共通テスト物理基礎の熱量と熱平衡｜混合後の温度を熱の収支で確かめる｜武蔵野個別指導塾

水と容器が受け取る熱量を分け、混合後の温度を範囲と収支から読む鍵は熱平衡です。

よくあるのは、水だけの熱量で容器の温度を計算した答案を見直す場面です。温かい水を冷たい水の入った容器に注ぐと、冷たい水だけでなく容器も温まります。水の温度変化だけで式を閉じると、容器が受け取る分が抜けてしまいます。まず熱をやり取りする物体を数え、どれが温まり、どれが冷えるかを書き出しましょう。

温度を求める前に資料を分ける

熱量と熱平衡の問題には、いくつかの読み方があります。1つ目は、温度の異なる2つの物体を接触させ、外部との熱の出入りを無視して共通の温度を求める型です。最初と最後の温度の差をそれぞれの物体について作ります。

2つ目は、容器の熱容量が示された型です。容器と中身が初めから同じ温度でも、両者の熱容量は別に数えます。熱容量の小さい容器なら影響も小さくなりますが、問題が無視すると指定しない限り、勝手に0にはできません。

3つ目は、混合後の温度から未知の熱容量や、外に逃げた熱量を求める型です。表の温度が初めの値なのか、混合して十分時間がたった後の値なのかを読み分けます。外部との熱の出入りがあるなら、その分を式に含めます。ここでの数値や表は、考え方を確かめるための自作条件です。

温度差と熱容量の役割

物体の質量を m、比熱を c、温度の変化を ΔT とすると、相変化がなく比熱を一定とみなせる範囲で、受け取った熱量は Q = mcΔT です。質量を g、比熱を J/(g・℃)、温度差を ℃ で表すと、積の単位は J です。比熱は、単位質量の物体の温度を1 ℃上げるために必要な熱量です。

熱容量 C は、物体全体の温度を1 ℃上げるのに必要な熱量で、単位は J/℃ です。同じ材質でも質量が違えば熱容量は変わります。比熱と質量が与えられた物体なら C = mc です。容器の熱容量が直接与えられた場合、さらに容器の質量を掛ける必要はありません。

図1のように、温かい側が失う熱量と冷たい側が得る熱量を、物体ごとに分けて考えます。十分に時間がたち、接触した部分の温度が共通になった状態を熱平衡と呼びます。図1の容器は初めに冷たい水と同温ですから、容器も冷たい水とともに温まります。

外部との熱の出入りを無視し、混合や蒸発などによる他の変化も考えないなら、失った熱量の合計と得た熱量の合計は等しくなります。温度差には符号を付ける方法と、失う量・得る量をそれぞれ正の大きさで書く方法があります。後者なら、冷える側は「初温 − 最終温度」、温まる側は「最終温度 − 初温」です。

熱量と温度は同じものではありません。温度が10 ℃上がる物体でも、熱容量が大きいほど多くの熱を受け取っています。また、熱容量は温度ではなく物体の性質と量をまとめた値です。式に代入する前に J/℃ と ℃ の掛け算が J になるか確かめると、熱容量と比熱を取り違えた箇所を見つけやすくなります。

水と容器が温まる基本例

【問題】熱容量が20 J/℃の容器に、20 ℃の水100 gが入っています。ここへ60 ℃の水100 gを注ぎ、十分に混ぜると全体が同じ温度になりました。水の比熱を4.0 J/(g・℃)とし、容器の初温は水と同じ20 ℃、外部との熱の出入りは無視します。水の状態変化はなく、比熱は一定です。平衡温度を ℃ 単位の正確な分数で求めてください。

図2のように、60 ℃の水は冷え、20 ℃の水と容器は温まります。未知の平衡温度を T ℃ とすると、初温の間にあるはずなので 20 < T < 60 です。初温が異なる物体どうしで外部との熱の出入りがないため、一方の端の温度のままでは双方の熱量がつり合いません。

温水と冷水の熱容量はそれぞれ、100 g × 4.0 J/(g・℃) = 400 J/℃ です。温水が失う熱量は、温度の下がり幅を使って 400(60 − T) J です。冷水が得る熱量は 400(T − 20) J、容器が得る熱量は 20(T − 20) J です。

