であり、発震からの経過時間ではありません。

原因は時間の始点を記さずに計算したことです。修正するときはまず同じ地点の到着時刻差10秒で距離を決めます。その距離をP波の速さで割ると走時は10秒となり、到着時刻から10秒戻して発震時刻を得ます。図3の矢印は、時計の時刻と経過時間を区別する順序を示しています。

別の誤りは、初期微動継続時間10秒をP波の走時と決めてしまうことです。例題1ではたまたま両者が10秒ですが、これは与えた2つの速さの関係による偶然です。一般には差 d/s − d/p とP波の走時 d/p は別の量です。速さの値を変えた問題でも成立するかを式で確かめると、偶然の一致を公式として覚えずに済みます。

グラフでは、2本の線の横方向の間隔を読む誤りもあります。一定の距離に到着する2波の時間差は、距離を固定した縦方向の間隔です。縦軸が走時か到着時刻かを確認し、同じ横座標の2点を選びます。逆に同じ走時で2本の横座標を比べれば、それは同じ時間に各波が進んだ距離の差であり、初期微動継続時間ではありません。

自分で試す4問

次の資料も自作です。各地震について、それぞれ指定した一定速度を用い、距離は震源から観測点までとします。時刻は同じ時計で測られています。答えは問題をまとめた後に置きます。

1. P波が毎秒5 km、S波が毎秒2.5 kmで伝わります。観測点DではP波が09時12分16秒、S波が09時12分24秒に到着しました。初期微動継続時間を整数の秒で、震源距離を整数の km で、発震時刻を秒まで求めてください。
2. P波が毎秒6 km、S波が毎秒4 kmで伝わります。観測点Eは震源から120 kmです。発震時刻が11時20分45秒のとき、2波の到着時刻をそれぞれ秒まで求めてください。初期微動継続時間も整数の秒で求めてください。
3. P波が毎秒9 km、S波が毎秒6 kmで伝わります。観測点Fの初期微動継続時間は5秒でした。震源距離を整数の km で求め、P波とS波の走時をそれぞれ整数の秒で示してください。
4. 同じ地震について、観測点GのP波到着は16時00分12秒、S波到着は16時00分20秒、観測点HのP波到着は16時00分15秒です。P波が毎秒4 km、S波が毎秒2 kmで一定なら、Hまでの距離を整数の km で求めてください。また、HのS波到着時刻を秒まで求めてください。

解答と確かめ

1. 差は 24 − 16 = 8 秒です。距離を x km とすると x/2.5 − x/5 = 8、つまり x/5 = 8 なので40 kmです。P波の走時は 40/5 = 8 秒、発震は09時12分08秒です。S波の走時は 40/2.5 = 16 秒なので、発震から進めると両到着時刻に戻ります。

2. P波の走時は 120/6 = 20 秒、S波の走時は 120/4 = 30 秒です。発震から進めるとP波は11時21分05秒、S波は11時21分15秒です。到着の差は10秒です。両時刻からそれぞれの走時を戻すと11時20分45秒になり、距離も速さと走時の積で120 kmに戻ります。

3. 距離を y km とすると y/6 − y/9 = 5 です。通分すると y/18 = 5 より90 kmです。P波の走時は 90/9 = 10 秒、S波の走時は 90/6 = 15 秒です。差は 15 − 10 = 5 秒となり、与えられた継続時間を再現します。

4. Gの差は 20 − 12 = 8 秒です。Gまでの距離を z km とすると z/2 − z/4 = 8、z = 32 kmです。GへのP波の走時は8秒なので、発震時刻は16時00分04秒です。HへのP波の走時は11秒、距離は 4 × 11 = 44 kmです。HへのS波の走時は 44/2 = 22 秒なので、到着は16時00分26秒です。Gでは発震から8秒後と16秒後に与えられた2波が届き、Hでも11秒後にP波が届くことを確かめられます。

手元に残す要点

• 初期微動継続時間は同じ地点のS波とP波の到着時刻の差です。
• 一定速度では走時は震源距離を各波の速さで割って求めます。
• 走時曲線の同じ距離での縦の差を使い、距離を読みます。
• 発震時刻は到着時刻からその波の走時を戻して求めます。
• 求めた発震時刻から両波を進め、元の到着時刻に戻します。

式は合っているのに時刻が合わない場合は、分をまたぐ引き算と、走時の始点を先に見直します。距離が合わない場合は、同じ地点の2波を選んだか、グラフの縦軸が走時か到着時刻かを確認します。個別指導で答案を確かめるときは、到着時刻の横に発震時刻を書き、そこから何秒進んだかを矢印で説明してもらうと、時刻と経過時間の取り違えを見分けられます。答えを元の観測に戻す操作が、震源距離と発震時刻を結びます。