共通テスト物理基礎の仕事とエネルギー｜高さと速さの条件から式を立てる｜武蔵野個別指導塾

滑り台の高さと速さを往復し、摩擦がある区間の停止位置まで仕事を追う。

よくあるのは、滑り台の下で求めた速さを、出発点の高さへ戻して確かめる復習の場面です。途中の式で高さの基準を変えたり、摩擦の仕事を正にしたりすると、計算結果は出ても元の高さに戻りません。どの物体に着目し、どの区間で何が仕事をするかを書いてから、エネルギーの収支をたどりましょう。

高さ、速さ、止まる場所を結ぶ

資料を読むときは、まず始点と終点を決めます。高さと速さが示された2点を比べ、摩擦を無視できるかどうかを条件から探します。力学的エネルギーの値が等しいと置いてよいかは、図の形だけで決まりません。

出方の1つは、なめらかな斜面で高さの減少から速さを求める型です。重力による位置エネルギーの減少が運動エネルギーの増加に対応します。速さから高さへ逆に戻すと、平方した速さや高さの差を取り違えていないか確かめられます。

もう1つは、粗い水平面で摩擦力と移動距離から停止位置を求める型です。水平面では高さが変わらないため、失われる運動エネルギーと摩擦の負の仕事を対応させます。さらに、なめらかな部分と粗い部分をつないだ資料では、境目の速さを求めてから区間を分けるか、全体の収支を一度に書くかを選べます。

どの型でも、計算の前に「始めに何があり、終わりに何が残るか」を言葉にします。たとえば静止から出発して別の場所で止まるなら、両端の運動エネルギーは0です。しかし途中でも速さが0とは限りません。出発点と停止点の高さが同じでも、摩擦が仕事をするなら、ほかの力の仕事などを考えずにその運動が成立するとは限りません。

基準面と仕事の符号を決める

質量を m、重力加速度の大きさを g、基準面からの高さを h、速さを v とすると、重力による位置エネルギーは mgh、運動エネルギーは mv²/2 です。どちらも単位は J です。位置エネルギーの基準面は選べますが、同じ収支の両端では同じ面を使います。基準面より下の高さを負にしても、2点間の位置エネルギーの差は変わりません。

図1のように、始点と終点を同じ基準面から測ります。物体が高さ hA から hB に移ると、重力の仕事は mg(hA − hB) です。下がると正、上がると負になります。重力は鉛直下向きなので、移動の水平成分は重力の仕事に寄与しません。経路の長さそのものではなく、高さの差を使います。

図1の基準面を別の高さに移しても、両方の高さに同じ量が加わるため、差 hA − hB は変わりません。一方で、片方だけ基準を変えると差が変わり、重力の仕事も誤ります。基準を選ぶ自由と、途中で勝手に変えてよいことは別です。

一定の力が移動方向と同じ向きなら、仕事は力の大きさと移動距離の積です。反対向きなら負の積です。滑っている物体に働く摩擦力は、その面に対する滑りと逆向きなので、一定の大きさ f の摩擦力を受けて距離 L だけ進むと、摩擦の仕事は -fL です。距離が2倍なら、条件が同じ区間で仕事の大きさも2倍です。

仕事と運動エネルギーの関係は「物体に働く力の仕事の合計 = 運動エネルギーの変化」です。重力の仕事を位置エネルギーの変化として左側に移せば、「終点の力学的エネルギー = 始点の力学的エネルギー + 重力以外の力の仕事」と書けます。面からの垂直抗力が移動に垂直なら、その仕事は0です。摩擦がなく、ほかに仕事をする力もなければ、力学的エネルギーは保存します。

摩擦があると、物体の力学的エネルギーは一般に減ります。減った分は物体や面の内部エネルギーなどに移るため、力学的エネルギーだけを両端で等しいと置けません。摩擦があるかどうかは、斜面か水平面かではなく、問題の条件と区間で判断します。

滑り台の下から高さへ戻す

次の数値は計算のために設けた条件です。質量 2 kg の小物体を、高さ 5 m の点Aから静かに滑らせます。滑り台はなめらかで、下端Bを位置エネルギーの基準面とします。空気抵抗は無視し、重力加速度の大きさを 10 m/s² とします。Bでの速さを、単位を付けて整数で求めてください。

