中2定期テスト 一次関数—範囲表の表とグラフを行き来して式の決め方を固める｜武蔵野個別指導塾

観察記録の空欄から変化の割合と切片を求め、二点や交点を表とグラフに戻して点検する一次関数の準備です。

よくあるのは、ワークではグラフがかけるのに表から式を作れないという場面です。座標を打って線を引く手は動いても、表のどの数を引き算し、式のどこに入れるのかがあいまいなままだと、空欄が増えた途端に止まってしまいます。範囲表と授業ノートを開き、直せなかったワークや小テストの表を横に置いてみましょう。提出欄を埋めたかどうかと、表から式をもう一度作れるかどうかは別の確認です。

観察記録の空欄を出発点にする

まず範囲表で一次関数が今回の範囲に入るかを確かめます。未習の内容は今回の準備から外し、授業で扱った表、グラフ、式のページやプリントを対応させます。範囲表に学期や単元の区切りがあれば、その記載も手元の資料と照らします。提出するワークの範囲は実際の指示に従い、記入済みの欄にも自力で説明できない箇所がないか印を付けます。

整理欄は「資料」「できなかった操作」「次の確認」の3列にすると使いやすくなります。例えば、授業ノートの観察記録には「隣り合わない2列から変化を求める」、ワークには「式の切片を求める」、小テストには「交点を両方の式に戻す」と書きます。自作の記録なので、実際の授業の記録とは分けて考えてください。自分の資料では、該当する問題の印や見出しを添えておくと戻りやすくなります。

誤答は、表の増減を計算する型、式やグラフに移す型、2本の直線の交点を求める型に分けます。表の値を逆に引いたのか、傾きと切片を取り違えたのか、交点の一方の式への代入を忘れたのかまで記録すると、次に直す場所が見えます。丸付けの後に正答を書き写して提出できても、元の欄を隠して再現できるとは限りません。間違えた途中を消さずに残し、その横に修正の理由を短く書いておきましょう。

表の差から式の役割を見る

a、bを定数とし、aが0でないときに y = ax + b と表せるxとyの関係を一次関数といいます。aは変化の割合で、グラフの直線の傾きです。bはxが0のときのyの値で、グラフがy軸と交わる位置の値、つまり切片です。記号の名前と式の形は覚えますが、表からaとbを選ぶ理由は、実際の数を使って説明できるようにします。

変化の割合は、yの増加量をxの増加量で割って求めます。xが増えるとyが減るとき、yの増加量は負の数です。差を取る順番をそろえれば、表を右から左へ見ても同じ割合になります。xが2から5へ変わり、yが7から1へ変わるなら、xの増加量は3、yの増加量は-6なので、割合は-6 ÷ 3 = -2です。xが1増えるごとにyが2減ることを表します。

図1のように、表で2組の値を選び、横の差と縦の差を同じ向きに取ります。式では割合をxの係数にし、残った切片を求めます。グラフでは右へ進む量と上下の移動が傾きを示します。3つの表し方が同じ関係を指しているか、1組ずつ対応させることが点検の鍵です。

図1の表ではxが0から2へ増える間、yは3から7へ増えます。割合は4 ÷ 2 = 2で、xが0の列から切片は3です。式は y = 2x + 3 となります。右へ2、上へ4の移動も同じ割合です。表にx = 0の列がなくても切片が存在しないわけではありません。わかっている1組を y = ax + b に代入してbを求めます。

基本例題：空欄と提出欄を埋める

次は計算練習のために作った観察記録です。ある量xと別の量yが一次関数の関係にあります。表の空欄を整数で埋め、yをxの式で表し、グラフにするための2点を座標で答えます。

提出欄には「変化の割合」「式」「空欄」「2点」の順に記入します。最初にわかっている2列を選びます。xは1から3へ2増え、yは4から10へ6増えます。したがって変化の割合は6 ÷ 2 = 3です。xが1増えるごとにyが3増えるという意味です。xの増加量を分母にすることと、両方とも左の列から右の列を引くことを確認します。

次に式を y = 3x + b と置きます。x = 1、y = 4を代入すると、4 = 3 × 1 + b です。よって b = 1、求める式は y = 3x + 1 です。x = 3、y = 10でも、10 = 3 × 3 + 1 となります。使った列とは別の列に戻すと、式が記録と合うかを点検できます。