外へ熱が逃げないので、失う熱量と得る熱量を等しく置きます。

400(60 − T) = 400(T − 20) + 20(T − 20)

24000 − 400T = 420T − 8400

32400 = 820T

T = 1620/41 ℃

この値は 20 ℃と60 ℃の間です。両辺に熱容量と温度差を掛けた項が並び、単位はどれも J です。温度差が等しい水だけの平均ではなく、容器の吸熱も含むため、40 ℃より低くなります。

答えを元の場面へ戻します。温水の温度低下は 60 − 1620/41 = 840/41 ℃、冷水と容器の温度上昇は 1620/41 − 20 = 800/41 ℃です。温水の放出は 400 × 840/41 = 336000/41 J、冷水と容器の吸収は 420 × 800/41 = 336000/41 J です。範囲と収支の両方が条件に合います。

容器の初温が違うときの分かれ目

【問題】ある容器の熱容量は100 J/℃で、初温は50 ℃です。これに10 ℃の水100 gと70 ℃の水100 gを入れて混ぜたところ、十分後に全体が同じ温度になりました。水の比熱は4.0 J/(g・℃)で一定、状態変化と外部との熱の出入りは無視します。平衡温度を ℃ 単位の正確な分数で求め、容器が熱を得るか失うかも答えてください。

冷水と温水の熱容量はそれぞれ400 J/℃です。容器の初温50 ℃が水の初温の間にあるため、容器を最初から温まる側と決めることはできません。そこで、各物体の「最終温度 − 初温」を符号付きで使い、全体が受け取る熱量の和を0とします。

400(T − 10) + 400(T − 70) + 100(T − 50) = 0

900T − 37000 = 0

T = 370/9 ℃

370/9 は10より大きく50より小さいので、冷水は熱を得て、温水と容器は熱を失います。符号付きの容器の項 100(T − 50) は負になり、容器から熱が出たことを表します。正の大きさで書き直すなら、温水と容器の放出の和が冷水の吸収に等しくなります。

戻して計算すると、冷水の吸収は 400 × 280/9 = 112000/9 J です。温水の放出は 400 × 260/9 = 104000/9 J、容器の放出は 100 × 80/9 = 8000/9 J です。放出の合計は 112000/9 J で一致します。初めに容器の向きを仮定した場合も、解が仮定と逆なら向きを直して式と説明を点検してください。

この方法で求めた温度が、最も低い初温より低い、または最も高い初温より高い場合は、まず符号や転記を見直します。外から熱が供給されたり、外へ熱が逃げたりする条件なら、その範囲に収まるとは限りません。範囲の判定は、外部との出入りがないという前提と結び付けて使います。

容器を落とした式を直す

図3のように、基本例で水の熱容量だけを等しいとして 400(60 − T) = 400(T − 20) と書くと、40 ℃になります。この式は温水の放出と冷水の吸収を等しくしていますが、20 ℃から温まる容器の吸収を含んでいません。容器が受け取る熱量を考えないという別の条件を解いたことになります。

40 ℃を元の条件に戻すと、温水の放出は 400 × 20 = 8000 J、冷水の吸収も8000 Jです。しかし容器はさらに 20 × 20 = 400 Jを吸収します。吸収の合計8400 Jは放出8000 Jと一致しません。図3の修正のように容器の項を右辺に加え、もう一度解きます。

別の誤りは、冷水の温度差を 20 − T として、正の吸熱量として加えることです。温まると T − 20 が正です。差の向きが不安なら、仮に T が30 ℃のときを考え、上昇幅が10 ℃となる順を選びます。符号付きの和を0にする方法でも正負の意味を最後に確認します。

さらに、100 gの水の熱容量を 4.0 J/℃ とする誤りもあります。4.0 は1 gあたりの比熱なので、100 g分にするには質量を掛けます。逆に、すでに物体全体について示された容器の20 J/℃に質量を再度掛けると、単位も合いません。数字の前に量の名前と単位を書くことが修正の出発点です。

温度が範囲内でも残る確認

初温の間に答えが入ることは必要な点検ですが、それだけで正解とは決まりません。基本例で容器を抜いて出した40 ℃も、20 ℃と60 ℃の間にあります。それでも容器の吸熱400 Jが余分になるため、元の条件には合いません。範囲で大きな異常を見つけた後、各物体の熱量を計算し直して収支を見る必要があります。