図2のようにAとBを比べます。Aでは静かに出発するので速さは 0 m/s、Bでは基準面上なので高さは 0 m です。垂直抗力は移動方向に垂直で仕事をせず、摩擦と空気抵抗も無視します。したがってAとBの間で力学的エネルギーが保存します。

Aの位置エネルギーは 2 × 10 × 5 = 100 J です。Aの運動エネルギーは 0 J なので、Aの力学的エネルギーは 100 J です。Bでは位置エネルギーが 0 J ですから、Bの運動エネルギーは 100 J になります。Bの速さを v m/s とすると、

2 × v² / 2 = 100

v² = 100

速さは負にならないので、v = 10 m/s です。エネルギーの式からいったん速さの2乗が得られることに注意します。100 m/s としてしまうと、単位も元の式も合いません。

答えを高さに戻してみます。Bの速さ 10 m/s に対応する運動エネルギーは 2 × 10² / 2 = 100 J です。同じエネルギーを位置エネルギーとして持つ高さは 100 / (2 × 10) = 5 m で、出発点の条件に戻ります。これは実際に物体を逆向きに動かしたと仮定する必要はなく、両端のエネルギーの値を照合する検算です。

質量が式の両辺にあるため、この条件では質量を消して速さを求めることもできます。ただし、摩擦力の大きさが別に与えられた問題では、摩擦の仕事に質量が同じ形で含まれるとは限りません。先に質量を消すと、条件を落とすことがあります。

粗い区間に入った後の分かれ目

別の自作例を考えます。質量 2 kg の物体を高さ 3 m の点Pから静かに離します。Pから水平面の入口Qまではなめらかで、Qの高さを基準にします。Qから先は水平で粗く、滑っている物体には進行方向と逆向きに一定の摩擦力 4 N が働きます。空気抵抗を無視し、g = 10 m/s² とします。Qでの速さを根号を用いて、Qから止まるまでの距離を整数で、いずれも単位を付けて求めてください。粗い面は停止点まで続きます。

PからQでは摩擦がなく、垂直抗力も仕事をしないので、力学的エネルギーが保存します。Pでの位置エネルギーは 2 × 10 × 3 = 60 J、運動エネルギーは 0 J です。Qでは高さが0なので、2 × v² / 2 = 60、したがって v² = 60 です。速さは 2√15 m/s です。根号を含む答えは、2乗すると 60 になることと、速さが正であることを確かめます。

Qから停止点までの距離を L m とします。この区間では高さが変わらず、重力と垂直抗力の仕事は0です。Qで 60 J あった運動エネルギーは、停止点で 0 J です。摩擦の仕事は -4L J なので、0 = 60 − 4L、L = 15 m です。

答えを元の場面に戻すと、15 m の間に摩擦がする仕事は -4 × 15 = -60 J です。入口の 60 J と合わせると停止時は 0 J になります。また Q の速さ 2√15 m/s を2乗すると 60 m²/s² で、運動エネルギーは 60 J です。Pの位置エネルギーにも戻るので、2区間のつながりを両側から確かめられます。

分かれ目はQです。PからQには保存を使えますが、Qから先は摩擦の仕事を加えます。全体を一度に扱うなら、終点の0 J = 始点の60 J − 摩擦のした仕事の大きさ、という同じ収支です。もし粗い区間が途中で終わる条件なら、そこでの残りの運動エネルギーを計算し、次の区間の条件を読みます。粗い面の長さが不足するのに、その区間内で停止すると決めてはいけません。

誤答を力と区間へ戻す

図3のように、水平面を右向きに滑る物体には左向きの摩擦力が働きます。たとえば入口で 60 J の運動エネルギーを持つ物体に、4 N の摩擦力が 15 m 働くとき、「60 + 4 × 15 = 120 J」とする誤答があります。力の大きさと距離を掛けた後、仕事の符号を付け忘れたことが原因です。

図3では矢印を比べ、摩擦力が移動と逆向きだと確認します。仕事は -60 J と直し、終点の運動エネルギーを 60 − 60 = 0 J とします。力の大きさ 4 N 自体を負の値として扱うのではなく、向きを仕事の符号に反映させると整理しやすくなります。