空欄はx = 5を式に入れ、y = 3 × 5 + 1 = 16です。表の3から5へxが2増えるので、yも6増え、10から16になることでも確かめられます。提出欄には空欄を16と書きます。2点としては表の (1, 4) と (3, 10) を選べます。座標は横の値を先、縦の値を後に書き、各点を通る直線を引きます。

図2のように、表の各列とグラフ上の点を対応させます。直線は点を結ぶ線分に限らず、両方向へ延びるものとして扱います。x = 0ならy = 1なので、y軸との交点も (0, 1) です。図2で線がこの点を通ることも切片の確認になります。表の値を点に写すだけで終えず、点から表へも読み戻すと、軸の取り違えに気づけます。

表にある数が大きいときも、切片を表の最初のyの値として決めてはいけません。最初の列のxが0とは限らないからです。この例の最初のyは4ですが、そこにはxが1の分の増加が含まれます。4から3を引いて初めて、x = 0の値である1に戻ります。途中の式を残せば、この戻し方を提出前に追えます。

少し難しい例題：二点と交点を結ぶ

一次関数の直線Aは2点 (2, 5)、(6, -3) を通ります。直線Bは y = x − 1 です。Aの式と、AとBの交点の座標を整数または分数で求めます。これは計算のために作った条件です。表にすると、Aのxは2から6へ4増え、yは5から-3へ8減ります。

Aの変化の割合は (-3 − 5) ÷ (6 − 2) = -8 ÷ 4 = -2です。減少を表す負号を付けて、Aを y = -2x + b と置きます。点 (2, 5) を代入すると 5 = -2 × 2 + b なので、b = 9です。Aは y = -2x + 9 となります。もう一方の点でも -2 × 6 + 9 = -3 ですから、与えられた2点に戻ります。

交点では同じxに対する2つのyが等しくなります。そこで -2x + 9 = x − 1 と置き、両辺を整理して 10 = 3x、x = 10/3 を得ます。これをBに代入すると y = 10/3 − 1 = 7/3 です。交点は (10/3, 7/3) です。分数のまま正確に表します。

Aにも戻すと -2 × 10/3 + 9 = 7/3 です。どちらの直線でも同じ座標になるため、求めた点は交点です。グラフで位置をおおよそ読むことはできますが、分数の交点を目盛りだけで正確に決めるのは難しいことがあります。式で求め、図では2本の直線がその付近で交わるかを確かめると役割を分けられます。

2点から式を作る問題では、xの差が1でないときも割り算が必要です。また、交点を求める操作では、2つの式が同じ値になる条件を使います。傾きを求める引き算と交点の等式を混ぜず、それぞれの目的を欄の横に書くと、どの計算をしているか追いやすくなります。

間違いを残して修正する

基本例題の表を使い、変化の割合を (10 − 4) ÷ (3 − 1) = 3 と求めた後、式を y = 3x + 4 とした答案を考えます。4はx = 1のときのyであり、切片ではありません。実際にx = 1を代入するとy = 7となり、表の4に戻りません。計算が途中まで合っていても、表との照合で誤りが見つかります。

図3のように、誤った式を消さずに代入結果を横に書きます。その下に 4 = 3 × 1 + b、b = 1 と書き直し、正しい式 y = 3x + 1 にします。x = 3を入れて10に戻るかも確認します。正答の1だけを赤で書くのではなく、4から3を引いた理由を残すと、次にx = 0のない表が出ても使えます。

別の誤りとして、減少する表でyの差の符号を落とすことがあります。右へ進む向きにそろえて差を書き、yが減っているならその差が負になるかを見ます。交点でxを求めた後にその値を座標の両方に書いてしまう場合は、xを元の式に代入してyを求め直します。グラフの交点がおおよそどの位置にあるかも確かめ、座標の順番を点検します。

答えが合わないときは、まず表の列と座標の対応を調べます。次に差の向き、割る順番、切片の代入、交点への代入を順にたどります。途中が残っていれば、どこから直す必要があるかを絞れます。最初から全部を計算し直す前に、誤った行の直前に正しい根拠があるかを見つけてください。

表が横に並ぶとき、列ごとに1組の対応を読みます。たとえば片方の列のxと別の列のyを組にすると、元の関係とは異なる点を作ってしまいます。線が引けた後も、点の真下にあるxと真横にあるyを読み、同じ列に書かれているか確かめます。目盛りの間隔が横軸と縦軸で異なる図でも、それぞれの軸の数を読んでから差を計算します。見た目の角度だけで割合を決めないことが大切です。