逆に、実測値が範囲に入っていても、外部との熱の出入りを無視できる証拠にはなりません。外へ逃げた熱の大きさを問うときは、温水の放出を冷水の吸収と損失に分けます。失った熱を二重に数えず、問題文の条件に従って収支の相手先を決めましょう。

確かめる問題

次の4問は互いに独立した自作問題です。各問で水の状態変化はなく、比熱は一定とします。答えは問題を読んだ後にまとめて確認してください。

1. 15 ℃の水50 gと75 ℃の水150 gを、熱容量を無視できる容器で混ぜます。水の比熱は4.0 J/(g・℃)、外部との熱の出入りは無視します。平衡温度を ℃ 単位の整数で求めてください。
2. 熱容量が60 J/℃の容器に25 ℃の水100 gがあります。65 ℃の水100 gを加えて混ぜます。容器の初温は25 ℃、水の比熱は4.0 J/(g・℃)、外部との熱の出入りは無視します。平衡温度を ℃ 単位の正確な分数で求めてください。
3. 熱容量が未知の容器に、初めから容器と同温の10 ℃の水100 gがあります。そこへ70 ℃の水100 gを加えて混ぜると、平衡温度は38 ℃でした。水の比熱は4.0 J/(g・℃)、外部との熱の出入りは無視します。容器の熱容量を J/℃ 単位の正確な分数で求めてください。
4. 熱容量を無視できる容器で、80 ℃の水100 gと20 ℃の水100 gを混ぜたところ、平衡温度は45 ℃でした。水の比熱は4.0 J/(g・℃)です。外部へ逃げた熱量以外の熱の出入りはなく、その熱量を J 単位の整数で求めてください。

確かめる問題の解答

1. 冷水の熱容量は200 J/℃、温水の熱容量は600 J/℃です。平衡温度を T ℃として 600(75 − T) = 200(T − 15)、よって 48000 = 800T、T = 60 ℃です。15 ℃と75 ℃の間にあります。温水の放出は600 × 15 = 9000 J、冷水の吸収は200 × 45 = 9000 Jで、元の条件に戻ります。

2. 温水が失う熱量は 400(65 − T) J、冷水と容器が得る熱量は 460(T − 25) Jです。400(65 − T) = 460(T − 25) から 37500 = 860T、T = 1875/43 ℃です。25 < 1875/43 < 65 です。温水の低下幅は920/43 ℃、冷水と容器の上昇幅は800/43 ℃なので、放出は368000/43 J、吸収も368000/43 Jとなります。

3. 容器の熱容量を C J/℃ とすると、温水の放出は 400(70 − 38) = 12800 Jです。冷水の吸収は 400(38 − 10) = 11200 Jです。残り1600 Jを28 ℃上がった容器が受け取るので、28C = 1600、C = 400/7 J/℃ です。戻すと容器の吸収は (400/7) × 28 = 1600 Jで、水と容器の吸収の合計は温水の放出に一致します。

4. 温水の放出は 400(80 − 45) = 14000 J、冷水の吸収は 400(45 − 20) = 10000 Jです。外部へ逃げた熱量を L J とすると、14000 = 10000 + L なので L = 4000 Jです。冷水への10000 Jと外部への4000 Jを合わせると放出14000 Jに戻ります。外部への損失を無視する式を使うと、観測条件と一致しません。

手元に残す要点

• 熱容量と温度差の積が、各物体の熱量です。
• 外部との出入りがなければ、放出と吸収の合計を等しくします。
• 容器の初温と熱容量も確認します。
• 答えを温度範囲と元の熱量の収支へ戻します。

答案のどこで立ち止まるか

式が立たないときは、先に温度を計算しようとせず、物体ごとに初温と熱容量を書き並べます。個別指導で確かめるなら、容器の行があるか、温度差の順序を言葉で説明できるかを見ると、読み落としと符号の迷いを区別できます。式が合っていても答えが合わない場合は、展開後の係数と単位を追います。

答えだけが合ったときも、外部との熱の出入りを無視できる条件を指さして確認します。異なる初温の容器では、計算後にその容器が熱を得たか失ったかも確かめます。熱平衡の温度は、参加した物体の熱量を元の場面に戻すことで検証できます。