別の誤りは、粗い区間にも保存則をそのまま適用して、始点と終点の力学的エネルギーを等しくすることです。摩擦の仕事を収支に入れると、両端の差が説明できます。逆に、重力の仕事を明示して運動エネルギーの変化を求めた上で、同じ重力による位置エネルギーの減少も足すと、重力を2回数えます。運動エネルギーの変化で書くか、位置エネルギーを含む収支で書くかを決め、同じ効果を重ねないようにします。

高さの読み違いも検算で見つかります。始点が基準面から 4 m、終点が 1 m の場合、落下した高さは 3 m です。始点の高さ 4 m をそのまま差に使うと、終点の位置エネルギーを残していないことになります。図に基準線を引いて両端の高さを記してから差を取ります。

条件を変えて試す4問

以下はすべて自作の条件です。空気抵抗は無視し、重力加速度の大きさは 10 m/s² とします。答えには単位を付け、整数で求めてください。

1. 質量 1 kg の物体を、なめらかな斜面の高さ 20 m の点から静かに離します。高さ 0 m の下端の速さは何 m/s ですか。
2. 質量 3 kg の物体が鉛直に 2 m 上がります。重力のした仕事は何 J ですか。符号も答えてください。
3. 水平な粗い床を滑る物体の運動エネルギーは、ある点で 48 J です。以後、運動と逆向きに一定の摩擦力 6 N を受けて停止します。その点から停止点まで何 m ですか。床は十分に長いものとします。
4. 質量 1 kg の物体を高さ 13 m の点から静かに離し、なめらかな道を下りて水平な粗い床に入れます。床の高さを基準面とし、床では進行方向と逆向きに一定の摩擦力 8 N が働きます。床に入ってから 10 m 進んだ点での速さは何 m/s ですか。床はその点まで続きます。

答えと場面への戻し方

1. 20 m/s です。出発点の位置エネルギーは 1 × 10 × 20 = 200 J です。下端では運動エネルギーが 200 J なので、v² / 2 = 200、v² = 400 です。速さを正に取り、v = 20 m/s です。戻すと 20² / 2 = 200 J で、200 / (1 × 10) = 20 m となり、出発の高さと一致します。

2. -60 J です。重力は下向きで移動は上向きなので仕事は負です。大きさは 3 × 10 × 2 = 60 J です。位置エネルギーは 60 J 増えるため、その増加の反対符号の -60 J が重力の仕事です。逆に -60 J から高さの増加を求めても、60 / (3 × 10) = 2 m と条件に戻ります。

3. 8 m です。水平なので重力と垂直抗力は仕事をせず、摩擦の仕事は -6L J です。0 = 48 − 6L より L = 8 m です。戻して -6 × 8 = -48 J とすると、初めの 48 J と合わせて停止時の 0 J になります。摩擦の仕事を正にすると、進むほど運動エネルギーが増える計算になり、停止条件と合いません。

4. 10 m/s です。出発点の位置エネルギーは 1 × 10 × 13 = 130 J です。床に入るまで保存し、床での摩擦の仕事は -8 × 10 = -80 J です。残る運動エネルギーは 50 J なので、v² / 2 = 50、v² = 100 から v = 10 m/s です。戻すと 10² / 2 + 8 × 10 = 130 J で、130 / (1 × 10) = 13 m と出発の高さに一致します。

手元に残す要点

基準面は両端でそろえ、高さの差を読む。 重力の仕事は下降で正、上昇で負です。 摩擦の仕事を含め、保存できる区間を分けます。 答えをエネルギーと元の高さや距離に戻して確かめます。

途中式からつまずきを見分ける

答えが合わないときは、最初から式を消す前に、始点と終点の高さ、速さ、作用する力を書き添えてみてください。高さの差が違うなら基準面の読み取り、仕事の符号が違うなら力と移動の向き、2乗の扱いが違うならエネルギーから速さへの変換に戻れます。

個別指導で確かめるなら、式の各項がどの時点のどの量を表すかを説明し、摩擦がある区間に印を付けます。最後に、求めた速さや距離を元の条件へ戻せるかを口頭でも確かめます。高さと速さの対応が取れれば、停止位置の判断にも同じ収支を使えます。