また、表の値が途中で欠けている場合は、必ず隣の列を使う必要はありません。両方の値がわかっている2列を選び、xとyの差をそれぞれ求めます。差が負になったときは、引き算の順番を両方で逆にすれば、商は変わりません。式が決まった後に空欄を埋め、前後の列との増減が一定の割合になっているかを確かめます。

練習：別の表から確かめる

次の問題はすべて計算練習用の自作条件です。式と座標は整数または分数で答えます。グラフをかく問題では、直線上の指定された点と切片も記します。問題を続けて解いてから、後の解答で途中と照らし合わせてください。

1. 一次関数について、xが-1、1、3のとき、yはそれぞれ8、4、空欄です。変化の割合、式、空欄の値を求めます。
2. 一次関数のグラフが (0, -2) と (4, 4) を通ります。式を求め、2点を通る直線をかきます。切片も答えます。
3. 一次関数のグラフが (-2, 7) と (1, 1) を通ります。式を求め、x = 4のときのyを求めます。
4. 直線 y = 2x − 4 と直線 y = -x + 2 の交点を求めます。その座標をそれぞれの式に戻して確かめます。

答えと解き方

1. xは-1から1へ2増え、yは8から4へ4減ります。変化の割合は -4 ÷ 2 = -2 です。y = -2x + b に (1, 4) を入れると 4 = -2 + b なので b = 6、式は y = -2x + 6 です。x = 3でy = 0となり、空欄は0です。元のx = -1でもy = 8、x = 1でもy = 4に戻ります。さらにxが1から3へ2増えたとき、yは4から0へ4減り、表の変化も一致します。

2. 変化の割合は (4 − (-2)) ÷ (4 − 0) = 6/4 = 3/2 です。x = 0のときy = -2なので、切片は-2、式は y = (3/2)x − 2 です。(0, -2) と (4, 4) を座標平面に打って直線で結び、両側へ延ばします。式にx = 4を入れると 6 − 2 = 4 となり、与えられたもう一方の点に戻ります。分数の傾きは右へ2進む間に上へ3進むことも意味します。

3. xの増加量は 1 − (-2) = 3、yの増加量は 1 − 7 = -6 です。割合は-2となります。y = -2x + b に (1, 1) を代入して 1 = -2 + b、b = 3です。式は y = -2x + 3、x = 4のときy = -5です。元の点にも戻すと、x = -2では7、x = 1では1です。x = 1から4へ3増えるとyが6減り、1から-5になることでも照合できます。

4. 交点では 2x − 4 = -x + 2 です。3x = 6 なので x = 2、これを前の式へ入れると y = 2 × 2 − 4 = 0 です。交点は (2, 0) です。後の式でも -2 + 2 = 0 となります。交点の条件は両方の式を同じ座標が満たすことなので、片方だけでなく両方への代入を残します。グラフにする場合も、x軸上のその点で2本が交わるかを見ます。

答えを見た後は、元の問題の数を隠さずに、解答欄だけを隠してもう一度取り組みます。変化の割合の符号や分数が違った場合は、分子と分母の差を別々に書きます。式が違った場合は、求めた式に元の2組を戻し、どちらで合わなくなるかを調べます。交点はxを求めて終わりにせず、yを出してから座標にまとめます。

次の一問で残すこと

表の同じ向きの差から、yの増加量をxの増加量で割ります。 切片はx = 0の値と考え、列がなければ1組を式に代入します。 式とグラフを元の表に戻し、交点は両方の式で確かめます。

どこで止まったかを持ち寄る

解き直したワークと範囲表を並べ、同じ型の問題でどの行から止まるかを見ます。差は書けるが割る順番で迷うなら、2列に矢印を付けて増加量を別々に記入します。割合は出せるが式が合わないなら、x = 0の値と表の先頭の値の違いを説明してみます。お子さまが正答を再現できても理由を話せない場合は、表の1組を式へ戻す操作を一緒に確認できます。

個別指導で確認するなら、誤答を残した欄、書き直した式、実際の範囲表を持ち寄り、交点までが今回の範囲かも授業資料で確かめます。2点の選び方や代入の行を見れば、計算の符号と関係の読み取りを分けて扱えます。表の1列とグラフの1点を往復できることが、式を自分で選ぶ手がかりです。